При разработке или исследовании готовых алгоритмов часто требуется определить качество их работы. Использовать для этой цели данные из реальных источников не всегда возможно, так как их свойства зачастую неизвестны и потому нельзя спрогнозировать результат выполнения исследуемых алгоритмов. В таком случае применяется моделирование данных по одному из хорошо известных законов распределения. Применяя исследуемый алгоритм к модельным данным, можно заранее предположить, каким окажется результат его выполнения. Если он окажется удовлетворительным, можно попробовать применить его и к реальным данным. Естественно, что это относится только к непараметрическим алгоритмам, то есть не зависящим от закона распределения данных.

Чаще всего используется моделирование данных, распределённых по нормальному закону. К сожалению, MS Excel и распространённые статистические пакетаы (SPSS, Statistica) позволяют моделировать только одномерные статистические распределения. Конечно, можно составить многомерное распределение из нескольких одномерных, но только в том случае, если переменные независимы. Если же нужно исследовать данные с зависящими друг от друга переменными, придётся писать программу.

Обычно указывают, что многомерное нормальное распределение описывается вектором математических ожиданий и положительно определённой ковариационной матрицей :

, где ;
i=1,2,3,…m, j=1,2,3,…, m;
m – количество признаков многомерной нормальной выборки.

Однако вместо ковариационной матрицы удобнее использовать корреляционную матрицу и вектор дисперсий , поскольку коэффициент корреляции показывает степень связи между переменными, в отличие от коэффициента ковариации. Корреляционная матрица имеет вид:


Преобразование коэффициентов матрицы к коэффициентам матрицы происходит по формуле:



Для моделирования вектора можно использовать линейное преобразование вектора , компоненты которого есть нормально распределенные случайные величины с параметрами математического ожидания, равного нулю, и дисперсии, равной единице (т. е. ). Для моделирования одномерной нормальной случайной величины есть множество способов, например, преобразование Бокса-Мюллера: при помощи двух случайных чисел и , распределенных на интервале (0;1], при котором получаются одновременно два числа, распределенных по нормальному закону с параметрами :



Преобразование в производится по формуле:



В данном преобразовании есть нижняя треугольная матрица, получающая из матрицы разложением Холецкого :



Каждый элемент матрицы определяется с помощью рекуррентной процедуры:



, где индексы изменяются в диапазоне , а суммы с верхним нулевым приделом равны нулю (то есть, если , то , ).

Описанное преобразование можно реализовать в виде двух функций на C++: основной функции normal_model(), реализующей алгоритм и вспомогательной matrix_determinant(), возвращающей определитель матрицы.

Функция normal_model() определяет количество требуемых переменных и значений из размерности матрицы с результатом. В случае успеха возвращает true, в случае неудачи – false.

//Функция моделирования многомерных данных, распределённых по нормальному закону.
//double MatrixMath [mq] - вектор мат. ожидания
//double MatrixDisp [mq] - вектор диперсии
//vector<vector<double> > &correlation_matrix - корреляционная матрица
//vector<vector<double> > &MatrixRes - массив с результатом
bool normal_model (double MatrixMath[], double MatrixVar[], vector<vector<double> > &correlation_matrix, vector<vector<double> > &MatrixRes){
int mq =MatrixRes[0].size();//количество переменных
int count=MatrixRes.size();//количество значений
double MatrixA[mq][mq]; //треугольная матрица преобразований A
double MatrixN[count][mq]; //матрица случайных чисел, распределенных по нормальному закону с параметрами 0, 1
int i,j,k;
double suma, sumaa;
double alfa1, alfa2; //углы. Случайные числа, распределенные на интервале (0;1]
vector<vector<double> > MatrixK(mq); //Ковариационная матрица K
for (i=0;i<mq;i++){
    MatrixK[i].resize(mq);
}
//Преобразование корреляционной матрицы в ковариационную
for (i=0; i<mq; i++){
    for (j=0; j<mq; j++){
        MatrixK[i][j]= correlation_matrix[i][j]* sqrt(MatrixVar[i]*MatrixVar[j]);
    }
}
if (matrix_determinant(MatrixK)<=0) return false; // ошибка. Определитель ковариационной матрицы должен быть положительным;
//Заполнение матрицы A
for (i=0; i<mq; i++){
    for (j=0; j<=i; j++){
        sumA=0;
        sumAA=0;
        for (k=0; k<j; k++){
            sumA+= MatrixA[i][k] * MatrixA[j][k];
            sumAA+= MatrixA[j][k] * MatrixA[j][k];
        }
        MatrixA[i][j]=(MatrixK[i][j] - sumA)/ sqrt(MatrixK[j][j] - sumAA);
    }
}
//моделирование случайных чисел, распределенных по нормальному закону с параметрами 0, 1
srand(time(NULL));
for (i=0; i<count; i+=2){
    for (j=0; j<mq; j++){
        alfa1 = (double)rand()/(RAND_MAX+1.0);
        alfa2 = (double)rand()/(RAND_MAX+1.0);
        if (!alfa1 || !alfa2){
            j--;
        }else{
            MatrixN[i][j] = sqrt(-2*log(alfa1))*sin(2*M_PI*alfa2);
            if (i+1<count) MatrixN[i+1][j] = sqrt(-2*log(alfa1))*cos(2*M_PI*alfa2);
        }
    }
}
//преобразование матрицы случайных чисел, распределенных по нормальному закону с параметрами 0, 1 к матрице с конечными параметрами
for (i=0; i<count; i++){
    for (j=0; j<mq; j++){
        MatrixRes[i][j]=MatrixMath[j];
        for (k=0; k<mq; k++){
            MatrixRes[i][j]+=MatrixA[j][k] * MatrixN[i][k];
        }
    }
}
return true;
}


//функция возвращает определитель матрицы m размерности N x N
double matrix_determinant (vector<vector<double> > & m){
    double result=0;
    if (m.size()==1){
        return m[0][0];
    }else if(m.size()==2){
        return m[0][0] * m[1][1] - m[0][1] * m[1][0];
    }else if(m.size()==3){
        return m[0][0] * m[1][1] * m[2][2] + m[0][1] * m[1][2] * m[2][0] + m[0][2] * m[1][0] * m[2][1] - m[2][0] * m[1][1] * m[0][2] - m[1][0] * m[0][1] * m[2][2] - m[0][0] * m[2][1] * m[1][2];
    }else{
        vector<vector<double> >  m1(m.size()-1);//массив N-1 x N-1, значения элементов матрицы порядка N-1
        for (int i=0; i<m.size()-1; i++){
            m1[i].resize(m.size()-1);
        }
        for (int i=0; i< m.size(); i++){
            for (int j=1; j<m.size(); j++){
                for (int k=0; k<m.size(); k++){
                    if (k<i){
                        m1[j-1][k] = m[j][k];
                    }else if(k>i){
                        m1[j-1][k-1] = m[j][k];
                    }
                }
            }
            result+= pow(-1,i) *m[0][i] * matrix_determinant(m1);
        }
    }
    return result;
}

Результат работы можно посмотреть тут. Обращение к функции происходит через механизм fastcgi.

Используемая литература:
  1. Мартышенко C.Н., Мартышенко Н.С., Кустов Д.А. Моделирование многомерных данных и компьютерный эксперимент. Техника и технология, 2007. – №2. С. 47–52.
  2. Ермаков С.М., Михайлов Г.А., Статистическое моделирование.М.: Наука, 1982.
  3. Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, М., 1964-67.
  4. Rencher, Alvin C. (2002), Methods of Multivariate Analysis, Second Edition, John Wiley & Sons.