drzewo16 мая в 18:31

Задача о жуке на глобусе

Простой

3 мин

14K

Физика

Комментарии 42

gerbert_MX 16 мая в 18:37

Дайте знать как опубликуют простую изящную формулу для решения этой задачи.

drzewo 17 мая в 12:29

Ну вот видите, а вы сомневались :)

gerbert_MX 17 мая в 13:08

да я не сомневался, я просто не понимал как можно проще то. не моя сфера деятельности, но было интересно

drzewo 17 мая в 13:21

На самом деле там ниже в коментах чепуха написана, это я просто иронизировал.

kovserg 17 мая в 06:49

А что мешало рассмотреть момент имульса системы, который сохраняется и равен 0.

J*ω1 + m*b^2*ω2 = 0
Δφ1 = -m*b^2/J*Δφ2

Или через расстояние s, которое проползёт насекомое по шарику:

Δφ1 = s*m*b/(J+m*b^2)

misha_erementchouk 17 мая в 19:03

Момент импульса системы это уравнение (1). Ваше решение получается когда жук ползет по большому кругу (b = R). В этом случае уравнение (6), действительно, элементарно интегрируется и можно волне обойтись без него. В общем случае, Δφ2и Δφ1 - векторы, зависящие от φ2, который тоже вектор.

kovserg 18 мая в 11:24

Так вы рассмотрите закон сохранения момента импульса вдоль оси симметрии Z’ и потом вдоль перпендикулярных осей X’ и Y’.

misha_erementchouk 18 мая в 12:50

Получится уравнение (4) в заметке и предшествующее ему.

jury-churkin 17 мая в 07:20

Рассмотрим чуть более простую задачу. На гладкой горизонтальной поверхности лежит брусок массой и длиной . Трение между поверхностью и бруском отсутствует. На одном из концов бруска сидит жук массой . Жук начинает ползти к другому концу бруска. Насколько сдвинется брусок относительно поверхности, когда жук доползет до другого конца бруска.

Решение такое. Импульс системы брусок+жук всегда равен нулю. Следовательно, скорости жука и бруска (относительно поверхности) всегда обратно пропорциональны массам (и противоположны). И пройденные расстояния соотносятся также. Обозначим . Тогда расстояние на которое сдвинется брусок равно .

Переходим к оригиналу. Массы переводим в момент инерции, скорости — в угловые, расстояние — в угловые смещения. Тогда $k = J/mb^2, l=2\pi$ . Ответ: $\frac {2\pi}{J/mb^2+1}$

Moog_Prodigy 17 мая в 15:16

Напомнило

misha_erementchouk 17 мая в 19:09

В задаче с бруском центр масс покоится, что делает ее чуть больше, чем "чуть" более простой.

jury-churkin 18 мая в 05:19

А в оригинале какие силы действуют на центр масс? В смысле, что приводит к тому, что он не покоится?

misha_erementchouk 18 мая в 07:10

Сила реакции подвеса. Центр масс сферы, по видимому, фиксирован, а жук перемещается, следовательно, центр масс системы смещается.

jury-churkin 18 мая в 08:18

После ответа на ваш комментарий выше у меня уже сомнения закрались. Если поставить жука на диск, чтоб он там круги наматывал, то выглядит так, что центр масс системы тоже крутиться начнет.

Что-то я, видимо, не учитываю. Подумаю.

Спасибо за комментарии!

jury-churkin 19 мая в 09:32

Сейчас у меня получается следующее. В случае с жуком на диске ответ остаётся тем же. В нем главное отношение моментов жука и диска.

С шаром всё сложнее, но не сильно. Если жук ползёт по экватору, то ось вращения не меняется и этот случай аналогичен движению на диске. Далее слово экватор использовать не буду, буду называть это большим радиусом.

Главное, из любой точки на шаре жук может ползти по большому радиусу в бесконечном количестве направлений. Или другими словами, жук всегда ползёт по какому-то из больших радиусов. И чтобы описать какую-либо траекторию, жук после каждого шажка решает по какому большому радиусу ползти дальше.

Поэтому, момент инерции жука всегда , а пройденный угол при движении по траектории задачи $2\pi b/R$ .

Однако, моя формула будет давать скалярную сумму углов поворота шара относительно всех осей, вокруг которых шар будет вращаться.

