Физическая калибровка спектрального разложения интервала в Cl(4,0) / Хабр

0. Пролог

Ранее мы установили возможность использования алгебры $Cl_{(4,0)}$ для описания вектора интервала времени-пространства и характеристик состояния, описываемых алгеброй матриц Паули, например, таких как спин и поляризация.
В этот раз я хотел бы показать механизм спектрального разложения мультивекторов в алгебрах Клиффорда и его физическую калибровку.
До сих пор мы обходили стороной слона в комнате – интерпретацию времени, да и вообще какую-либо физическую интерпретацию математических результатов. В этой статье мы попробуем связать два известных механизма – математический и физический – спектральное разложение мультивектора и дуальность комптоновского и гравитационного масштабов массы. Получится интересно.

Дисклэймер

Сразу обозначу границу строгости. Алгебраическая часть статьи состоит в том, что элемент вида

$A=\alpha+\beta U,\qquad U^2=1$

естественно раскладывается по двум идемпотентным каналам:

$A=\lambda_+\Pi_+ + \lambda_-\Pi_-.$

Это обычный алгебраический факт.
В физической части, идущей дальше, я предлагаю калибровать эти два канала как дуальные масштабные проявления массы – комптоновское и гравитационное. Такая калибровка не выводится из одной только алгебры, но мотивируется тем, что произведение соответствующих физических масштабов не зависит от массы и равно $\ell_P^2$ . Поэтому ниже я принимаю

$\lambda_+\lambda_-=\ell_P^2$

как физическую калибровку и смотрю, какую картину она даёт.

1. Идемпотенты

Идемпотенты появляются всякий раз, когда в элементе алгебры можно выделить единичное направление $U^{}_{}$ с квадратом
Тогда с этим направлением связана пара идемпотентов

$\Pi_+=\frac12(1+U),\qquad \Pi_-=\frac12(1-U).$

Они удовлетворяют условиям

$\Pi_+^2=\Pi_+,\qquad \Pi_-^2=\Pi_-,\qquad \Pi_+\Pi_-=0,\\\qquad \Pi_++\Pi_-=1,\qquad \Pi_+-\Pi_-=U.$

Их прелесть в том, что возведение в квадрат их не меняет. Они своего рода натуральные единицы алгебры: как в арифметике , так $(\Pi_{+})^2 = \Pi_{+}$ . Можно взять паравектор интервала пространства-времени или любой мультивектор в $Cl_{(3,0)}$ (с некоторыми оговорками о вырожденности) и разложить по таким идемпотентам, как по базису.
Сакральная идея последующей работы в том, что если мы знаем какие-то физические закономерности, связывающие пространство, время, энергию и т.д., то они могут проявиться именно в виде идемпотентных каналов, которые также интересны своей врождённой дуальностью, вторя многим природным явлениям.

2. Спектральное разложение

Теперь возьмём элемент вида

$A=\alpha+\beta U.$

Тогда его можно сразу переписать через идемпотенты:

$A=\alpha(\Pi_++\Pi_-)+\beta(\Pi_+-\Pi_-).$

Отсюда

$A=(\alpha+\beta)\Pi_+ +(\alpha-\beta)\Pi_-.$

Обозначим

$\lambda_+=\alpha+\beta,\qquad \lambda_-=\alpha-\beta.$

Тогда

$A=\lambda_+\Pi_+ + \lambda_-\Pi_-.$

Это и есть спектральная форма элемента $A^{}_{}$ относительно направления $U^{}_{}$ . Коэффициенты $\lambda^{}_+$ и $\lambda^{}_-$ показывают, как элемент раскрыт в двух идемпотентных каналах.
Если произведение коэффициентов не равно нулю, можно ввести магнитуду

$\mu=\sqrt{\lambda_+\lambda_-}$

и гиперболический угол

$\zeta=\frac12\ln\frac{\lambda_+}{\lambda_-}.$

Здесь и ниже для физического чтения я предполагаю вещественные положительные каналы

$\lambda_{+}^{}>0$ и $\lambda_{-}^{}>0$ . В более общем алгебраическом случае, когда коэффициенты имеют центральную $I_3^{}$ -фазу или меняют знак, нужно отдельно фиксировать ветвь корня и логарифма. Тогда

$\lambda_+=\mu e^\zeta,\qquad \lambda_-=\mu e^{-\zeta}.$

Подставляя обратно, получаем

$A=\mu e^\zeta\Pi_+ + \mu e^{-\zeta}\Pi_-.$

Но для выполняется

$e^{\zeta U}=e^\zeta\Pi_+ + e^{-\zeta}\Pi_-.$

Поэтому

$A=\mu e^{\zeta U}.$

То есть спектральное разложение можно читать двумя эквивалентными способами:

$A=\lambda_+\Pi_+ + \lambda_-\Pi_-\\A=\mu \ e^{\zeta U}.$

В первой форме явно видны два идемпотентных канала. Во второй форме тот же элемент представлен как магнитуда $\mu^{}_{}$ и угол раскрытия $\zeta^{}_{}$ . Теперь нам необходимо подготовить вектор, который мы будем раскладывать.

