Модификация формулы Стирлинга

[jack7277]

Нажмите в вики «править» и допишите свою формулу ))

[GomelHawk]

Кстати, да :)

[Beholder]

И получить откат правки за «орисс» и «отсутствие авторитетных источников».

[jack7277]

Пусть источник будет «хабр», мы подтвердим всё.

[Assargin]

Хм, неужели прям полностью эмпирически? Какими соображениями Вы пользовались, когда выводили этот добавочный коэффициент? Как начинали, и как по ходу он выводился и модифицировался, мне бы было очень интересно узнать )

[GomelHawk]

Получил график отклонения истинного значения и значения по формуле Стирлинга.
Функция стремилась к нулю при росте n. Из этого был сделан вывод, что необходим просто добавочный множитель, стремящийся к единице c ростом n.
Предположил, что функция будет вида (1+k/n). Получить коэффициент k было делом пары минут. Контрольные расчеты и сравнения только подтвердили предположение. Вот собственно и все.

[jack7277]

Так просто, браво )

[barker]

>Получил график отклонения истинного значения и значения по формуле Стирлинга.
>Функция стремилась к нулю при росте n.

Ну, вообще-то это и не секрет был, а, собственно, это практически и есть математическая суть формулы стирлинга :) А эта приближённая формула Муавра-Стирлинга, упомянутая вами — уже асимптотическое равенство, типа «следствие». Собственно, и этот ваш эмпирический коэффициент ПРЯМЫМ образом выводится из её полного определения. Только никакого корня из 1/52e там нету, а есть просто 1/12 :) Что, в принципе и равно (почти) вашему коэффициенту, убедитесь сами :)

Вот полная формула (сорри за полную ссылку, картинки не вставляются):

dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/5376/%D0%A1%D0%A2%D0%98%D0%A0%D0%9B%D0%98%D0%9D%D0%93%D0%90

Так вот, дополнительный множитель введённый вами как раз асимптотически и «компенсирует» эту «тэту от n». Почему экспонента компенсируется именно через (1+k/n), вы и сами, наверно, уж знаете не меньше моего, раз правильно предположили вид функции :)

Не хотел умалять ничьих заслуг, просто хотел внести ясность почему именно 1/корень52e и прочие чудеса. Если что, простите)

[GomelHawk]

Честно, не знал. Интересно. Спасибо за информацию.
P.S. Собственно корень из 1/52е был как раз таки взят из головы для красивости, потому как оригинальное значение коэффициента было не таким красивым :)

[GomelHawk]

Вот нашел дальнейшее уточнение формулы — смотреть

[GomelHawk]

Ну, в частности формулу можно использовать для примерного расчета значения гамма-функции, которая расширяет понятие факториала на множество вещественных чисел:
n!=Г(n+1)

[great_boba]

Выберите, что вам нравится, и посылайте документы
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F:%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D0%B8

[great_boba]

тут

[darnley]

Класс! А вот интересно, оптимальное приближение достигается именно при 52 или каком-нибудь 52.00042...?

[TheShock]

если вместо sqrt(52*e) взять число 11.95, то оно даже точно попадёт в 9!, в отличии от числа в топике)

[impfromliga]

проверил, класс я прям увидел, значит апроксимацию факториалов (с помощью 11.95) делаем до 9-ой степени, корень значит в этой формуле еще заменяем на быстрый корень (хак с двойным маппингом памяти float переменной в int) и на этом всем значит раскладываем синус рядом Тэйлора по 9ую степень. А потом в конечные разности раскладываем получившийся полином, что бы быстро сделать loockup синуса лишь через сложение SIMD, из нечего почти. Входные данные 3,5,7,9 (их можно тоже циклом задать шоб никто не догадался как это все работает)