Чтоб ответить на вопрос задачи надо ещё подумать.

misha_erementchouk 19 мая в 21:02

Да, главная сложность задачи в том, что если жук ползет не по большому кругу, направление оси мгновенного поворота сферы изменяется. Удивительно не то, что задача сложная, а то, что очень сложная. Ну, пусть бы был какой-нибудь неберущийся эллиптический интеграл, так ведь и этого нет.

jury-churkin 22 мая в 06:41

Есть решение. При этом ответ парадоксальный.

Некоторые определения, чтоб понятней было о чём говорю. Полюс Z – точка на координатной оси Z на расстоянии R от начала координат. Полюс Z никак не связан с шаром. Эпицентр – точка на поверхности шара, про которую можно сказать, что вокруг нее ползает жук. Эпицентр принадлежит шару (вращается вместе с ним).

Главное. На шаре можно нарисовать такую окружность, при ползании жука по которой, полюс Z будет всегда находится на кратчайшей дуге между эпицентром и жуком. И полюс Z всегда на одном и том же расстоянии от эпицентра.

Из этого следует, что шар из начальной позиции в конечную (когда жук приползет в точку на шаре из которой стартовал) можно привести поворотом только и строго вокруг оси Z. Это легко представить, если на шаре нарисовать дугу, соединяющую эпицентр и точку старта жука и посмотреть где эта дуга будет в конце.

И самое парадоксальное это ответ на вопрос задачи (если жук полз по "нашей" окружности, а не окружности из условий задачи). Шар повернется вокруг оси Z (1) на тот же угол, что и жук, и (2) в том же направлении, что и жук.

Чтоб привести "нашу" окружность к окружности задачи приводим её к радиусу b (и находим расстояние от эпицентра до полюса Z), в потом приводим в плоскость паралельную плоскости XY с соответствующим наклоном результирующей оси вращения.

misha_erementchouk 22 мая в 11:06

И самое парадоксальное это ответ на вопрос задачи (если жук полз по "нашей" окружности, а не окружности из условий задачи). Шар повернется вокруг оси Z (1) на тот же угол, что и жук, и (2) в том же направлении, что и жук.

А это разве не противоречит результату, который получается когда жук ползет по большому кругу?

jury-churkin 22 мая в 12:04

Да, это выглядит как противоречие. И если честно, то я это противоречие пока не решил.

Написал решения, потому что не вижу в нем – решении – логических нестыковок.

Я ещё не выводил формулу зависимости угла наклона результирующей оси вращения от b. В моем представлении (было) – чем больше b, тем больше Угол между результирующей осью и осью Z. Но может быть, что есть такое B<R, при превышении которого и при дальнейшем увеличении b, Угол уменьшается и равен нулю при b=R. Ну и при ползании по большому кругу шар повернется на ту же альфу и в том же направлении, что и жук :). Правда, в этом случае понятней было бы сказать, что в противоположном и на два пи минус альфа.

Надо подумать про значение B.

misha_erementchouk 22 мая в 15:08

при ползании по большому кругу шар повернется на ту же альфу и в том же направлении, что и жук

А, в том смысле, что один и тот же поворот совмещает жука и сферу в их конечном и начальном состоянии? Да, это работает при движении по большому кругу (сечение плоскостью, проходящей через центр сферы). Но вот то, что это же работает для сечений другими плоскостями, неочевидно.

jury-churkin 23 мая в 10:13

Похоже, у меня получилось выразить ответы задачи – наклон результирующей оси и угол поворота – формулами.

Ответ с картинкой попробую сделать. Сегодня -завтра в основную ветку комментарий с ответом напишу.

drzewo 23 мая в 10:37

Вероятность того, что вы напишете какие-то релевантные формулы, равна нулю. Но если вы хотите подробного обсуждения и проверки, то обратитесь на dxdy.ru. Там еще остались энтузиасты, которые вступают в подобные дискуссии.

Moog_Prodigy 18 мая в 15:27

Делов то правильно белочку подвесить на ниточке.

jury-churkin 24 мая в 08:12

1/3

Решение.

Сначала напишу несколько утверждений, на которых строил решение. Постараюсь понятно излагать их.

1. Если жук ползет по экватору, то определить насколько повернулся шар просто. Ось вращения известна и не меняется, угол поворота зависит от отношения моментов инерции шара и жука. Введем коэффициент $k’={J}/{mR^2}$ . И, например, жук должен проползти расстояние $\Delta S$ (длина траектории на шаре) по экватору. Отметим точку в системе координат (и не связанную с шаром), в которой находиться жук перед началом движения. Так вот, относительно этой точки жук пройдет расстояние $\Delta S \frac {k’}{k’+1}$ , а точка начала движения, отмеченная на шаре, сдвинется в противоположном направлении на расстояние $\Delta S \frac {1}{k’+1}$ . Поделив расстояния на , можно узнать угол поворота жука и шара. Далее понятие “экватор” использовать не буду.