3. Объединённый паравектор

В прошлой статье мы показали, что любой вектор – вектор спина электрона, например, обычно формулируемый в терминах матриц Паули ${Mat}_2(\mathbb{C})$ – может быть равноценно представлен в алгебре $Cl_{N}(3,0)\subset{Cl(4,0)}$ :

$A=a+x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+b_1e_{23}+b_2e_{31}+b_3e_{12}+pI_3$

Покажем нормирование Паули-вектора,

Возьмём общий элемент

$A=a+x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+b_1e_{23}+b_2e_{31}+b_3e_{12}+pI_3.$

Сначала отделим скалярно-псевдоскалярную часть:

$\alpha=a+pI_3.$

Оставшаяся векторно-бивекторная часть имеет вид

$\mathbf z=x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3+b_1e_{23}+b_2e_{31}+b_3e_{12}.$

Так как

$e_{23}=I_3e_1,\qquad e_{31}=I_3e_2,\qquad e_{12}=I_3e_3,$

можно записать

$\mathbf z=(x_1+b_1I_3)e_1+(x_2+b_2I_3)e_2+(x_3+b_3I_3)e_3.$

Квадрат этой части равен

$\mathbf z^2=(x_1+b_1I_3)^2+(x_2+b_2I_3)^2+(x_3+b_3I_3)^2.$

После раскрытия получаем

$\mathbf z^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2-b_1^2-b_2^2-b_3^2+2I_3(x_1b_1+x_2b_2+x_3b_3).$

Обозначим

Тогда

$\mathbf z^2=S+I_3T.$

Пусть

$q^2=\mathbf z^2=S+I_3T.$

Если $q^2\ne0$ , можно ввести нормированное направление

$U=\frac{\mathbf z}{q}.$

Тогда

Запишем

Тогда

Следовательно,

$q_0^2 - q_3^2=S,\qquad 2 q_0 q_3 = T.$

Обратный множитель имеет вид

$q^{-1}=\frac{q_0-I_3q_3}{q_0^2+q_3^2}.$

Поэтому

$U=\mathbf zq^{-1}.$

Для каждой компоненты получаем

Значит,

$U=\sum_{i=1}^{3}\left(\frac{q_0x_i+q_3b_i}{q_0^2+q_3^2}+I_3\frac{q_0b_i-q_3x_i}{q_0^2+q_3^2}\right)e_i.$

Или в развёрнутом виде

$U=X_1e_1+X_2e_2+X_3e_3+B_1e_{23}+B_2e_{31}+B_3e_{12},$

где

$X_i=\frac{q_0x_i+q_3b_i}{q_0^2+q_3^2},\qquad B_i=\frac{q_0b_i-q_3x_i}{q_0^2+q_3^2}.$

То есть при нормировании векторные и бивекторные коэффициенты в общем случае смешиваются:

$x_i\mapsto X_i,\qquad b_i\mapsto B_i.$

Если , нормирование сводится к обычному делению на вещественную длину. Если $q_3\ne0$ , появляется внутренняя фазовая подкрутка между векторной и бивекторной частями.

После этого собственные идемпотенты имеют вид

$\Pi_+=\frac12(1+U),\qquad \Pi_-=\frac12(1-U),$

а исходный элемент раскладывается как

$A=(\alpha+q)\Pi_+ +(\alpha-q)\Pi_-.$

в результате которого исходный элемент раскладывается как

$A=(\alpha+q)\Pi_+ +(\alpha-q)\Pi_- =\lambda_+\Pi_+ + \lambda_-\Pi_- = \mu e^{\zeta U}.$

Мы используем здесь единичный нормированный вектор для выполнения разложения по его идемпотентам как самый очевидный вариант, дающий чистое разложение, состоящее из двух компонент (без двух дополнительных компонент), в физике реального мира можно может потребоваться разложение относительно некоторого произвольного вектора, но нам на данном этапе, в принципе, важна прежде всего сама возможность такого представления.
В собственной системе отсчёта объект как внешний импульс не имеет пространственной части. Но это не запрещает объекту иметь внутреннюю Паули-форму.
Тогда его образом в наблюдаемом пространстве будет произведение Паули-вектора на опору:

