Теорема Фробениуса / Хабр

Эта заметка является продолжением статьи: «Выпрямление векторных полей и коммутирование потоков».

Возьмем гладкую функцию трех переменных $f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$ (предположим, что её градиент нигде не обращается в ноль). Рассмотрим её поверхности уровня:

При различных значениях константы мы получаем набор непересекающихся двумерных поверхностей. Пространство расслаивается на них, как слои в луковице. Если теперь в каждой точке пространства взять касательную плоскость к проходящей через неё поверхности уровня, мы получим поле двумерных плоскостей.

По определению это поле плоскостей интегрируемо, а поверхности уровня являются его интегральными поверхностями.

Обратно, допустим, кто-то задал нам совершенно произвольное гладкое поле двумерных плоскостей в $\mathbb{R}^3$ и попросил найти для них интегральные поверхности.

Поле двумерных плоскостей можно задать двумя линейно независимыми в каждой точке $\mathbb{R}^3$ векторными полями и . Тогда через каждую точку пространства проходит плоскость, содержащая векторы и .

Всегда ли мы сможем найти такую функцию , поверхности уровня которой будут везде касаться наших плоскостей?

Интуиция может подсказывать, что это всегда возможно, но это не так.

Ответ на вопрос дает теорема Фробениуса.

В этой статье мы сформулируем и докажем эту теорему.

Уравнение в частных производных

Пусть в области $D\subset\mathbb{R}^m$ заданы гладких векторных полей $v_1(x),\ldots,v_n(x)$ .

Теорема 1. Предположим, что в области данные векторные поля попарно коммутируют:

$[v_i,v_j]=0, \quad i,j=1,\ldots,n.$

Тогда для задачи Коши для системы уравнений в частных производных

$\frac{\partial x}{\partial t^k}=v_k(x), \quad x \big|_{t=0}=\hat x\in D,\quad k=1,\ldots,n$

существует и притом единственное решение , где $t=(t^1,\ldots, t^n)\in\mathbb{R}^n$ , при достаточно малых .

Доказательство

Действительно, проверим, что отображение $t\mapsto x(t)$ , заданное формулой

$x(t)=g_1^{t^1}\circ\ldots\circ g_n^{t^n}(\hat x), \quad g_k^t:=g_{v_k}^t,\qquad(1)$

является искомым решением.

По определению фазового потока имеем:

$\frac{\partial x}{\partial t^1}=v_1(g_1^{t^1}\circ\ldots\circ g_n^{t^n}(\hat x)).$

Уравнения по остальным переменным

$\frac{\partial x}{\partial t^k}=v_k(x(t)), \quad k\ge 2,$

проверяются аналогично. Для этого, пользуясь тем, что потоки коммутируют, необходимо переставить поток $g_k^{t^k}$ в формуле (1) на крайнее левое место и продифференцировать по .

Единственность доказывается аналогично единственности в теореме Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений — с помощью интегрального уравнения:

$x(t)=\hat x+\int_{[0,t]}v_i(x(\xi))\,dt^i, \quad [0,t]=\{st\in \mathbb{R}^n \mid 0\le s\le 1\}\subset\mathbb{R}^n.$

Теорема доказана. $\blacksquare$

Теорема Фробениуса

Теорема 2 (о коммутирующих полях). Предположим, что векторные поля

$v_i=(v^1_i,\ldots,v^m_i)(x),\quad i=1,\ldots,n,$

линейно независимы в каждой точке области , то есть

$\mathrm{rang}\,V=n,\quad V=\begin{pmatrix} v^1_1 & \dots & v^m_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ v^1_n & \dots & v^m_n \end{pmatrix},$

и попарно коммутируют:

$[v_i,v_j]=0, \quad i,j=1,\ldots,n.$

Тогда через каждую точку $\hat x\in D$ проходит и притом единственная гладкая -мерная поверхность $\Sigma(\hat x)\subset D$ такая, что векторные поля $v_1,\ldots,v_n$ являются базисными на $\Sigma(\hat x)$ .

Действительно, отображение из предыдущей теоремы задает параметрическое уравнение поверхности $\Sigma(\hat x)$ , при этом параметры $(t^1,\ldots,t^n)$ служат локальными координатами на $\Sigma(\hat x)$ с базисными векторами $v_1,\ldots,v_k$ .

Теорема 3 (Фробениус). Предположим, что векторные поля

$v_i=(v^1_i,\ldots,v^m_i)(x),\quad i=1,\ldots,n,$

линейно независимы в каждой точке области и находятся в инволюции:

$[v_i,v_j]=c_{ij}^p(x)v_p.$

Тогда через каждую точку $\hat x\in D$ проходит и притом единственная гладкая -мерная поверхность $\Sigma(\hat x)\subset D$ такая, что при каждом $x\in \Sigma(\hat x)$ векторы $v_1(x),\ldots,v_n(x)$ образуют базис в касательном пространстве к поверхности $\Sigma(\hat x)$ в точке ( $T_x\Sigma(\hat x)$ ).

Доказательство

План доказательства теоремы Фробениуса следующий. Мы построим набор векторных полей $u_1,\ldots,u_n$ как линейную комбинацию полей $v_1,\ldots,v_n$ :

$u_k(x)=A_k^s(x)v_s(x),\quad \mathrm{det}\,(A_k^s(x))\ne 0,$

где — компоненты невырожденной в окрестности точки $\hat x$ матрицы, а сами векторные поля $u_1,\ldots,u_n$ коммутируют, и воспользуемся предыдущей теоремой.

Всякий набор векторов $u_1,\ldots, u_n$ , полученный по этой формуле, находится в инволюции:

$[u_i,u_j]=b_{ij}^p(x)u_p.$

Это следует из того, что коммутатор векторных полей удовлетворяет правилу Лейбница:

Перейдем к построению полей .

Будем считать, что векторные поля занумерованы так, что минор, состоящий из первых столбцов матрицы , не равен нулю.

Тогда элементарными преобразованиями строк матрицу можно привести к виду, когда на месте указанного минора стоит единичная матрица:

$\tilde V = \begin{pmatrix}1 & 0 & \dots & 0 & \tilde{v}^{n+1}_1 & \dots & \tilde{v}^m_1 \\0 & 1 & \dots & 0 & \tilde{v}^{n+1}_2 & \dots & \tilde{v}^m_2 \\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & \dots & 1 & \tilde{v}^{n+1}_n & \dots & \tilde{v}^m_n\end{pmatrix}$

Теперь в качестве вектора возьмем вектор с координатами, которые стоят в -й строке матрицы $\tilde V$ :

$u_k(x) = (0, \ldots, 1, \ldots, 0, \tilde v_k^{n+1}(x), \ldots, \tilde v_k^m(x)), \quad k=1,\ldots,n,$

где единица стоит на -м месте.

Рассматривая первые компонент коммутатора для $s \le n$ , имеем:

$[u_i,u_j]^s=b_{ij}^p(x)u^s_p=b_{ij}^p(x)\delta^s_p=b_{ij}^s.$

С другой стороны, поскольку первые координат полей постоянны (нули и единицы), их производные равны нулю, откуда при $s\le n$ .

Отсюда следует, что все $b_{ij}^p=0$ , и теорема Фробениуса напрямую вытекает из Теоремы 2 (о коммутирующих полях). $\blacksquare$