Расчет волноводного поляризатора на решетке диафрагм / Хабр

Вступление

Однажды я наткнулся на одну замечательную презентацию о разработке облучателя для спутниковой параболической антенны. Одним из важнейших узлов этого облучателя был волноводный поляризатор. Предлагаемую замысловатую конструкцию сравнивали с двумя классическими вариантами и одним из них был поляризатор на решетке диафрагм (апертур). Я решил что расчет такого устройства был бы полезной дипломной работой в которой можно связать материал различных курсов. Однако оказалось, что теория расчета подобных устройств вызывает трудности у студентов. Поэтому была написана записка, которая затем легла в основу этой статьи.

Предмет исследования

Пусть у нас есть антенна с волноводным фидером. Иногда, например в спутниковых системах связи, необходимо принимать или излучать электромагнитные волны с круговой поляризацией. Что бы ее создать необходимо использовать волноводы с соответствующей симметрией, например квадратные или круглые. Для возбуждения в таком волноводе поля с круговой поляризацией используются специальные устройства - поляризаторы. Различные типы поляризаторов рассмотрены, например, в этой статье (ее копия). Мы будем рассчитывать волноводный поляризатор на решетке диафрагм (сorrugated / iris polarizer) в его самом простейшем виде.

Рисунок 1. Квадратный волновод с периодическими диафрагмами

Рассмотрим квадратный волновод сечением а×a. Пусть в нем синфазно возбуждённы две ортогональные моды (TE₀₁, TE₁₀). Можно с добиться на его выходе разности фаз между ними Δφ₀ около 90° в широкой полосе частот используя периодические вставки в виде диафрагм. Для моды TE₀₁ это будет емкостная диафрагма, а для моды TE₁₀ – индуктивная. Это замечательное свойство диафрагмы позволяет добиться достаточно широкой полосы рабочих частот поляризатора.

Расчет периодически нагруженной линии передачи

Волновод с двумя модами можно рассматривать как две независимые линии передачи с периодическими нагрузками разного типа (емкостными и индуктивными). Эквивалентные схемы элементарных ячеек этих линий показаны на рисунке ниже. Постоянная распространения ( $\beta_{TL}$ ) и импеданс ( $Z_{TL}$ ) обеих линий идентичны, т.к. в квадратном волноводе моды TE₀₁ и TE₁₀ имеют одинаковые параметры (вырождены). Таким образом, пренебрегая потерями в стенках волновода, можно записать:

$\beta_{TL}= \pm \sqrt{k_0^2-k_c^2}$

где $k_c = \frac{\pi}{a}$ , $k_0 = \frac{2\pi f}{c}$ , f - частота, с - скорость света. Знак выбирается таким образом что бы $Re(\beta_{TL})>0$

$Z_{TL}=\frac{k_0}{\beta_{TL}}Z_0$

где $Z_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx120\pi$ Ом - импеданс свободного пространства

Длина волны в линии передачи $\lambda_{TL}=\frac{2\pi}{\beta_{TL}}$

Проводимость емкостной и индуктивной бесконечно тонкой диафрагмы может быть найдена по следующим приближенным формулам [1, с.65]:

$B_C = -\frac{4a}{Z_{TL}\lambda_{TL}}\ln \left(\sin \left(\frac{\pi w}{2a}\right)\right)$ $B_L = - \frac{\lambda_{TL}}{aZ_{TL}}\cot^2\left(\frac{\pi w}{2a}\right)$

Примечание о формулах для проводимостей B

В формуле для B_C традиционное выражение $\ln(cosec(x))$ заменено на $-\ln(\sin(x))$ .

Использованные формулы для B_C и B_L являются главными членами выражений для бесконечно тонких емкостных и индуктивных диафрагм [2]. Более точные выражение для проводимостей B_C и B_L, в том числе для диафрагм с конечной толщиной, можно так же найти в [2], но эти выражения очень громоздки.

Рассчитаем характеристики волн в такой периодической структуре. Для этого используем процедуру, описанную в [3, c. 381]. Рассмотрим элементарную ячейку длиной d состоящую из двух одинаковых отрезков линии передачи и шунтирующую проводимость между ними (см. рисунок 3).

Рисунок 3 - Эквивалентные схемы для элементарной ячейки периодической структуры с емкостной и индуктивной диафрагмами

Матрица передачи (ABCD матрица) для отрезка линии передачи:

$A_{TL}= \begin{bmatrix} \cos(\beta_{TL}d/2) & iZ_{TL}\sin(\beta_{TL}d/2) \\ \frac{i}{Z_{TL}}\sin(\beta_{TL}d/2) & \cos(\beta_{TL}d/2) \end{bmatrix}$

Матрица передачи для шунтирующей проводимости ():

$A_Y= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ iB & 1 \end{bmatrix}$

Матрица передачи ячейки находиться путем перемножения матриц ее составных частей:

$A_C=A_{TL}A_YA_{TL}$

Вычисления для емкостной и индуктивной диафрагмы отличаются только подстановкой соответствующих выражений для в матрицу . В дальнейшем будем обозначать параметры линии передачи с емкостной нагрузкой индексом 1, а с индуктивной нагрузкой индексом 2

В периодической структуре, состоящей из бесконечного числа ячеек, распространяются волны (волны Блоха), для которых можно найти постоянную распространения $\gamma_B$ и импеданс . Обозначим элементы матрицы следующим образом с учетом ее симметрии (т.к. ячейка симметрична):

$A_С= \begin{bmatrix} a_c & b_c \\ c_c & a_c \end{bmatrix}$

Тогда запишем следующие выражения для постоянной распространения $\gamma_B$ и импеданса для симметричной ячейки:

$\gamma_B=\frac{1}{d}\arccos(a_c)$ $Z_B = \pm \frac{b_c}{\sqrt{a^2_c-1}}$

Знак у выбирается так что бы $Re(Z_B) \geq 0$ .

В дальнейших расчетах можно учитывать периодическую структуру как некую однородную линию передачи с параметрами $\gamma_B$ и .

Рассчитаем зависимость от частоты реальных частей постоянных распространения и импеданса для волновода и линий передачи типа 1 и 2 для периодической структуры с параметрами: а = 12 мм, w = 9,1 мм, d = 5 мм (мы пока оставляем за скобками откуда появились эти значения).

Рисунок 4 – Зависимость от частоты реальной частей постоянных распространения и импеданса

Рисунок 5 – Дисперсионная характеристика для периодических структур 1 и 2

На рисунке 4 приведена дисперсионная характеристика линий передачи 1 и 2. Наблюдается первая и вторая полоса пропускания с узкой запрещенной зоной между ними. Расстояние между графиками в первой зоне пропускания почти постоянно в широкой полосе частот, что дает возможность сделать широкополосный поляризатор.

Рассмотрим стык волновода и полубесконечной периодической структуры. Для него можно записать коэффициент отражения:

$\Gamma=\frac{Z_B - Z_{TL}}{Z_B + Z_{TL}}$

Рисунок 6 – Зависимость от частоты коэффициента отражения от полубесконечной линии

Для тех же параметров (а = 12 мм, w = 9,1 мм, d = 5 мм) был рассчитан коэффициент отражения Г. Его частотная зависимость показана на рисунке 5. Т.к. полосы пропускания у линий передачи сдвинуты относительно друг друга по частоте, то общая полоса пропускания для двух линий заметно меньше.

Используя разность фазовых задержек в одной ячейке, можно определить число ячеек необходимых для создания разности фаз Δφ₀ = 90°:

$N_f = \frac{\Delta\phi_0}{d|\gamma_{B1}-\gamma_{B2}|}$

На рисунке 7 показано зависимость числа ячеек от частоты для Δφ₀ = 90° и зависимость разности фаз Δφ от частоты для N = 7:

$\Delta\phi = dN(\gamma_{B1}-\gamma_{B2})$

Рисунок 6 – Число ячеек необходимых для создания разности фаз Δφ0 = 90° и разность фаз для 7 ячеек — Рисунок 6 – Число ячеек необходимых для создания разности фаз Δφ₀ = 90° и разность фаз для 7 ячеек

Расчет коэффициента эллиптичности

Для антенн с круговой поляризацией важными параметрами являются две взаимосвязанных величины – коэффициент эллиптичности (AR) и коэффициент кроссполяризационной развязки (XPD). Аналогичные параметры можно использовать для элементов фидерного тракта, в частности поляризаторов. Они связаны между собой следующим выражением:

$AR=\frac{XPD+1}{XPD-1}$

Следует отметить, что обе величины являются отношением амплитуд и в логарифмическом виде они вычисляются как a_dB = 20log(a).

Определим AR как отношение большой полуоси эллипса поляризации к малой полуоси.

Примечание

Определение AR как отношение большой оси к малой традиционно в англоязычной литературе и используется в зарубежных САПР СВЧ. Так же эта величина определена в ГОСТ Р 55787-2013. При использовании параметров круговой поляризации всегда сперва надо разобраться как они были вычислены.

Можно рассчитать AR через коэффициенты передачи устройства S21 с помощью формулы, приведенной в [4], и с уточнением что там используется обратное определение AR (индексы 1 и 2 так же указывают на 1 и 2 линию передачи):

$AR=\cot \left( \frac{1}{2} \arcsin\left(\frac{2|S21_1||S21_2|}{|S21_1|^2+|S21_2|^2} \sin(\arg(S21_2)-\arg(S21_1))\right) \right)$

Считаем, что внешнее устройство обеспечивает возбуждение обеих мод с равными амплитудами и поляризатор достаточно хорошо согласован. Тогда AR зависит только от разности фаз между каналами, которую можно записать как отклонение от Δφ₀ на ошибку δφ, т.е.