$\mathcal A = AN = \left(\mu e^{\zeta U}\right)N= \mu \left[e^{\zeta U}N\right].$

Напомним, что за опору в прошлой статье мы приняли нулевой вектор алгебры $Cl_{(4,0)}$ , чтобы выделить в ней подструктуру $Cl_{N}(3,0)$ для реализации алгебры Паули, а при построении изоморфизма Sobczyk она переходит неизменённой в орт оси времени наблюдаемого пространства $STA=Cl_{(1,3)}$ .
Считаем, что собственное Паули-направление объекта ортогонально опоре (мы строили трёхмерную алгебру, содержащую его, по такому принципу):

Тогда

$Ne^{\zeta U}=e^{-\zeta U}N.$

Поэтому выражение в скобках $\left[e^{\zeta U}N\right]$ имеет единичный квадрат:

$[e^{\zeta U}N]^2=e^{\zeta U}Ne^{\zeta U}N=e^{\zeta U}e^{-\zeta U}N^2=1.$

Следовательно,

$\mathcal A^2=\mu^2.$

То есть после умножения на опору собственный Паули-мультивектор объекта становится интервальной формой. Его магнитуда $\mu^{}_{}$ играет роль собственного интервала, а множитель $e^{\zeta U}N$ задаёт нормированное направление этой формы в полном $Cl_{(4,0)}$ . Раскроем выражение:

$\mathcal A=\mu\cosh\zeta\, N+\mu\sinh\zeta\, UN.$

Здесь $N^{}_{}$ является опорной компонентой, а $UN^{}_{}$ – пространственно-ориентированной компонентой относительно этой опоры. Их квадраты имеют разные знаки:

$N^2=1,\qquad (UN)^2=-1.$

Поэтому

$\mathcal A^2=\mu^2(\cosh^2\zeta-\sinh^2\zeta)=\mu^2.$

Так появляется объединённый паравектор: внутренняя Паули-форма объекта после умножения на опору становится интервальным объектом. При этом $\zeta$ не является относительной скоростью. Это собственный угол раскрытия объекта между опорной и пространственно-ориентированной компонентой.
Если другой наблюдатель связан с исходной опорой бустом вдоль (для удобства) того же направления $U^{}_{}$ ,

$L_\eta=e^{-\frac{\eta}{2}U},$

то он увидит

$\mathcal A'=L_\eta \mathcal A L_\eta^{-1}.$

Подставляя $\mathcal A=\mu e^{\zeta U}N$ , получаем

$\mathcal A'=\mu e^{(\zeta-\eta)U}N.$

То есть внешний буст не уничтожает собственное раскрытие объекта, а меняет видимый угол с $\zeta$ на $\zeta-\eta$ .
Если относительной скорости нет, то $\eta=0$ , и остаётся

$\mathcal A=\mu e^{\zeta U}N.$

Значит, даже в собственной системе отсчёта объект может иметь внутреннее разложение времени-пространства углом $\zeta$ . Это не пространственный импульс объекта, а образ его собственной Паули-формы в полной интервальной алгебре.

4. Физическое масштабирование

4.1. Калибровка спектральных коэффициентов

Мы видели, что в сердце магнитуды спектрального разложения лежит геометрическое среднее коэффициентов:

$\mu^2=\lambda_+\lambda_-.$

Похожим образом связаны две длины, которые можно сопоставить массе – приведённая комптоновская длина и половина радиуса Шварцшильда.
До сих пор магнитуда $\mu^2=\lambda_+{\lambda_-}$ оставалась чисто алгебраическим инвариантом нашего мультивектора. Чтобы привязать этот математический аппарат к реальности, нам необходимо найти его физический эквивалент.
Вспомним, что любой физический объект, обладающий массой, неразрывно связан с двумя фундаментальными масштабами длины. С одной стороны, его квантовая природа задается комптоновской длиной волны ( $\sim\hbar/mc$ ), с другой – его искривляющее воздействие на метрику задается гравитационным радиусом ( $\sim{G}m/c^2$ ). Поразительным свойством нашего пространства-времени является то, что произведение этих двух пределов совершенно не зависит от массы объекта и всегда равно фундаментальной константе:

$\frac{\hbar}{mc} \frac{Gm}{c^2} = \frac{\hbar G}{c^3} = \ell_P^2.$

Если читать два идемпотентных канала как два дуальных масштабных проявления одного объекта, то естественным физическим требованием становится сохранение их произведения. В таком чтении произведение спектральных коэффициентов можно отождествить с инвариантной площадью, не зависящей от массы. Минимальный и наиболее естественный кандидат на такую площадь – $\ell_{P}^2$ .
Поэтому дальше мы примем это как физическую калибровку:

$\boxed{\lambda_+\lambda_-=\ell_P^2}.$

Тогда естественно положить

$\lambda_+ = \ell_P e^\zeta,\qquad \lambda_- = \ell_P e^{-\zeta}.$

Здесь $\zeta$ — уже не внешний буст и не скорость наблюдателя. Это масштабный угол раскрытия объекта. Он задаёт не направление в пространстве, а отношение двух собственных каналов:

$\boxed{\frac{\lambda_+}{\lambda_-}=e^{2\zeta}}.$

Теперь спектральная форма объекта принимает вид

$A=\ell_P e^\zeta\Pi_+ + \ell_P e^{-\zeta}\Pi_-.$

Или, используя $U=\Pi_+-\Pi_-$ ,

$A=\ell_Pe^{\zeta U}.$

После умножения на опору получаем полный интервальный образ:

$\mathcal A = A N = \ell_P e^{\zeta U} N.$

Его квадрат остаётся фиксированным:

$\mathcal A^2=\ell_P^2.$

То есть физическое одевание выбирает планковскую магнитуду спектрального объекта, а угол $\zeta$ задаёт, как эта магнитуда раскрыта между двумя идемпотентными каналами.

4.2. Масса как угол раскрытия

Теперь посмотрим, какую массу задаёт такое раскрытие. Если $+_{}^{}$ -канал читать как комптоновский масштаб, то

$\begin{cases}\lambda_+=\frac{\hbar}{mc},\\\lambda_+=\ell_P e^\zeta.\end{cases}\Rightarrow \qquad m=\frac{\hbar}{c\ell_P}e^{-\zeta} = m_P e^{-\zeta},$

где - планковская масса.
То же самое получается из -канала. Если

$\begin{cases}\lambda_-=\frac{Gm}{c^2},\\\lambda_-=\ell_Pe^{-\zeta},\end{cases}\Rightarrow \qquad m=\frac{c^2\ell_P}{G}e^{-\zeta}=m_Pe^{-\zeta}.$

Значит, возможно, масса здесь не является исходным параметром. Она появляется как физическое имя для масштабного угла раскрытия:

$\boxed{m(\zeta)=m_Pe^{-\zeta}}.$

Так спектральный угол $\zeta$ превращается в меру массы.

4.3. Планковская самодуальная точка

При $\zeta=0$ оба канала совпадают – это самодуальная планковская точка:

Канал	$\zeta$	$\lambda_+$	$\lambda_-$
0 :	$\zeta=0$	$\lambda_+= \ell_P$	$\lambda_-=\ell_P$
(+) :	$\zeta>0$	$\lambda_+>\ell_P$	$\lambda_-<\ell_P$
(-) :	$\zeta<0$	$\lambda_+<\ell_P$	$\lambda_->\ell_P$

4.4. Импульсная мера

Посмотрим, что получается, если привести оба канала к “общему знаменателю”. Интервальный образ объекта имеет размерность длины:

$\mathcal A=\ell_P e^{\zeta U} N.$

В нашей калибровке такая мера появляется из каждого канала:

$\begin{cases}(+): \quad\frac{\hbar}{\lambda_+}=\frac{\hbar}{\ell_P e^\zeta}=\frac{\hbar}{\ell_P}e^{-\zeta},\\(-): \quad\frac{c^3}{G}\lambda_-=\frac{c^3}{G}\ell_P e^{-\zeta},\\\frac{\hbar}{\ell_P}=\frac{c^3\ell_P}{G}=m_Pc.\end{cases}\Rightarrow\frac{\hbar}{\lambda_+}=\frac{c^3}{G}\lambda_-=m_Pce^{-\zeta} = m(\zeta) c = = mc.$

Так из масштабного раскрытия появляется импульсная мера .

4.5. Действие

Теперь можно построить действие-подобную форму, умножив интервальный образ на импульсную меру:

$\mathcal S=mc\mathcal A.$

Подставляя $\mathcal{A}={\ell_P}e^{\zeta U}N$ , получаем

$\mathcal S=mc \ell_P e^{\zeta U}N.$

Используем $mc={m_P}ce^{-\zeta}$ и ${m_P}c{\ell_P}=\hbar$ :

$\mathcal S=\hbar e^{-\zeta}e^{\zeta U}N.$

Или через идемпотенты:

$e^{-\zeta}e^{\zeta U}=e^{-\zeta}(e^\zeta\Pi_+ + e^{-\zeta}\Pi_-)=\Pi_+ + e^{-2\zeta}\Pi_-.$

Следовательно,

$\mathcal S = \hbar(\Pi_+ + e^{-2\zeta}\Pi_-)N.$

В действии $+_{}^{}$ -канал нормируется ровно на $\hbar$ , а $-_{}^{}$ -канал получает относительный вес $e^{-2\zeta}.$ Но

