Часто можно услышать, что цвет субъективен, а электромагнитные волны объективны. Однако электромагнитные волны связаны с физической теорией, которая выражается посредством математического формализма. Это в свою очередь поднимает вопрос, что можно сказать об электромагнитном поле без использования математических уравнений теории Максвелла.

Для обсуждения связи математики и физики вводится метафора математических очков. Понимание физической теории достигается надеванием математических очков, а без них мы теряем возможность содержательного обсуждения физического мира. Вначале кратко рассмотрена история связи физики и математики в ходе научной революции 17-го века, а затем показано, что без математических очков нельзя ответить на вопрос, что такое электромагнитное поле. Это не вызывает особых проблем, поскольку можно понять связь теории с работой реальных устройств.

Тем не менее, вопрос об объективности электромагнитного поля связан с объективностью используемых математических очков. Обсуждены два варианта ответа - математические очки принадлежат либо миру, либо мышлению человека. Первый вариант приводит к математическому платонизму, когда остается отрытым вопрос о связи мира математической Платонии с физическим миром. Во втором варианте теряется возможность использования значения слова объективный для мира самого по себе.

  • Немного истории

  • Что такое электромагнитное поле?

  • Принцип координации

  • Математические очки и мир

  • Список литературы

Немного истории

В ходе научной революции 17-го века были введены первичные и вторичные качества. Первые связывались с физическим миром, а вторые с человеческими качествами. В рассматриваемом примере цвет был исключен из физического мира, в котором было оставлено только движение. Такое разделение открыло путь к математизации физического мира и этот путь оказался крайне успешным для последующего развития физики.

Приведу выразительную цитату из книги Мориса Клайна ‘Математика. Поиск истины‘, в которой представлены идеалы научных революционеров 17-го века:

‘Полностью разделяя убежденность древних греков в том, что мир устроен на математических принципах, и принимая представления, гласившие, что мир был создан на математических принципах не кем иным, как Богом, они видели в математике путь к познанию истин о природе. Иначе говоря, превратив Бога в ревностного и непогреши­мого математика, стоящего над всем миром, мыслители как бы отождествили поиск математических законов природы с религиозными исканиями. Изучение природы стало изучением слова божьего, его деяний и его воли. Гармония мира в их глазах была прояв­лением математической структуры, которой Бог наделил мир при сотворении. Именно он заложил в мир тот строгий математический порядок, познание которого дается нам с таким трудом. Математическое знание почиталось абсолютной истиной, как любая строка Священного писания. Более того, математическое знание становилось в чем-то выше Священного писания, ибо по поводу толкования тех или иных мест в Священном писании возникало немало разногласий, тогда как относительно математи­ческих истин не могло быть ни малейших споров.’

Классический пример — это движение планет вокруг Солнца. Закон всемирного тяготения Ньютона позволил описать и предсказать движение планет с прекрасной точностью, что далее привело к открытию Нептуну ‘на кончике пера’. На этом этапе не было обсуждения вопроса, каким образом математика связана с материей. Теологическое объяснение 17-го века дало толчок к использованию математики в физике, а это привело к успеху. Далее все шло по инерции, или же можно было положиться на Канта:

'в любом частном учении о природе можно найти науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней математики'.

Однако во второй половине 19-го века после признания неевклидовой геометрии математика отделилась от физики. Таким образом, в 20-м веке связь математики и материи перестала быть самоочевидным фактом. Так, Герман Вейль в книге 'Разум и природа' поставил вопрос ребром:

'Проблема, разрешить которую должна теория научного познания, может быть грубо сформулирована следующим образом. Комета отыщет своё завтрашнее положение, начав с положения сегодняшнего и осуществив своё движение в действительности. Мы ищем её завтрашнее положение, выписывая некие числа, которые символизируют данные, имеющиеся в данный момент в нашем распоряжении, производя с ними сложные символические операции и тем самым предсказывая будущее положение кометы, не ожидая действительного осуществления её движения. Что же общего имеет этот символьный процесс астронома с реальным процессом кометы?'

В предлагаемой метафоре математических очков вопрос Вейля можно переформулировать следующий образом. Астроном смотрит на движение кометы в математических очках, и в этом случае у него не возникает особых вопросов. Однако далее астроном задается вопросом, что он может сказать о движении кометы без использования математических очков.

Что такое электромагнитное поле?

Рассмотрим вопрос Вейля в случае электромагнитного поля. Во второй половине 19-го века было найдено волновое уравнение для распространения электромагнитных волн. По аналогии со звуковыми волнами, за которые отвечали колебания воздуха, считалось, что существует эфир, колебания которого отвечают распространению электромагнитных волн. Далее по разным причинам существование эфира было отвергнуто и было решено, что электромагнитное поле распространяется само по себе в вакууме. Возникает вопрос, что такое электромаг­нитное поле в физическом мире.