Плоскостей, проходящих через центр шара, и соответствующих окружностей радиуса , бесконечное количество. Далее такие окружности буду называть “большой круг”, “большой радиус”, “меридиан”.

2. Каждый свой маленький шаг жук всегда делает по какому-то большому кругу. Представьте, что жук находится на полюсе. Его шаг в любом направлении будет по какому-либо меридиану. Углы, на которые при этом провернутся жук и шар, определяются как в первом утверждении.

3. Для своего шага жук может без ограничений выбирать любой большой круг, который проходит через точку где жук находится. И если нарисованная на шаре траектория отлична от большого круга, то жук после каждого шага должен решить по какому большому кругу делать следующий шаг. Другими словами, решить на какой угол надо повернуть после каждого шага.

4. Для движения по окружности на шаре, отличной от большого круга, жук после каждого шага должен повернуть на один и тот же угол. И обратное утверждение: если жук после каждого шага поворачивает на один и тот же угол, то он ползет по какой-то окружности на шаре.

Здесь перефразирую вопросы задачи. Т.к. при движении жука мгновенная ось вращения изменяется, то для ответа надо сделать следующее. Взять начальное и конечное положения шара и найти такую ось, при вращении вокруг которой (и только вокруг которой) шара “руками” можно привести шар из начальной позиции в конечную. Эту ось будем называть результирующей. Угол такого поворота вокруг результирующей оси и будет ответом на задачу.

Следующее утверждение, наверно, главное для решения задачи и, чтоб было по-понятней о чём говорю, введу некоторые определения. Полюс Z – точка на координатной оси Z на расстоянии от начала координат. Полюс Z никак не связан с шаром. Эпицентр – точка на поверхности шара, про которую можно сказать, что вокруг нее ползает жук. Эпицентр принадлежит шару (вращается вместе с ним).

5. И само утверждение. На шаре всегда можно нарисовать такую окружность (назовем её zed), при ползании жука по которой, Полюс Z будет всегда находится на кратчайшей дуге между эпицентром и жуком. И Полюс Z всегда на одном и том же расстоянии от эпицентра и жука. Еще раз скажу, Полюс Z не связан с шаром, это точка в системе координат.

Перед стартом нарисуем на шаре кратчайшую дугу, соединяющую эпицентр окружности zed и точку старта жука и отдельным цветом отметим где находиться Полюс Z на этой дуге. В конце движения жука по окружности zed эта нарисованная на шаре дуга опять будет соединять эпицентр и жука, а Полюс Z будет находиться в отмеченной точке. Т.е., шар из начальной позиции в конечную можно привести поворотом только и строго вокруг оси Z.

И обратное утверждение. При ползании жука по любой окружности на шаре, есть такая точка A в системе координат (и не связанна с шаром), которая всегда находится на кратчайшей дуге между эпицентром и жуком и всегда на одном и том же расстоянии от эпицентра и жука. И при выполнении условия задачи о том, что жук приползает в точку старта, ось, проходящая через точку A и центр шара становится результирующей. Угол поворота эпицентра вокруг этой результирующей – ответ на задачу.

Продолжу решение в следующем комментарии.

jury-churkin 24 мая в 08:19

2/3

На картинке выше нарисован разрез шара плоскостью XZ перед началом движения. Эпицентр, точка E, в начальный момент времени находится на оси Z. Точка E принадлежит шару. Точку старта жука тоже поместим в плоскость XZ. На рисунке это точка B. Перемещается и по шару, и в системе координат. Точка A, через которую будет проходить результирующая ось, также лежит в этой плоскости. Точка системы координат.

Во время движения жук крутится вокруг результирующей оси. Он не специально так делает, так получается. Плоскость вращения отмечена пунктиром. Плоскость принадлежит системе координат. Эпицентр – единственная точка шара, которая делает также. В общем случае – в своей плоскости. Эпицентр и жук всегда противоположны относительно результирующей. Поэтому повернуться на один и тот же угол, что и будет ответом.

В точке B (и далее по ходу движения в той точке где находится жук) соприкасаются друг с другом три окружности: большой круг с радиусом (OB), по которому жук делает шаг, окружность на шаре (радиус , B’B) и окружность в системе координат (радиус , B"B).

Угол $\beta$ задан начальными условиями (через значение ). Нам надо найти угол $\alpha$ . Он так же зависит от отношения моментов инерции.