$e^{-2\zeta}=\frac{\lambda_-}{\lambda_+}.$

А с учётом физической калибровки

$e^{-2\zeta}=\frac{Gm^2}{\hbar c}.$

То есть

$e^{-2\zeta}=\alpha_G(m).$

Здесь $\alpha_G(m)$ — безразмерная гравитационная связь массы с самой собой. Поэтому одетый интервал действия можно записать так:

$\mathcal S = \hbar( \Pi_+ + \alpha_G(m)\Pi_- ) N.$

В этой форме видно, что комптоновский канал задаёт квант действия, а гравитационный канал входит как безразмерная поправка, равная собственной гравитационной связности массы.
Для элементарных частиц $\alpha_G(m){\ll}1$ , поэтому действие почти полностью сидит в $+_{}^{}$ -канале. Для планковской массы ${\alpha_G}=1$ , и оба канала становятся равноправными.
Можно сказать, что дополнительная факторизация геометрической интервальной формы в такой калибровке приводит временную компоненту к единому масштабу и переносит всю нелинейность на пространственную часть.
В такой записи можно осторожно предположить, что гравитационный вклад проявляется не как добавленная внешняя сила, а как поправка к линейной калибровке той формы, которую мы обычно читаем как временную.

4.6. Импульс

Для полноты картины вернёмся к импульсу и от него к энергии.
Импульс, как и вектор интервала $\mathcal{A}=\ell_P{e^\zeta{U}}N$ , видится стороннему наблюдателю с относительной скоростью (или наоборот) изменённым с учётом буста.
Пусть внешний наблюдатель связан с объектом обычным бустом вдоль направления $V^{}_{}$ :

$V^2=1,\qquad VN=-NV.$

Пропишем явно два угла: масштабный угол $\zeta$ задаёт массу

$m(\zeta)=m_Pe^{-\zeta},$

а пространственный импульс появляется только из кинематической быстроты $\eta$ . В собственной системе отсчёта $\eta=0$ , поэтому

Для наблюдателя с быстротой $\eta$ нормированная временная ось объекта имеет вид

$K_\eta=e^{\eta V}N,\qquad K_\eta^2=1.$

Тогда импульсная форма:

$P=mcK_\eta=mc\,e^{\eta V}N.$

После снятия опоры справа:

$PN=mc\,e^{\eta V}=mc\cosh\eta+mc\,V\sinh\eta.$

Отсюда

$\frac{E}{c}=mc\cosh\eta,\qquad|\mathbf p|=mc\sinh\eta.$

То есть $\zeta$ задаёт массу, а $\eta$ задаёт наблюдаемое разложение этой массы на энергию и пространственный импульс.

Энергия:

$E=mc^2\cosh\eta.$

Инвариант:

$E^2-c^2|\mathbf p|^2=m(\zeta)^2c^4 = E_P^2 e^{-2\zeta}.$

где $E_P=\sqrt{\hbar c^5/G}$ – планковская энергия.

4.7. Энергия

Инвариант энергии можно теперь прочитать справа налево. Объект со спектральным раскрытием $\zeta^{}_{}$ имеет собственную энергетическую норму

$E_0=E_Pe^{-\zeta}.$

А наблюдатель с кинематической быстротой $\eta^{}_{}$ видит эту норму разложенной на энергию и импульс:

$E=E_Pe^{-\zeta}\cosh\eta,\qquad c|\mathbf p|=E_Pe^{-\zeta}\sinh\eta.$

Тогда

$E^2-c^2|\mathbf p|^2=E_P^2e^{-2\zeta}(\cosh^2\eta-\sinh^2\eta)=E_P^2e^{-2\zeta}.$

Так видны два разных угла: быстрота $\eta^{}_{}$ только перераспределяет уже заданную норму между энергией и импульсом; спектральный угол $\zeta^{}_{}$ задаёт саму величину этой нормы.
Ещё интереснее это выглядит в светоконусных энергетических каналах:

$E_+=E+c|\mathbf p|,\qquad E_-=E-c|\mathbf p|.$

Подставляя выражения выше, получаем

$E_+=E_Pe^{-\zeta+\eta},\qquad E_-=E_Pe^{-\zeta-\eta}.$

То есть

$\boxed{E_\pm=E_Pe^{-\zeta\pm\eta}.}$

Произведение каналов зависит только от собственного спектрального раскрытия:

$\frac{E_+E_-}{E_P^2}=e^{-2\zeta}=\alpha_G.$

А отношение каналов зависит только от кинематической быстроты наблюдателя:

$\frac{E_+}{E_-}=e^{2\eta}.$

Следовательно,

$\zeta=-\frac12\ln\frac{E_+E_-}{E_P^2},\qquad\eta=\frac12\ln\frac{E_+}{E_-}.$

В этой форме $\zeta^{}_{}$ задаёт геометрическое среднее двух энергетических каналов, а $\eta^{}_{}$ – их отношение. Иначе говоря, спектральное раскрытие отвечает за массу, а кинематическое раскрытие – за то, как эта масса выглядит для выбранного наблюдателя.