При рассмотрении этого вопроса невозможно обойтись без уравнений Максвелла, поскольку без математического формализма нельзя сказать про электромагнитные волны что-то определенное. Это обстоятельство не означает нереальность электромагнитных волн. Представим, что вы достали мобильник и попросили физиков объяснить, каким образом мобильник получает информацию. Для наглядности предположим, что физики находятся рядом с вами в комнате и что из окна видна антенна базовой станции оператора мобильной связи.

Физики покажут на эту антенну, скажут, что в корпусе мобильника есть маленькая антенна, что антенны излучают электромагнитные волны, которые передают информацию между мобильником и антенной базовой станции. Если вы захотите узнать подробнее, каким образом все это происходит, то физики перейдут к уравнениям Максвелла.

Существуют приборы для измерения напряженности электромагнитного поля, и физики для доказательства реальности электромагнитного поля покажут показания приборов. Кстати, электромагнитные волны влияют на человека и нахождение рядом с сильным источником электромагнитного поля вредно для здоровья. Таким образом, переход к математи­ческому формализму теории Максвелла не исключает реальность происходящего перед глазами.

Тем не менее, физики в ответ на вопрос, что такое электромагнитное поле, покажут на уравнения Максвелла и скажут, что все проводимые эксперименты полностью подтверждают их справедливость. В более развернутом ответе будет сказано, что в уравнения Максвелла входит электрическое поле, магнитное поле и свойства материалов (диэлектрическая и магнитная проницаемости). Возможно, что физики объяснят решения математических уравнений своими словами. В любом случае детальное понимание ответа на вопрос, что такое электромагнитное поле, невозможно без знакомства с математическим формализмом теории Максвелла.

Принцип координации

В предыдущей статье 'Математика, физика и мир: Проблема координации' я рассмотрел связь формализма физической теории с реальными измерительными приборами и проведением реальных экспериментов. Физическая теория отвечает на вопрос, что такое физическая величина, а также она дает концептуальную модель идеального измерительного прибора, которая служит основой при построении реального прибора.

Рассмотрим в качестве примера описание эксперимента с электричеством в 19-м веке из книги Пьера Дюгема 'Физическая теория, её цель и строение'. Описание выглядит старомодным, но зато оно лучше выражает суть идеи:

'Войдите в эту лабораторию. Подойдите к этому столу, на котором установлено множество аппаратов. Здесь и гальваническая батарея, и медные проволоки, обвитые шелком, и склянки, наполненные ртутью, и катушки, и железная палочка с зеркальцем. Наблюдатель вставляет в маленькие отверстия металлическое острие штепселя, головка которого сделана из эбонита. Железная палочка приходит в колебательное движение, и от зеркальца, с ней соединенного, отбрасывается на масштаб из целлулоида светящаяся полоска, движение которой наблюдает экспериментатор. Нет сомнения: перед нами произведен эксперимент. При посредстве колебательных движений этого светящегося пятна физик точно наблюдает колебания железной палочки. Спросите его, что он делает. Полагаете ли вы, что он скажет: «Я изучаю колебательное движение железной палочки, соединенной с зеркальцем»? Нет, этого ответа вы от него не получите. Он ответит вам, что измеряет электрическое сопротивление катушки. Вы придете в изумление и спросите его, что значат его слова и какое отношение существует между ними и явлениями, которые он сейчас констатировал вместе с нами. Он ответит вам, что для того, чтобы ответить на ваш вопрос, необходимы слишком долгие объяснения. Пожалуй, посоветует вам прослушать курс по теории электричества.'

Описание Дюгема показывает существование концептуальной модели идеального эксперимента, при этом увиденное в лаборатории реальное оборудование соответствует этой модели. Без понимания концептуальной модели на базе математического формализма нельзя понять смысл происходящего в физической лабора­тории. Однако при рассмотрении истории физики можно проследить развитие теории без разговоров о необъяснимой эффективности математики в физике. Правда, теория не выводится индуктивным путем из проведенных опытов. Это обстоятельство также обсуждается в книге Дюгема и это хорошо видно из истории физики.

Таким образом, понимание измерительного прибора для измерения напряженности электромагнитного поля невозможно без использования математических уравнений. Прибор реален, стрелка отклоняется, значит есть реальное электромагнитное поле, но смысл увиден­ного нельзя понять без использования математического формализма физической теории. Таким образом, понимание физического мира требует использования математических очков. Это не приводит к проблемам при обсуждении происходящего и при решении практических задач. Однако теряется возможность обсуждения, как математическое возникает из физического, поскольку в физике осмысленное обсуждение физического невозможно без использо­вания математики.

