Математика — это язык для количественного описания реальности, но она может уводить нас в миры, которые никогда не существовали. Физике нужно нечто большее, чем чистая математика.
Ключевые тезисы:
Некоторые идеи, физически присутствующие в нашей реальности, были найдены исключительно математическим способом.
Однако математика сама по себе не способна дать точную картину реальности; мы должны согласовывать то, что мы «думаем», с тем, что мы можем наблюдать и измерять.
Играть в песочнице — вполне допустимо, но нужно осознавать, чем это является на самом деле: математической забавой. Если вы хотите познать реальность — обратитесь к самой Вселенной.
За пределами теоретической физики, которую мы в настоящее время понимаем, предложено множество довольно популярных идей, которые объединяет одно: в своей основе они представляют собой математические расширения того, что нам уже известно и понятно. Используя математический аппарат, который не только охватывает наши нынешние знания, но и стремится объяснить больше явлений, чем объясняют существующие теории, мы надеемся расширить наше понимание Вселенной. Мы знаем, что в своих нынешних рамках общая теория относительности и квантовая теория поля прекрасно справляются со своими задачами, но они не способны (и не могут быть способны) объяснить буквально всё.
Наша теория гравитации и наши квантовые теории частиц и полей фундаментально несовместимы друг с другом: они не могут, например, объяснить, как ведёт себя гравитационное поле квантовой системы. Более того, наша нынешняя теоретическая основа не способна удовлетворительно объяснить:
тёмную материю,
тёмную энергию,
изначальное происхождение нашей Вселенной,
причину, по которой наша Вселенная заполнена материей, а не антиматерией,
среди прочих загадок.
Действительно, математика позволяет нам количественно описывать Вселенную; это, вероятно, самый полезный инструмент из имеющихся у нас при его правильном применении. Но Вселенная — это физическая, а не математическая сущность, и между ними существует огромная разница. Вот почему лишь одной математики всегда будет недостаточно для описания фундаментальной теории всего.
Около 400 лет назад развернулась великая мировоззренческая битва о природе Вселенной. На протяжении тысячелетий астрономы точно описывали орбиты планет с помощью геоцентрической модели, в которой Земля неподвижна, а все остальные объекты вращаются вокруг неё. Вооружившись математикой геометрии и точными астрономическими наблюдениями, используя такие инструменты, как окружности, экванты, деференты и эпициклы, точное математическое описание орбит небесных тел великолепно совпадало с наблюдениями. Более тысячи лет эта птолемеева модель оставалась практически неоспоримой по одной недооценённой причине: потому что она была более успешной, точной и обладала большей предсказательной силой, чем любая альтернатива.
Однако теория и наблюдения идеально не совпадали, и попытки увеличить точность предпринимались постоянно. В большинстве случаев это приводило к добавлению новых эпициклов, а затем, в XVI веке, возникла идея гелиоцентризма Коперника. Поместив Солнце в центр, объяснения попятного движения, как показано на иллюстрации выше, стали намного проще, но соответствие данным внезапно оказалось хуже, чем в геоцентрической модели. Когда в 1590-х годах появился Иоганн Кеплер, у него возникла блестящая идея, которая, как ему казалось, решала всё.
Он заметил, что с астрономической точки зрения существует всего шесть планет, если считать Землю планетой, но не включать Луну. Он также заметил, что математически существует лишь пять платоновых тел, то есть пять математических объектов, все грани которых являются равносторонними многоугольниками. Вписав сферу внутрь каждого из них и описав сферу снаружи, он мог «вложить» их друг в друга так, что это весьма неплохо соответствовало планетным орбитам: честно говоря, лучше, чем всё, чего когда-либо добивался Коперник. Это была блестящая, красивая математическая модель и, пожалуй, первая попытка построить то, что мы сегодня назвали бы «элегантной Вселенной».
Но с точки зрения подтверждения наблюдениями это всё равно был провал. Модель не смогла даже сравниться с древней птолемеевой моделью с её эпициклами, эквантами и деферентами. Идея была образцом элегантности и простоты и ознаменовала нашу первую попытку утверждать (исключительно на основании чистой математики!) как Вселенная должна себя вести. Но когда мы сопоставили эту идею с реальностью и фактическими наблюдениями планет, она просто не сработала. Господствующая модель того времени, при всей её относительной неуклюжести, по-прежнему лучше соответствовала реальности, чем прекрасная модель Кеплера.
Что же Кеплер сделал дальше? Он провел работу, которая в конечном счёте и определила его вклад в науку.
