Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 381
Хорошо, что хоть при королеве не заметили: стыд-то какой был бы!
На самом деле, байка про королеву — это просто байка. Сиятельная особа не была поклонницей творчества Кэрролла. Вероятно, не хватало математического склада ума.
Все очень хорошо, но задача решена не была. К сожалению, ниже находится «over 9000» пустых комментариев, вызванных спорами вокруг людей, необоснованно не верящих авторскому решению, и для моего комментария с математическим обоснованием не осталось места.
Поэтому для тех, кто интересуется математикой, привожу ссылку на свой комментарий, находящийся далеко внизу: habrahabr.ru/post/167041/#comment_5782579, иначе его никто кроме автора статьи и не заметит.
Поэтому для тех, кто интересуется математикой, привожу ссылку на свой комментарий, находящийся далеко внизу: habrahabr.ru/post/167041/#comment_5782579, иначе его никто кроме автора статьи и не заметит.
UPD: вытаскиваю наверх также и правильное решение, а то его тоже никто не прочитает.
habrahabr.ru/post/167041/#comment_5853197, окончательно решил Sayonji после длительных коллективных попыток вспомнить теорию меры в ветках между этими двумя комментариями.
habrahabr.ru/post/167041/#comment_5853197, окончательно решил Sayonji после длительных коллективных попыток вспомнить теорию меры в ветках между этими двумя комментариями.
Дискретность ломки спички не превышает размера молекул,
так что вероятность точно больше 0 какими бы маленькими молекулы не были.
так что вероятность точно больше 0 какими бы маленькими молекулы не были.
Если считать спичку дискретной, задача упрощается: вероятность будет равна 1 (можно это честно посчитать, можно вывести из «закона нуля или единицы»). Судя по авторскому решению, однако, спичка полагается бесконечно делимой.
Ну по решению больше похоже на стремящееся к бесконечности, но все таки не бесконечно делимое.
Не нужно ничего «считать» того что не заявлено, это ж математическая задача (и без всяких подвохов) и, очевидно, раз не сказано ничего другого, то спичка является бесконечно делимой. Если додумывать всякие там условия, то большинство математических задач будут нерешаемы. «Спичка» здесь просто в качестве одушевления «отрезка».
А можете привести это решение? Если считать, что середина — это некоторый эпсилон-интервал, а не геометрическая точка?
А что тут решать-то? Всё считается в лоб:
Пусть p — вероятность того, что конкретная спичка сломалась пополам. С вашим уточнением p > 0.
Тогда вероятность того, что хотя бы 1 из N спичек сломается пополам, равна 1 — (1-p)N
При бесконечно большом N эта вероятность стремится к 1.
А если молекул грубо говоря нечетное число по длине спички, и середина проходит по молекуле? :)
Тогда молекулу пополам!
В спичке молекулы плохие. Целлюлоза это полимер, и молекулы сильно неодинаковые. Возможно, и молекулу придётся разрывать… но поможет ли?
Можем дойти до квантов — спичек немеренно.
Имеются в виду кварки?
Я не знаю — думаю в физике нет такого — нам нужно то что получается если бесконечно делить спичку — кварки вроде всетаки конечны.
И тоже точно пополам надо ее рвать))
Вот ведь, математика, беспощадная ты… :)
Вот ведь, математика, беспощадная ты… :)
Какова вероятность того, что, ломая спичку в домашних условиях, мы сможем порвать молекулу?
Какова вероятность того, что разрывая полиэтиленовую плёнку, мы рвём какую-нибудь молекулу? Не знаю.
В принципе, там же действительно целлюлоза, которая полимер. Молекулы у неё длинные… Быть может, вероятность не так и мала.
Если вы ломаете какое-нибудь монокристаллическое вещество — то вы рвете межатомные связи, что в принципе то же самое, что рвать молекулы. Прочность таких веществ вполне себе конечна.
Да у нас дофига спичек — возьмем следующую =)
если молекул четное количество — то строго «1»
Тогда надо отметить, что и спичек во Вселенной не бесконечное количество.
По-моему, вероятность 1. В спичке примерно 10^22 протонов и нейтронов, в половине спичек их чётное число. С вероятностью не меньше 10^(-22) такая спичка ломается ровно пополам. Так что когда число спичек превзойдет 10^24 (что при «неограниченном запасе» случится довольно быстро), вероятность неудачи уже будет порядка exp(-100), дальше — еще меньше.
И вообще, если учитывать дискретность спички, придётся также учесть такие факторы, как бесконечная масса бесконечного запаса спичек, бесконечное время, необходимое для ломания бесконечного количества спичек, и т.д.
Наоборот, дискретность спички дает нам возможность обойтись конечным числом спичек.
Конечным, но неизвестно, насколько большим. Для всякого N существует P такое, что с вероятностью P нам не хватит N спичек.
