Мы часто используем привычные нам математические объекты и порой не задумываемся, почему они устроены именно так, а не иначе. На этот вопрос бывает ответить совсем не просто, ведь для этого необходимо взглянуть на повседневные вещи под совершенно другим углом или глубоко обобщить накопленную по ним информацию.

Сегодня я предлагаю подробно разобрать и обобщить информацию об элементарных и специальных функциях. Как мы увидим далее, грань между ними далеко не так очевидна, как кажется на первый взгляд.

Но сначала давайте вспомним, какие именно функции принято считать элементарными. В математическом анализе существует строгое определение этой группы:

Элементарными функциями называются такие функции, которые можно получить с помощью конечного числа основных арифметических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) или суперпозиции (композиции), когда функция берётся от другой функции из строго определённого базисного набора.

В основной базисный набор традиционно входят следующие виды функций:

  • Степенная: y=x^a, где a - константа

  • Показательная: y=a^x (частный случай y=\mathrm{e}^x)

  • Логарифмическая: y=\mathrm{log}_ax (частный случай y=\ln x)

  • Тригонометрические: y=\sin x; y=\cos x

  • Обратные тригонометрические: y=\arcsin x; y=\arccos x; y=\mathrm{arctg}\, x; y=\mathrm{arcctg}\,x

Иногда в элементарные функции включают еще и гиперболические функции, но я это делать не буду, так как они являются комбинацией показательной функции с основанием константы Эйлера (\mathrm{e}\approx2.718281828)

\mathrm{sh}\left(x\right)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}

и

\mathrm{с\!h}\left(x\right)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}

Остальные гиперболические и обратные им функции можно также выразить через другие элементарные функции.

Однако существуют функции, которые принципиально невозможно выразить через конечные комбинации базовых элементарных функций, но они неизбежно возникают при решении фундаментальных математических и прикладных физических задач. К таким функциям относятся интегральный синус:

\mathrm{Si}\left(x\right)=\int_0^x\frac{\sin t}{t}\mathrm{d}t

эллиптический интеграл второго рода

K\left(k\right)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sqrt{1-\left(k\cdot\sin t\right)^2}\mathrm{d}t

Он, в частности, получается в результате решения задачи о длине эллипса и во многих других задач.

Но давайте внимательно присмотримся к элементарным функциям. Из математического анализа известно, что каждую из них можно разложить в окрестности точки x0 можно разложить в ряд Тейлора:

f\left(x_0+\Delta x\right)=f\left(x_0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{n!}\cdot\left(\Delta x\right)^n

или его частный случай – ряд Маклорена, который раскладывает функцию около нуля:

f\left(x\right)=f\left(0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{n!}\cdot x^n

И вот здесь кроется первый парадокс: сами эти бесконечные ряды уже сложно назвать элементарными функциями в бытовом понимании, поскольку для точного нахождения их значений требуется теоретически вычислить бесконечное число членов (при условии сходимости ряда). На практике вычисления прерываются на конечном члене, исходя из требуемой точности.

Вглядимся в знаменатель этих рядов, где стоит факториал целого числа n!. Как известно, факториал натурального числа строго выражается через специальную Гамма-функцию Эйлера:

\Gamma\left(x\right)=\int_0^\infty t^{x-1}\cdot\mathrm{e}^t\mathrm{d}t

Основное свойство Гаммы-функции следующее \Gamma\left(x+1\right)=x\cdot\Gamma\left(x\right) и \Gamma\left(1\right)=1. Следовательно, при целых n\ge 2\,\,\,\Gamma\left(n\right)=n! Откуда мы можем ряды Тейлора и Маклорена записать следующем образом:

f\left(x_0+\Delta x\right)=f\left(x_0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(x_0\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}\cdot\left(\Delta x\right)^n

и

f\left(x\right)=f\left(x_0\right)+\sum_{n=1}^\infty\frac{f^{\left(n\right)}\left(0\right)}{\Gamma\left(n+1\right)}\cdot x^n

Мы видим, что даже в разложении элементарных функций в ряды Тейлора и Маклорена присутствует специальная функция Гамма-функция Эйлера.

Надо заметить, что Гамма-функция Эйлера, как правило, используется в математической литературе только при разложении специальной функции Бесселя:

J_\nu\left(x\right)=\sum_{m=0}^\infty\frac{\left(-1\right)^m}{\Gamma\left(m+1\right)\cdot\Gamma\left(m+\nu+1\right)}\cdot\left(\frac{x}{2}\right)^{2\cdot m-\nu}

Это объясняется тем, что порядок функций Бесселя может быть не только целым, но и дробным и даже иррациональным числом. Кстати функции Бесселя половинного порядка можно выразить через принятые элементарные функции:

J_{1/2}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi\cdot x}}\cdot\sin x

и

J_{-1/2}\left(x\right)=\sqrt{\frac{2}{\pi\cdot x}}\cdot\mathrm{cos}\,x

И для других функций Бесселя порядка n+\frac{1}{2}, где z – целое число, можно получить выражения используя рекуррентные формулы для этих функций:

J_{\nu+2}\left(x\right)=\frac{2\cdot\nu}{x}\cdot J_\nu\left(x\right)-J_{\nu-1}\left(x\right)

Давайте теперь вернемся опять к элементарным функциям, но на время будем считать только те функции истинно элементарными, которые можно записать только используя конечное количество арифметических действий (сложение, вычитания умножения и деление). И рассмотрим в соответствии с этим определением степенную функцию y=xb, где b – константа. При целых b, согласно определению целой степени числа, мы должны сделать b умножений числа основания степени на само себя, то есть мы получаем конечное число умножений. Следовательно, по нашему определению при целых показателях степени степенная функция является истинно элементарной функцией. Что нельзя сказать, когда показатель степени дробный, и тем более иррациональный.

В заключении статьи должен сделать некоторое замечание: вовсе не предлагаю пересмотреть классификацию больших групп функций: элементарных и специальных, так как это исторически формировалось столетиями и крепко отложилось в подсознании человечества и изменить его весьма сложно, если даже невозможно. Но понимать, что граница между этими классами весьма условна – нужно.