Он взял свою красивую, элегантную, убедительную модель, над которой так долго работал, модель, которую он явно любил, и, поскольку она расходилась с наблюдениями, совершил самое замечательное из всего возможного: он от неё отказался. Вместо того чтобы дорабатывать и подгонять свою модель, чтобы она лучше соответствовала наблюдаемому, он погрузился в данные, чтобы выяснить, какие типы орбит соответствуют тому, как планеты действительно наблюдаются в своём движении. В результате этого анализа он пришёл к трём глубоким научным (а не чисто математическим) выводам:
1. Все шесть планет, вопреки предположениям, на самом деле двигались не по окружностям вокруг расположенного в центре Солнца. Вместо этого планеты двигались по эллипсам, в одном из фокусов которых находилось Солнце, причём каждая планета описывалась собственным набором параметров (таких как орбитальная скорость и эксцентриситет орбиты).
2. Поскольку их орбиты были некруговыми, планеты не двигались с постоянной скоростью по своим орбитам вокруг Солнца. Вместо этого каждая планета двигалась со скоростью, которая изменялась в зависимости от расстояния планеты до Солнца, причём большая скорость соответствовала большему приближению к Солнцу, а меньшая — большему удалению от него, таким образом, что каждая отдельная планета описывает равную площадь за один и тот же промежуток времени.
3. И наконец, периоды обращения планет были прямо пропорциональны большой полуоси эллипса орбиты каждой планеты, то есть расстоянию от Солнца, возведённому в определённую степень (количественно определённую как 3/2).
Эти три закона ознаменовали переломный момент в истории науки. Не философия, не богословие и даже не математика лежали в основе физических законов, управляющих природой. Мы не могли вывести «наиболее совершенную» математику, описывающую природу, а могли лишь использовать математику как инструмент, описывающий, как проявляются физические законы природы. Ключевым прорывом стала идея основывать наши научные модели реальности на том, что наблюдаемо и измеримо, и выбирать модель, которая наилучшим образом соответствует собранным данным.
Так в науке зародилась ненарушаемая с тех пор традиция: любая теория должна быть проверена данными, которые даёт нам Вселенная. Без этой идеи дальнейший прогресс становится невозможным.
Эта идея возникала снова и снова на протяжении всей истории, поскольку новые математические изобретения и открытия непрерывно вооружают нас новыми инструментами для попыток описания физических систем. Но каждый раз дело было не в том, что новая математика якобы говорила нам, как устроена Вселенная. Наоборот, именно новые наблюдения показывали нам, что требуется нечто, выходящее за рамки нынешней физики. Одной чистой математики недостаточно, чтобы привести нас к следующему научному прорыву, но если нам повезёт, некоторые из уже открытых нами математических идей действительно окажутся способными успешно описать наблюдаемую нами Вселенную.
Перенесёмся в начало 1900-х годов: стало ясно, что механика Ньютона переживает кризис. Она не могла объяснить, как движутся объекты вблизи скорости света, что лучше описывалось специальной теорией относительности Эйнштейна. Ньютоновская теория всемирного тяготения также оказалась в затруднительном положении, поскольку не смогла объяснить наблюдаемое движение планеты Меркурий вокруг Солнца. Понятия вроде пространства-времени только начинали формулироваться, но идея неевклидовой геометрии (где само пространство может быть искривлённым, а не плоским, как трёхмерная решётка, показанная выше) уже несколько десятилетий витала среди математиков.
К сожалению, разработка математического аппарата для описания искривлённого пространства-времени (и гравитации) требовала большего, чем чистая математика, поэтому потребовалось применение математики определённым, скорректированным образом, который согласовывался бы с наблюдениями Вселенной. Существует множество математических способов записать уравнения, управляющие искривлённым многообразием, но лишь один из этих математических вариантов может соответствовать пространству-времени, описывающему нашу Вселенную. Это, вполне возможно, и есть главная причина, почему практически каждый на Земле знает имя «Альберт Эйнштейн», но немногие знают такое имя, как «Давид Гильберт».
Оба учёных, и Эйнштейн, и Гильберт, проделали значительную работу над теориями, связывающими искривление пространства-времени с гравитацией и присутствием материи и энергии. Они находились в одном месте, общались друг с другом, делились идеями и относились друг к другу с большой симпатией. Оба работали с похожими математическими формализмами; сегодня одно из важнейших уравнений, вытекающих из общей теории относительности, известно как действие Эйнштейна-Гильберта. Но Гильберт, создавший свою собственную, независимую от Эйнштейна теорию гравитации, преследовал более амбициозные цели: его теория пыталась включить объяснения материи и электромагнетизма наряду с гравитацией, в рамках единого подхода.
Проблема заключалась в следующем: амбициозная теория Гильберта просто не согласовывалась с природой. Гильберт конструировал математическую теорию такой, какой она, по его мнению, должна была бы быть применительно к нашей физической реальности, вместо того чтобы позволить реальности быть проводником, ведущим к уравнениям, которые наилучшим образом её описывают. Из-за такого подхода Гильберта, ныне общепризнанно считающегося в корне ошибочным способом построения теории, Гильберт так и не получил уравнений, которые точно предсказывали бы количественные эффекты гравитации.
