Задача о жуке на глобусе / Хабр

Эта задача представляет собой несколько более продвинутую модификацию задач, встречающихся на студенческих олимпиадах по механике. Там обычно вместо шара в кардановом подвесе рассматривается диск на стержне. Интересно также, что основные проблемы в этой задаче начинаются не на уровне динамики, а на уровне кинематики.

Однородный шар радиуса закреплен в кардановом подвесе так, что он может свободно вращаться вокруг своего неподвижного центра . Момент инерции шара относительно любой оси, проходящей через точку , равен .

На шаре сидит жук массы . В начальный момент времени система покоится, затем жук начинает ползти по шару так, что его траектория вычерчивает на шаре окружность радиуса $b,\quad b\le R$ . Придя в исходную точку, жук останавливается.

На какой угол повернулся шар к моменту остановки жука, если сила тяжести отсутствует?

Специалисты по теоретической механике, коих немало на Хабре, наверняка найдут короткое и прямое решение этой задачи, приводящее к явному и красивому ответу. Мы же ограничимся лишь следующими тремя наблюдениями.

Во-первых, мы покажем, что шар останавливается в тот самый момент, когда останавливается жук. Во-вторых, докажем, что ответ задачи совершенно не зависит от конкретного закона движения жука по окружности. Наконец, мы выпишем систему дифференциальных уравнений, из которой численно находится матрица поворота шара, которая, собственно, и определяет угол и ось поворота шара.

Обозначим через время от начала движения жука до его остановки.

Свяжем с шаром декартову систему координат так, чтобы жук двигался в плоскости $z'=h,\quad (h^2+b^2=R^2)$ . Тогда радиус-вектор жука выражается формулой

$\boldsymbol r(t)=h\boldsymbol e'_z+b(\cos\alpha\boldsymbol e'_x+\sin\alpha\boldsymbol e'_y).$

Функция $\alpha=\alpha(t)$ по условию монотонно возрастает на отрезке и такова, что

$\alpha(0)=0,\quad\dot\alpha(0)=\dot\alpha(T)=0,\quad \alpha(T)=2\pi.$

Кинетический момент системы относительно точки , очевидно, сохраняется:

$\boldsymbol K_O=J\boldsymbol\omega+m[\boldsymbol r,\boldsymbol v]=0.\qquad (1)$

Здесь $\boldsymbol\omega$ — угловая скорость шара относительно лабораторной системы координат, а $\boldsymbol v$ – скорость жука.

Поскольку радиус-вектор жука естественным образом задан в системе, связанной с шаром, удобно расписать абсолютную скорость жука по теореме о сложении скоростей:

$\boldsymbol v=\boldsymbol v_r+\boldsymbol v_e,$

где

$\boldsymbol v_e=[\boldsymbol\omega, \boldsymbol r]$

— переносная скорость жука, а

$\boldsymbol v_r=\frac{d}{dt}\Big|_{Ox'y'z'}\boldsymbol r(t)=b\dot\alpha(-\sin\alpha\boldsymbol e'_x+\cos\alpha\boldsymbol e'_y)$

— его относительная скорость.

Подставляя эти формулы в уравнение (1) и решая получившееся линейное алгебраическое уравнение относительно вектора $\boldsymbol\omega$ , находим:

$\boldsymbol \omega=-\frac{m}{J+mR^2}[\boldsymbol r,\boldsymbol v_r],\qquad(2)$

где

$[\boldsymbol r,\boldsymbol v_r]= \dot\alpha\big(b^2\boldsymbol e'_z-hb\cos\alpha\boldsymbol e'_x-hb\sin\alpha\boldsymbol e'_y\big).\qquad(3)$

Формула (2) отражает важный факт: в тот момент, когда жук останавливается на шаре, шар тоже прекращает вращение.

По формулам (2) и (3) получаем:

$\boldsymbol\omega= \dot\alpha\boldsymbol w(\alpha),$

где

$\boldsymbol w=-\frac{m\big(b^2\boldsymbol e'_z-hb\cos\alpha\boldsymbol e'_x-hb\sin\alpha\boldsymbol e'_y\big)}{J+mR^2}.\qquad (4)$

И тут начинается самое интересное. Введем лабораторную систему координат так, чтобы при она совпадала с системой .

Через обозначим матрицу размера $3 \times 3$ , которая является решением следующей задачи Коши для матричного дифференциального уравнения:

$\dot X=\dot\alpha (t) XW(\alpha),\quad X(0)=I,\qquad(5)$

где

$W=\begin{pmatrix}0 & -w_z & w_y \\w_z & 0 & -w_x \\-w_y & w_x &0\end{pmatrix},$

а — компоненты вектора $\boldsymbol w$ (см. формулу (4)) в системе .

Смысл оператора $X(t):\mathbb{R}^3\to \mathbb{R}^3$ следующий. Предположим, вектор $\boldsymbol u$ жестко связан с шаром. Его координаты в системе не меняются, а в системе изменяются, поскольку этот вектор поворачивается вместе с шаром. То есть наблюдатель, находящийся в системе , видит зависимость координат вектора $\boldsymbol u$ от времени: $\boldsymbol u=\boldsymbol u(t)$ .

В учебниках по теоретической механике доказывается, что

$\boldsymbol u(t)=X(t)\boldsymbol u(0).$

В этой формуле $\boldsymbol u(t)$ и $\boldsymbol u(0)$ --- это столбцы координат вектора $\boldsymbol u$ в системе в соответствующие моменты времени.

Таким образом, — это матрица поворота шара. В этой матрице и содержится ответ на вопрос задачи.

Сделаем замену переменной $t\mapsto \alpha$ в (5):

$\frac{d}{d\alpha} \tilde X= \tilde XW(\alpha),\quad \tilde X(0)=I.\qquad(6)$

Решением этой системы является матрица $\tilde X(\alpha)$ ; соответственно, искомая матрица поворота шара — это $\tilde X(2\pi),\quad \tilde X(2\pi)=X(T)$ .

Важный вывод из этого наблюдения состоит в том, что матрица поворота шара совершенно не зависит от конкретного закона движения жука $\alpha=\alpha(t)$ .

Собственные числа матрицы поворота имеют вид

$1,\quad e^{i\varphi},\quad e^{-i\varphi},$

где $\varphi$ -- это искомый угол поворота шара. При этом ось поворота шара определяется собственным вектором матрицы $\tilde X(2\pi)$ с собственным значением 1.

Маловероятно, что систему (6) можно проинтегрировать в замкнутой форме. Этот вопрос требует отдельного исследования. Однако матрицу поворота шара всегда можно найти численно, решив задачу (6) на интервале $\alpha\in[0,2\pi]$ .