С помощью этой картинки угол $\alpha$ не найти, она представлена для помощи в объяснении решения. На численные значения не обращайте внимания, это я на геогебре игрался. Тройной полоской, без буквенного обозначения, отмечен угол отклонения результирующей от оси Z. Некоторое время я пытался определить результирующую через него, но угол $\alpha$ оказалось выразить проще. Да и полезней.

Окончательное решение в виде формул в следующем комментарии.

jury-churkin 24 мая в 08:38

3/3

Немного переопределим коэффициент, который выражает отношение моментов инерции.

$k = \frac {k’}{k’+1} = \frac {J}{J+mR^2} \ \ \ (1)$

В формулах будет использоваться он. Он показывает на какую часть шага сдвигается жук относительно точки начала шага, отмеченной в системе координат (а не на шаре).

Теперь определим угол $\alpha$ . Для этого рассмотрим один шаг жука. Для большей наглядности немного повернем шар и сделаем большой круг, по которому шагнет жук, экватором. После этого можно сказать, что эпицентр, точка E, лежит на широте $\beta$ . Нам нужно найти угол $\alpha$ , широту точки A. Рисунок одного шага ниже.

Точки A и B1 — точки системы координат. Точки E, AS, и B принадлежат шару. BS — жук после шага. Перед шагом точки A и AS совпадали. Также совпадали точки B, B1 и BS. Жук шагнул на восток, а точки шара сдвинулись на запад. Надо найти широту на которой меридиан B1 (принадлежит системе координат) пересечет кратчайшую дугу между эпицентром E и новым положением жука (точка BS). Конечно, при стремящемся к нулю.

Ход решения этой стереометрической задачи показывать не буду, там особо сложного нету ничего, несколько муторно, как и вся стереометрия. Напишу формулу конечного ответа. Она, к удивлению, исключительно компактна:

$\tan \alpha = k \tan \beta \ \ \ \ (2)$

Далее все совсем просто. Жук суммарно сдвинулся (провернулся) на расстояние $2\pi b k$ по окружности радиусом $r = R \sin \alpha$ . На тот же угол провернулся эпицентр. Таким образом ответ:

$\gamma = 2\pi \frac {b k}{R \sin \alpha} \ \ \ \ (3)$

Это всё.

jury-churkin 25 мая в 07:29

4/3

Финальный ответ можно подсократить:

$\gamma=2\pi \frac {\cos \beta}{\cos \alpha} \ \ \ (3)$

misha_erementchouk 26 мая в 12:54

Угол $\beta$ это соответствующий полярный угол? Из последних выражений можно исключить $\alpha$ и получить окончательно ...

После продолжительной борьбы с полем комментариев сдался. Резюмируя, у Вас получился правильный ответ. Но, сознаюсь, разобраться в геометрических рассуждениях мне оказалось сложнее, чем проинтегрировать уравнение (6) заметки. Оно, оказывается, не такое уж и сложное в конце концов.

drzewo 26 мая в 15:49

Да, (6) действительно, интегрируется. Это я только после вашего замечания об этом всерьез задумался. Сюрприз.

jury-churkin 28 мая в 13:37

Да, $\alpha$ можно, конечно, исключить из ответа. Но я, честно сказать, несколько впечатлился компактностью формулы (2), что не стал этого делать.

Да и сокращённая форма ответа имеет такой простой вид, что я решил и 4-й комментарий написать :)

misha_erementchouk 28 мая в 14:16

Соглашусь, формулы красивые, через интегрирование (6) такие не получаются. Собственно, я потому и хотел в своем комментарии явную формулу написать, чтобы показать, что она совпадает с результатом интегрирования, но запостить не удалось.

Компактность и определенная естественность формул (2) и (3) подсказывает, что вполне может быть какое-то хитрое рассуждение, из которого решение получается почти в уме, как, скажем, в задаче с бруском. Вроде того, что "подвесим сферу с жуком в центре масс так, чтобы..." Я пробовал, когда задачу увидел, но у меня на этом пути навскидку ничего убедительного не получилось.

drzewo 28 мая в 15:46

misha_erementchouk 28 мая в 16:12

Да, это то, что получается, интегрируя (6). Обозначая , это можно записать как $\gamma = 2\pi \sqrt{1 - k'(2 - k') \sin^2(\beta)}$ , где $\sin(\beta) = b/R$ . Вводя , находим $\gamma = 2\pi \sqrt{\cos^2(\beta) + k^2\sin^2(\beta)}$ , что получается из (2) и (3) выше.