Напротив, общая теория относительности Эйнштейна, как известно, это сделала, и именно поэтому уравнения поля известны как уравнения поля Эйнштейна, без какого-либо упоминания Гильберта. Если ваша идея не выдерживает проверки реальностью, вы вообще не занимаетесь физикой.
Почти идентичная ситуация в истории физики вновь возникла всего несколько лет спустя: на этот раз в контексте квантовой физики. Как бы тщательно вы ни подготовили эксперимент, если вы выпустите электрон через две щели, невозможно будет предсказать, основываясь на начальных условиях, куда он в итоге попадёт. Можно будет лишь узнать, какова вероятность его обнаружения в том или ином месте возможного распределения. Требовался новый тип математики, основанный на волновой механике и множестве вероятностных исходов. Сегодня мы используем математику векторных пространств и операторов, описываемую термином, который может быть знаком студентам-физикам: гильбертово пространство.
Тот самый математик, который работал над физикой пространства-времени вместе с Эйнштейном, Давид Гильберт, также открыл набор математических векторных пространств, который был чрезвычайно перспективен для квантовой физики. И что интересно, и в этот раз, как и в случае с попыткой Гильберта создать теорию гравитации, предсказания, вытекающие из его гильбертова пространства, не вполне согласовывались с физической реальностью.
Для достижения соответствия физической реальности необходимо было внести некоторые корректировки в математику, создав то, что некоторые называют оснащённым гильбертовым пространством или физическим гильбертовым пространством. (Где на «скалярное произведение» гильбертова пространства накладываются дополнительные физические ограничения, но не по каким-либо математическим причинам.) Математические правила необходимо было применять с определёнными оговорками, иначе результаты нашей физической Вселенной никогда не были бы воспроизводимы.
Сегодня в теоретической физике стало очень модно обращаться к математике как к потенциальному пути к ещё более фундаментальной теории реальности. За годы и десятилетия был испробован ряд подходов, основанных на математике, в том числе попытки встроить нашу текущую понимаемую реальность в более грандиозную структуру путём:
введения дополнительных симметрий,
добавления дополнительных измерений,
добавления новых полей в общую теорию относительности,
добавления новых полей в квантовую теорию,
использования более крупных групп (из математической теории групп) для расширения Стандартной модели,
наряду со многими другими сценариями.
Но вот в чём дело: математика — это мощный инструмент, но далеко не единственный. Когда у нас есть математический аппарат, то он, как правило, допускает множество возможных решений. Однако в конечном счёте существует лишь одна физическая реальность, и поэтому мы должны привнести нечто из физики, а именно правила, ограничения, эффекты отбора и т. д., и это позволит нам выделить то единственное математическое решение, которое соответствует этой наблюдаемой, измеряемой реальности.
С точки зрения теоретика, те виды математических исследований, которые мы можем проводить, интересны и потенциально значимы для физики: они могут содержать ключи к тем тайнам, которые Вселенная может хранить за пределами известного на сегодняшний момент. Но одна только математика не сможет научить нас тому, как устроена Вселенная. Мы не получим никаких окончательных ответов без сопоставления её предсказаний с физической Вселенной.
Это не тот урок, который природа даёт лишь на переднем крае науки или на высших уровнях теоретической физики. В некотором смысле это урок, который каждый студент-физик усваивает в первый раз, когда сталкивается с баллистическим движением и пытается рассчитать траекторию объекта, брошенного в воздух. Вопросы, на которые вы, возможно, захотите ответить, включают:
Как далеко улетит объект?
Где объект приземлится относительно вашего начального положения?
Сколько времени объект проведёт в воздухе, прежде чем упадёт на землю?
Безусловно, существуют математические уравнения движения, которые дают ответы. Но когда вы решаете эти уравнения, описывающие движение этих объектов, вы получаете не «ответ». Вы получаете несколько ответов; вот к чему приводит одна лишь математика.
Но в реальности существует только один объект. Он следует лишь по одной траектории, приземляется лишь в одном-единственном месте и делает это в один конкретный, измеримый момент времени. Какой из возможных ответов, которые дают уравнения, соответствует этой реальности? Математика не только не скажет вам этого, но и не может сказать принципиально. Чтобы получить ответ, соответствующий реальности, необходимо понимать особенности конкретной физической задачи, поскольку эта информация необходима для определения того, какое решение имеет физический смысл. Математика продвинет вас очень далеко в этом мире, но не даст вам всех ответов. Без проверки реальностью вы не сможете отличить реальный мир от миров чистой математической фантазии. Если ваша цель — понять физическую Вселенную, одной лишь математики недостаточно.
Эта статья была впервые опубликована в феврале 2023 года. Обновлена в июле 2026 года.