Математические очки и мир

Связь физики с математикой не приводит к проблемам с точки зрения использования физики, но требуется обсуждение этой связи при рассмотрении объективности в значении, как устроен мир на самом деле. В первую очередь возникает вопрос о происхождении математического формализма, который используется в физике. В настоящее время физика и математика отделены друг от друга, и вопрос заключается в том, что делают математики. В предложенной метафоре вопрос выглядит следующим образом. Математики либо открывают математические очки подобно тому, как Колумб открыл Америку, или же математики подобно инженерам создают / конструируют математи­ческие очки.

Первый ответ ведет к математическому платонизму — математические очки находят­ся где-то в математической Платонии, а математики каким-то образом их открывают. Введение в рассмотрение Платонии вместе с допущением о связи математики непонятным образом с материальным миром похож на процесс, описанный в цитате из книги Клайна. Математики открывают математические очки и поэтому физики в состоянии с использованием математических уравнений открыть законы физики. Тем не менее, это является ударом для физикализма, поскольку кроме материи, чем бы материя не являлась, существуют независимые от материи математические объекты.

По сути дела, такой вариант является секулярным вариантом сотворения мира Богом-математиком. В любом случае такой ответ не объясняет, каким образом математические структуры в Платонии связаны с физическим миром и как ученые все это открывают. Горячие головы вроде Макса Тегмарка объявляют о тождественности физического и математического мира, но такой ход, по-моему, не может объяснить историю физики и математики.

Альтернатива связана с историческим подходом. Появились люди, появился язык, счет, абстрактные понятия и т. д. По ходу развития для лучшего взаимодействия с окружающим миром люди создали математику. В данном случае можно сказать, что математики создают или конструируют математические очки, поэтому необходимость в Платонии отпадает.

Математика остается объективной, как и другие инженерные сооружения, но в данном случае значение слова объективность используется в другом значении. Приведу в пример построенный инженерами мост - он без всякого сомнения объективен. Это приводит к другой проблеме при обсуждении физического. Поскольку математика создана людьми, нельзя сказать, что физики открывают законы физики, выраженные математичес­кими уравнения, аналогично тому, как Колумб открыл Америку. В этом случае можно только сказать, что физики подбирают законы физики, которые позволяют с хорошей точностью описать мир.

Приведу в пример открытие сверхпроводимости, когда ученые создали условия, которые ранее не существовали на Земле. Без всякого сомнения такие эксперименты следует признать объективными, но это явно отличается от открытия Америки. На этот счет Альберт Эйнштейн в книге 'Эволюция физики' отмечал отличие работы ученых от работы детектива:

'На первых страницах нашей книги мы сравнивали роль исследователя с ролью детектива, который, собрав необходимые факты, находит правильное решение посредством чистого мышления. В одном весьма существенном отношении это сравнение следует считать чрезвычайно поверхностным. И в жизни, и в детективных новеллах преступление дано. … Для ученого дело обстоит не так. … Для детектива факт преступления дан, и задача формулируется так: кто убил Кука Робина? Ученый должен, по крайней мере отчасти, сам совершить преступление, затем довести до конца исследование.'

Как бы то ни было, при рассмотрении использования математики в физике появляется проблема, в какой-то степени напоминающая поиск сознания в физикализме. При поиске в физикализме математики (математических очков) возникают две противоположные позиции, каждую из которых не удается совместить с позицией физикализма. Математические очки не мешают использовать физику на практике и понимать происходящее, но при снимании математических очков теряется возмож­ность осмысленного обсуждения физического.

Список литературы

Предыдущие статьи на Хабре:
Математика, физика и мир: Проблема координации
Исследовательская программа: Теория и эксперимент
Горение свечи: Cтрелы объяснений

М. Клайн, Математика. Поиск истины, 1988.

Г. Вейль. Разум и природа. 1934. III. Конструктивный характер научных понятий и теорий. В кн.: Г. Вейль. Разум и природа, 2020.

Пьер Дюгем, Физическая теория, её цель и строение. СПб., 1910. (Репринт: М.: КомКнига, 2007)

А. Эйнштейн, Л. Инфельд, Эволюция физики. Развитие идей первоначальных понятий до теории относительности и квантов (1938). В кн. Собрание научных трудов в четырех томах, т. 4, 1967.

Статья является переработанной версией раздела из главы 4 'Неподдающиеся проблемы' книги 'Сознание и теория виртуального мира'.