4.8. Две калибровки одной формы

Теперь можно посмотреть на ту же форму с другой стороны. Интервальный образ был

$\mathcal A=(\lambda_+\Pi_+ + \lambda_-\Pi_-)N.$

Его можно нормировать по положительному каналу:

$\mathcal A=\lambda_+\left(\Pi_+ + \frac{\lambda_-}{\lambda_+}\Pi_-\right)N.$

Так как

$\frac{\lambda_-}{\lambda_+}=e^{-2\zeta}=\alpha_G,$

получаем

$\mathcal A=\lambda_+(\Pi_+ + \alpha_G\Pi_-)N.$

Это квантовая, или комптоновская, калибровка. В ней положительный канал приведён к единице, а гравитационный канал виден как малый относительный вес $\alpha_G^{}$ .
Можно сделать наоборот и нормировать ту же форму по отрицательному каналу:

$\mathcal A=\lambda_-\left(\frac{\lambda_+}{\lambda_-}\Pi_+ + \Pi_-\right)N.$

То есть

$\mathcal A=\lambda_-(\alpha_G^{-1}\Pi_+ + \Pi_-)N.$

Это гравитационная калибровка. В ней отрицательный канал приведён к единице, а квантовый канал получает вес $\alpha_G^{-1}$ .

Сама форма при этом не меняется. Меняется только то, какой канал мы считаем единичным:

$\lambda_+(\Pi_+ + \alpha_G\Pi_-)N=\lambda_-(\alpha_G^{-1}\Pi_+ + \Pi_-)N.$

Поэтому $\alpha_G^{}$ можно читать не только как гравитационную связь, но и как коэффициент перехода между двумя нормировками одного и того же объекта.
Если ввести нормированные формы

$\widehat{\mathcal A}_+=\frac{\mathcal A}{\lambda_+}=(\Pi_+ + \alpha_G\Pi_-)N,$ $\widehat{\mathcal A}_-=\frac{\mathcal A}{\lambda_-}=(\alpha_G^{-1}\Pi_+ + \Pi_-)N,$

то их квадраты оказываются взаимно обратными:

$\widehat{\mathcal A}_+^2=\alpha_G,\qquad\widehat{\mathcal A}_-^2=\alpha_G^{-1}.$

При $m{\ll}m_P$ имеем $\alpha_G\ll{1}$ . Тогда в комптоновской калибровке форма почти одноканальна:

$\widehat{\mathcal A}_+ \approx\Pi_+N.$

При $m\gg m_P$ имеем $\alpha_G\gg1$ . Тогда естественнее смотреть на гравитационную калибровку:

$\widehat{\mathcal A}_- \approx\Pi_-N.$

Планковская масса снова оказывается точкой равновесия:

$m=m_P,\qquad\alpha_G=1,\qquad\lambda_+=\lambda_-=\ell_P.$

В этой точке обе калибровки совпадают:

$\widehat{\mathcal A}_+=\widehat{\mathcal A}_-=(\Pi_+ + \Pi_-)N=N.$

Получается удобная картина. Лёгкие объекты естественно выглядят почти квантовыми, потому что их гравитационный канал подавлен. Тяжёлые объекты естественно выглядят почти гравитационными, потому что подавленным становится уже комптоновский канал. Но это не две разные сущности, а две стороны одной спектральной формы.

4.9. Безмассовая граница

Теперь безмассовый предел можно строить не от массы, а от формы действия. Для массивного объекта у нас получилось

$\mathcal S=\hbar(\Pi_+ + \alpha_G\Pi_-)N.$

Это статически перекошенная двухканальная форма: $+_{}^{}$ -канал нормирован на $\hbar$ , а $-_{}^{}$ -канал имеет вес

$\alpha_G = e^{-2\zeta}.$

Обобщим запись:

$\mathcal S=\hbar(a_+ \Pi_+ + a_- \Pi_- )N.$

Так как

$N\Pi_+ =\Pi_- N,\qquad N\Pi_- =\Pi_+ N,$

квадрат такой формы равен

$\mathcal S^2=\hbar^2 a_+ a_-.$

Для массивного режима

$a_+ = 1,\qquad a_- = \alpha_G,$

поэтому

$\mathcal S^2 = \hbar^2 \alpha_G.$

Безмассовая граница возникает, когда произведение каналов обращается в ноль:

То есть остаётся один идемпотентный канал и возможны две null-ветви:

$\mathcal S_+ =\hbar a_+ \Pi_+ N,\qquad a_- \equiv 0,\\\mathcal S_- =\hbar a_- \Pi_- N,\qquad a_+ \equiv 0.$

В обоих случаях квадрат формы действия обращается в ноль:

$\mathcal S_\pm^2=0.$

Поэтому безмассовый режим не имеет собственной массовой нормы.
Такой предел можно читать как переход от двухканальной massive-формы к одноканальной signal-форме. Масса возникает там, где есть устойчивое ненулевое произведение каналов. Безмассовая мода соответствует границе, где это произведение исчезает, а энегргия сохраняется в одном идемпотентном направлении.

5. Масса составных объектов

5.1. Составной объект как сумма собственных паравекторов

Возьмём один внутренний элемент объекта. У него есть собственное направление $u_a^{}$ и собственное спектральное разложение:

$p_a=\mu_a e^{\zeta_a u_a}=\mu_a\cosh\zeta_a+\mu_a u_a\sinh\zeta_a.$

То же самое можно записать через собственные идемпотенты элемента:

$\Pi_{a+}=\frac12(1+u_a),\qquad \Pi_{a-}=\frac12(1-u_a), \\p_a=\lambda_{a+}\Pi_{a+}+\lambda_{a-}\Pi_{a-} =\\=\mu_a e^{\zeta_a}\Pi_{a+}+\mu_a e^{-\zeta_a}\Pi_{a-},$

Теперь составной объект можно представить как сумму таких собственных паравекторов:

$P_B=\sum_a w_a p_a.$

Подставляя раскрытую форму, получаем

$P_B=\sum_a w_a\mu_a\cosh\zeta_a+\sum_a w_a\mu_a\sinh\zeta_a\,u_a.$

Обозначим

$T_B=\sum_a w_a\mu_a\cosh\zeta_a,\qquad\mathbf R_B=\sum_a w_a\mu_a\sinh\zeta_a\,u_a.$

Тогда

$P_B=T_B+\mathbf R_B.$

5.2. Пространственно изотропный объект

Если внутренние направления распределены равномерно и при этом весовая сумма первого момента обращается в ноль,

$\sum_a w_a\mu_a\sinh\zeta_a\,u_a=0,$

то

$\mathbf R_B=0.$

и составной объект не имеет выделенного пространственного направления:

Но это не означает, что пространственное раскрытие исчезло. Исчез только первый пространственный момент. Второй момент остаётся:

$\mathbf C_B=\sum_aw_a(\mu_a\sinh\zeta_a)^2u_a\otimes u_a.$

Именно он хранит стабилизированную пространственную часть составного объекта. При равномерном распределении направлений

$\sum_a w_a u_a\otimes u_a=\frac13\mathbf I_3.$

Если элементы имеют один и тот же собственный масштаб раскрытия, то

$\mathbf C_B=\frac13\mu^2\sinh^2\zeta\,\mathbf I_3.$

Поэтому для любого единичного пространственного направления $n^{}_{}$ получаем одно и то же значение:

$n^\top\mathbf C_B n=\frac13\mu^2\sinh^2\zeta.$

Составной объект уже не имеет собственного пространственного вектора $\mathbf R_B^{}$ , но имеет изотропную пространственную оболочку – одинаковую пространственную квадратичную проекцию во всех направлениях.
Поэтому можно построить эффективный паравектор составного объекта вдоль любого выбранного направления $n^{}_{}$ :

$p_B(n)=T_B+\rho_B n,$

где

$\rho_B^2=3n^\top\mathbf C_B n.$

Для равномерного распределения это не зависит от $n^{}_{}$ :

$\rho_B=\mu\sinh\zeta.$

А временная часть равна

$T_B=\mu\cosh\zeta.$

Значит, относительно любого пространственного направления $n^{}_{}$ эффективный паравектор имеет один и тот же вид:

$p_B(n)=\mu\cosh\zeta+\mu n\sinh\zeta.$

Его спектральное разложение по идемпотентам

$\Pi_{n+}=\frac12(1+n),\qquad\Pi_{n-}=\frac12(1-n)$

даёт

$p_B(n)=\mu e^\zeta\Pi_{n+}+\mu e^{-\zeta}\Pi_{n-}.$

То есть угол раскрытия такого составного объекта один и тот же для любого выбранного пространственного направления:

$\zeta_B=\frac12\ln\frac{\mu\cosh\zeta+\mu\sinh\zeta}{\mu\cosh\zeta-\mu\sinh\zeta}=\zeta.$