$AR \approx \cot \left( \frac{\Delta\phi_0-\delta\phi}{2}\right)$

Синтез геометрии поляризатора (кратко)

Для примера сформулируем тестовое задание:

диапазон частот: 19 - 24 ГГц (f₀ = 21,5 ГГц);
коэффициент отражения в рабочей полосе не более минус 20 дБ;
уровень кроссполяризационной развязки XPD_dB = 25 дБ;

Вычислим $XPD = 10^{XPD_{dB}/20}$ . Тогда требуемый AR = 1,12 или AR_dB = 0,98 дБ и можно найти допустимую максимальную фазовую ошибку:

$\delta\phi = \Delta \phi_0 - 2 \arctan(AR) = 6,4\degree$

Сечение волновода поляризатора определяется конструкцией волноводного перехода с прямоугольного на квадратный и считаем заданным а = 12 мм. Остальные параметры (период решетки d и зазор w ) проще всего найти методом подбора или оптимизацией исходя из следующих условий:

работаем в первой зоне пропускания периодической структуры;
общий минимум Г₁ и Г₂ должен быть близко к центральной частоте (см. рисунок 6);
в рабочей полосе частот обеспечивается условие Г_dB ≤ –20 дБ;
максимум функции N_f должен быть как можно меньше, лежать в полосе частот и быть близко к целому числу ячеек N;
ошибка по фазе для выбранного числа N не должна превосходить $\delta\phi$ в рабочей полосе частот.

Иными словами:

изменяя период решетки d выставляем центральную частоту;
уменьшая w увеличиваем рассогласование линий до допустимого предела и при этом добиваемся максимальной разности фаз на одну ячейку;
находим требуемое число секций N;
корректируем размеры до достижения нужного результата.

Итоговые параметры поляризатора: а = 12 мм, w = 9,1 мм, d = 7.5 мм, N = 7.

Расчет матрицы рассеяния поляризатора

Найдем матрицу передачи для линии, состоящей из каскадного соединения N ячеек как A_P = A_C^N. Тогда элементы матрицы S (коэффициент передачи S21 и коэффициент отражения S11) для 1 и 2 линии передачи можно найти, используя элементы матрицы A_P:

$S11 = \frac{a_P+b_p/Z_{TL}-c_PZ_{TL}-d_P}{a_P+b_p/Z_{TL}+c_PZ_{TL}+d_P}$ $S21 = \frac{2}{a_P+b_p/Z_{TL}+c_PZ_{TL}+d_P}$

Результаты вычислений по приведённым выше формулам показаны на рисунках 7 и 8. На графике модулей коэффициентов передачи и отражения видны полосы частот, которые можно отождествить с полосами пропускания и не пропускания на дисперсионной диаграмме (см. рис. 4). В заданной полосе частот обеспечивается коэффициент отражения около минус 17 дБ. Фазовая ошибка в той же полосе частот не превышает 4°. Для сравнения на графике 7б показана зависимость разности фаз для постоянных распространения. Видно что эти зависимости почти идентичны.

Рисунок 7 – Зависимость от частоты коэффициентов передачи для вертикальной (1) и горизонтальной (2) поляризации и разность фаз коэффициентов передачи

Рисунок 8 – Зависимость от частоты коэффициента эллиптичности AR

На рисунке 8 показана зависимость от частоты коэффициента эллиптичности AR. В требуемой полосе частот AR не превосходит требуемого значения 0,98 дБ.

Что бы улучшить согласование надо или произвести настройку фазовращателя или использовать дополнительные согласующие ячейки с корректировкой зазора w.

Заключение

Данный расчет хоть и был произведен по приближенным формулам дает близкие результаты к расчету в Ansys HFSS. Для наглядности ниже показано анимированные распределение амплитуды электрического поля при синфазном возбуждении обеих мод. Расчет проводился для тех же геометрических размеров и на центральной частоте. Видно, что амплитуды мод сдвинуты на выходе поляризатора на половину пучности, что соответствует сдвигу на $\lambda/4$ (90^o).

Рисунок 9 - Распределение полей в поляризаторе на частоте 21,5 ГГц

Подобные модели могут быть использованы для качественной оценки основных параметров устройства, в первую очередь габаритов и достижимого диапазона частот.

Волны в подобных периодических структурах до сих пор являются предметом научных изысканий. В частности можно ознакомиться с занимательной статьей.

Литература

Сазонов Д.М., Антенны и устройства СВЧ: Учеб. Для радиотехнич. спец. вузов.– М.: Высш. Шк., 1988 [pdf]
N. Marcuvitz, Waveguide Handbook, McGraw-Hill, 1951
D. M. Pozar, Microwave Engineering, 4 ed, Wiley, 2012 [pdf]
Крылов Ю.В. Широкополосные частотно-поляризационные селективные устройства антенн космических аппаратов: дис. … канд. тех. наук. – Красноярск, 2018. [pdf]

P.S. Статья может быть дополнена и исправлена при необходимости.