В данной статье докажу, что чисел-близнецов бесконечно!

Напомню, числа-близнецы (или простые близнецы) — это пары простых чисел, которые отличаются друг от друга ровно на 2. Например, (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) и так далее.

У чисел-близнецов есть свойство которое поможет нам в доказательстве - формой представления, где все пары чисел-близнецов, кроме (3,5), имеют вид (6n-1, 6n+1).

Для нашего доказательства, вспомним теорему Евклида:

Предположим, что дан некоторый конечный список простых чисел 2, 3, 5 … z. Евклид доказывает, что существует простое число, не входящее в этот список.

Пусть Р - произведение этих чисел, Р = 2 * 3 * 5 * .... * z. Рассмотрим число Q = P+1. Если Q - простое, то найдено простое число, не входящее в данный список 2, 3, 5 … z (поскольку оно больше каждого числа из списка). Если же Q не является простым, то существует некоторое простое число х, на которое нацело делится число Q. Но х не может быть одновременно и делителем Q и элементом списка 2, 3, 5 … z, поскольку тогда при делении Q на х был бы остаток, не равный нулю. Значит, существует простое число х, не входящие ни в какой (конечный) список простых чисел 2, 3, 5 … z

Если в доказательстве Евклида из произведения простых чисел P выделим первые простые числа 2 и 3, представим P1 = P/(2*3), а так же добавим еще одно условие, тогда получим:

Пусть Р - произведение этих чисел, Р = 2 * 3 * 5 * .... * z = 6* 5 * .... * z = 6 P1. Рассмотрим число Q1 = 6 P1 +1 и Q2 = 6 P1 -1. Если Q1 и Q2 - простые, то найдены простые числа-близнецы, не входящие в данный список 2, 3, 5 … z (поскольку они больше каждого числа из списка). Если же одно или оба Q1 и Q2 не являются простыми, то существует некоторое простое числа х, (и y если оба Q1 и Q2 составные), на которые нацело делятся числа Q1 или (и) Q2. Но х (и y) не могут быть одновременно и делителем Q1 и Q2 и элементом списка 2, 3, 5 … z, поскольку тогда при делении Q1 , Q2 на х (и соответственно на y), был бы остаток, не равный нулю. Значит, существует простые числа х (и y), не входящие ни в какой (конечный) список простых чисел 2, 3, 5 … z.

Надеюсь, что данное доказательство на основе теоремы Евклида является верной.

Спасибо за интерес к теме!