Оказывается, из обычного длинного воздушного шарика можно сделать не только собачку, но и вполне серьезный математический объект.

Исследователи Эрик Демейн, Мартин Демейн и Ви Харт предложили целую теорию вычислительного моделирования фигур из воздушных шаров. Их идея проста: представить скрученную фигуру как граф.

Узлы, где шарик перекручивается, становятся вершинами графа, а надутые участки между ними — ребрами.

После этого детский фокус внезапно превращается в задачу дискретной математики: можно ли пройти по всем ребрам такой конструкции одним шариком, нигде его не разрывая? Здесь появляется классическая теория Эйлера.

Если необходимый граф допускает подходящий эйлеров маршрут, всю конструкцию можно получить из одного непрерывного шарика. Именно поэтому, например, октаэдр авторы собирают из одного шара.

А вот если в графе есть несколько вершин нечетной степени, становится интересно посчитать минимальное количество шариков. Авторы показывают: если таких вершин (o), то требуется как минимум (o/2) шариков.

Например, знаменитая задача о семи мостах Кёнигсберга имеет четыре нечетные вершины — значит, в «воздушно‑шариковой» версии для нее понадобятся два шарика.

Но математика становится еще интереснее, если разрешить часть шарика временно оставлять ненадутой или прятать внутри конструкции.

Тогда задача начинает напоминать задачу китайского почтальона: нужно найти кратчайший маршрут, который позволит пройти по всем необходимым ребрам графа.

А дальше возникает непреодолимая стена. Найти минимальное число шариков для многих конструкций можно сравнительно эффективно. Но если дополнительно потребовать, чтобы все эти шарики были одинаковой длины, задача в общем случае становится NP‑полной.

То есть вопрос «можно ли собрать эту фигуру из нескольких совершенно одинаковых шариков?» математически может оказаться намного сложнее, чем сама сборка.

Авторы проверили теорию и на знакомых многогранниках:

— тетраэдр — 2 шарика;
— куб — 4;
— октаэдр — 1;
— икосаэдр — 6;
— додекаэдр — 10.

Причем это исследование не ограничивается развлечением. Авторы предлагают использовать такие конструкции для обучения теории графов, алгоритмам, симметрии и геометрии, а тот же подход потенциально применим к проектированию временных сооружений из длинных надувных балок.

Получается довольно красивый пример того, как из вопроса уровня «сколько шариков нужно, чтобы сделать куб?» можно прийти к Эйлеру, теории графов, оптимизации и NP‑полноте.