drzewo 28 мая в 16:19

Я не случайно стер свое сообщение. Оно мне сильно не понравилось.

misha_erementchouk 28 мая в 16:42

Через полярный угол, действительно, более симпатично получается. Но записать его как $\gamma = 2\pi \cos(\beta)/\cos(\alpha)$ , где $\tan(\alpha) = k \tan(\beta)$ , у меня бы воображения не хватило.

drzewo 28 мая в 17:19

Не в этом дело. Я выше написал неправильную формулу. Ответ задачи следующий:

$2\pi \left(1- \sqrt{1-\frac{mb^2(2J+mR^2)}{(J+mR^2)^2}} \right)$

jury-churkin 28 мая в 18:34

Ну, для данной задачи ответ угол в сторону жука и ответ $2\pi-x$ в противоположную равнозначны :)

drzewo 28 мая в 19:12

Ошибаетесь. В задаче спрашивалось, на какой угол повернулся шар. Иными словами, нужно найти разность между углами поворота шара в конце и в начале движения. Если у вас эта разность равна $2\pi$ при то ваши формулы неверны.

jury-churkin 28 мая в 19:43

Тут кому что нравится. В этом случае меня ответ и $4\pi$ , и $6\pi$ , и даже $8\pi$ устроит.

misha_erementchouk 29 мая в 03:42

Тут немного сложнее. Я и забыл, что хотел с этим разобраться. Строго говоря, наверху ответ тоже неправильный, должно быть (считая обход против часовой стрелки положительным) $\gamma = 2\pi \left(\sqrt{\cos^2(\beta) + k^2 \sin^2(\beta)} -1 \right)$ . Чтобы увидеть, что это правильный ответ, посмотрите на случай, когда жук ползет по большому кругу, когда можно независимо получить, что $\gamma = -2\pi (1 - k)$ . Собственно, только этот ответ и показывает, что вычитание полного оборота - операция, над которой стоит подумать.

Дело тут вот в чем. Интегрируя уравнение (6), получаем, что матрица поворота $\mathcal{X}(\theta)$ сферы, когда жук проползет угол $\theta$ по кругу (покроет расстояние $b\theta$ ), имеет вид $\mathcal{X}(\theta) = \exp\left(\widetilde{\gamma}(\theta) \widehat{\mathbf{n}} \right) \mathcal{R}_z(-\theta)$ , где $\mathcal{R}_z$ - матрица поворота вокруг оси, перпендикулярной (с правильным знаком) плоскости круга, по которому ползет жук, $\widetilde{\gamma} = \theta \sqrt{\cos^2(\beta) + k^2 \sin^2(\beta)}$ , a $\widehat{\mathbf{n}}$ - некая кососимметрическая матрица, сейчас неважно какая. Используя, скажем, формулы Эйлера-Родригеса, можно явно записать $\mathcal{X}(\theta) = \exp(\gamma(\theta) \widehat{\mathbf{n}}(\theta))$ , где $\gamma(\theta)$ и есть искомый угол. Аккуратно рассматривая предел, когда жук обходит весь круг, $\theta = 2\pi$ , получается выражение наверху. Аккуратность заключается в том, что если исходить из Эйлера-Родригеса, то надо еще смотреть, что там с осью вращения происходит, иначе можно знак потерять.

Какого-то элементарного рассуждения, объясняющего происходящее (почему $2\pi$ так просто вносится в экспоненту), я не знаю, хотя в свое время немало в этих формулах ковырялся в контексте когерентных спиновых состояний.

jury-churkin 29 мая в 09:47

Тут, наверно, вопрос больше философский.

С математической точки зрения, если считаем разницу, то ответы $2\pi$ , , или - $2\pi$ одинаковы.

С точки зрения физики, а задача у нас по физике, ответы $\pi$ и $-\pi$ , конечно, различны. И в этом случае про неправильный ответ можно сказать, что он максимально возможно неправильный. И если заставить жука ползти по экватору, то совершенно наглядно видно, кто куда крутится. Но в общем случае, результирующая ось вращения никогда не совпадает ни с какой мгновенной осью. Однако, если проецировать мгновенную на результирующую, то, да, видно что шар и жук крутятся в противоположных направлениях. Но еще раз однако, направление мгновенной оси крутится вместе с жуком. И на шаре есть точка, которая сразу крутится вокруг результирующей и тоже вместе с жуком. Вобщем, есть повод перевести задачу в математическую. Но я настаивать, не буду. Мне представляется, что мы здесь друг друга понимаем.