Таким получается переход от элемента к телу. Один элемент имеет собственный пространственный вектор $u_a^{}$ . Сумма многих элементов с равномерными направлениями теряет выделенное направление в первом моменте, но сохраняет одинаковый спектральный угол во втором моменте. Поэтому составной объект можно раскладывать по любому пространственному направлению $n^{}_{}$ , и результат будет давать один и тот же угол $\zeta_B^{}$ .
Простая линейная сумма паравекторов стабилизирует не новый пространственный вектор, а отсутствие выделенного направления:

$\sum_a w_a u_a=0.$

А угол составного объекта стабилизируется через второй момент:

$\mathbf C_B=\sum_aw_a(\mu_a\sinh\zeta_a)^2u_a\otimes u_a.$

Если этот второй момент изотропен, то разложение по любому $n^{}_{}$ даёт один и тот же угол.

6. Итог

На этом месте я бы пока притормозил, чтобы дать этому концепту улечься и расползтись в сопредельные территории. Из очевидных направлений продолжения стоит отметить:

Рассмотрение угла спектрального раскрытия как поля.
Использование гравитационной калибровки (посмотреть, что даёт гравитационная калибровка вблизи горизонта чёрной дыры).
Действие в интеграле по фейнмановским траекториям.
Форма взаимодействия двух объектов.
Реализация в алгебре $Cl_{(4,0)}$ .

А в завершение посмотрим, где на цета-шкале находятся разные объекты. Используем

$\zeta=\ln\frac{m_P}{m},\qquad \zeta^\ast=-\zeta.$

Положительные значения $\zeta^{}_{}$ соответствуют объектам легче планковской массы, отрицательные – тяжелее неё.

Объект	Примерная масса	$\zeta=\ln(m_P/m)$
Электрон	$9.11\cdot10^{-31}$ кг
Мюон	$1.88\cdot10^{-28}$ кг
Протон	$1.67\cdot10^{-27}$ кг
Бозон Хиггса	$2.23\cdot10^{-25}$ кг
Атом золота Au-197	$3.27\cdot10^{-25}$ кг
Рибосома E.coli	$4.2\cdot10^{-21}$ кг
Вирус табачной мозаики	$6.6\cdot10^{-20}$ кг
Бактериофаг T4	$2\cdot10^{-19}$ кг
Вирион HIV-1	$10^{-18}$ кг
Вирус осповакцины	$10^{-17}$ кг
Цианобактерия Prochlorococcus	$3\cdot10^{-16}$ кг
Бактерия E.coli	$10^{-15}$ кг
Эритроцит человека	$2.7\cdot10^{-14}$ кг
Дрожжевая клетка	$6\cdot10^{-14}$ кг
Пылинка, около 1 нг	$10^{-12}$ кг
Крупная пыльца, около 50 мкм	$6\cdot10^{-11}$ кг
Микропластиковая сфера, около 70 мкм	$2\cdot10^{-10}$ кг
Песчинка, около 10 мкг	$10^{-8}_{}$ кг
Планковская масса	$2.18\cdot10^{-8}$ кг	$0.0_{}^{}$
Капля воды, около 50 мг	$5\cdot10^{-5}$ кг
Монета, около 5 г	$5\cdot10^{-3}$ кг
Яблоко, около 200 г	$2\cdot10^{-1}$ кг
Человек, 81.4 кг	$8.14\cdot10^{1}$ кг
Легковой автомобиль	$1.5\cdot10^{3}$ кг
Голубой кит	$1.5\cdot10^{5}$ кг
Небоскрёб	$10^{8}$ кг
Астероид около 1 км	$10^{12}$ кг
Гора	$10^{14}$ кг
Луна	$7.34\cdot10^{22}$ кг
Земля	$5.97\cdot10^{24}$ кг
Юпитер	$1.90\cdot10^{27}$ кг
Солнце	$1.99\cdot10^{30}$ кг
Чёрная дыра Gaia BH3	$33M_\odot$
Звезда R136a1	$291M_\odot$
Шаровое скопление, около $10^6M_\odot$	$2.0\cdot10^{36}$ кг
Млечный Путь, около $10^{12}M_\odot$	$2.0\cdot10^{42}$ кг
Наблюдаемая Вселенная, вся материя	$9.6\cdot10^{53}$ кг
Наблюдаемая Вселенная, критическая энергия	$3.0\cdot10^{54}$ кг

Массы астрофизических объектов здесь приведены как ориентировочные: для Gaia BH3 – около $33M_\odot$ , для R136a1 – порядок нескольких сотен масс Солнца.

Продолжение, наверное, следует.