Смотря для чего. Для каждого конкретного количества можно было бы посчитать вероятность, но мы не знаем даже закона распределения, которому подчинены места разлома. Возможно, что при Васином способе поломать спичку одна её часть всегда будет не меньше, чем на 10% длиннее другой… В такой ситуации от нуля не спасёт даже дискретность.
Помешать может разве что неоднородность гравитационного поля, в котором спички находятся (вызванная наличием неограниченного запаса спичек поблизости). Из-за него даже геометрически и квантово одинаковые половины могут иметь разную массу.
Можно расспараллелить ломания, тогда и время можно откинуть.
«Вася позвал друзей»
Бесконечное множество друзей.
Континуум Вась.
А мыслим ли вообще континуум дискретных сущностей? Если, конечно, полагать, что каждый Вася — личность дискретная сущность.
Легко! Берем бесконечномерное евклидово пространство. Строим в нём единичный куб со стороной два метра. В каждую вершину сажаем по Васе и даём им по спичке. И пусть ломают. С ненулевой вероятностью кто-нибудь из них сломает её точно пополам.
Число вершин куба континуально, потому что их можно занумеровать бесконечными последовательностями из нулей и единиц, коих континуум (по определению последнего).
Число вершин куба континуально, потому что их можно занумеровать бесконечными последовательностями из нулей и единиц, коих континуум (по определению последнего).
А разве бесконечномерное пространство евклидово?
Оно может быть евклидовым (обычно его называют гильбертовым), но в нем нет единичного куба. Так что для этой конструкции больше подходит пространство ограниченных последовательностей с метрикой L_infinity: dist(a,b)=sup(|b_i-a_i|)
Не хочу показаться занудой, но вроде бы евклидово пространство — это конечномерное гильбертово пространство, а не гильбертово пространство — бесконечномерное евклидово пространство. Поправьте, если я ошибаюсь.
Не знаю, на этом уровне я терминов уже не помню.
Гильбертово «счетномерное» пространство — это множество последовательностей с конечной суммой квадратов (и метрикой L2). Если его рассматривать как векторное пространство, его базис может быть только континуальным.
Счетномерное векторное пространство. Можно описать как множество последовательностей с конечным числом ненулевых членов. С метрикой L2 тоже обладает свойствами евклидового.
Пространство последовательностей с другими метриками. Тоже счетномерным векторным не будет.
И наконец, множество всех последовательностей. Оно метрическим не является вообще…
Какие правильные термины для всего этого — не помню :(
Гильбертово «счетномерное» пространство — это множество последовательностей с конечной суммой квадратов (и метрикой L2). Если его рассматривать как векторное пространство, его базис может быть только континуальным.
Счетномерное векторное пространство. Можно описать как множество последовательностей с конечным числом ненулевых членов. С метрикой L2 тоже обладает свойствами евклидового.
Пространство последовательностей с другими метриками. Тоже счетномерным векторным не будет.
И наконец, множество всех последовательностей. Оно метрическим не является вообще…
Какие правильные термины для всего этого — не помню :(
А количество измерений (n) этого пространства счётно? Если да, то почему 2n несчётно?
Да, количество измерений n счетно, а 2^n несчетно. Это следует из теоремы Кантора.
Хм, спасибо. Но отсюда ещё не следует, что это множество континуально, ведь континуум-гипотеза не доказана.
К счастью, 2^N — это как раз одно из определений континуума (его предпочитают считать даже более первичным, чем «мощность множества действительных чисел»).
В этом случае есть проблема с измеримостью. Сигма-алгебра замкнута только относительно операции счётного объединения. При объединении континуального числа множеств может получиться неизмеримое множество.
Наверняка проблемы с измеримостью будут. Потому что ни одного разумного ответа у такой задачи нет.
С другой стороны, а мешает ли нам неизмеримость множества? Да, вероятность того, что случайная точка принадлежит измеримому множеству на отрезке [0,1], равна мере этого множества. Но для неизмеримого множества, тем не менее, вероятность попасть в него может существовать. В том же примере с множеством Витали на [0,1] — вероятность попасть в него случайной вещественной точкой с одной попытки такая же, как вероятность попасть рациональной точкой в середину отрезка — то есть, 0. А множество при этом неизмеримо…
Вы не учитываете конечную толщину. Тогда надо ввести уточнение: разлом пройдёт через середину спички хотя бы в одной точке.
Это если ломать пополам по массе.
Если ломать пополам по длине, то придётся ориентироваться на планковскую длину как минимально различимую, это 35 порядков.
Если ломать пополам по длине, то придётся ориентироваться на планковскую длину как минимально различимую, это 35 порядков.
А если пользоваться циркулем и линейкой, то можно вероятность и к единице свести.
Да, прочтя задачу, сразу выдал мысленный ответ: «Ноль же! Чего тут думать-то?»
Видно, что с теорией вероятностей автор задачи был знаком ну совсем поверхностно. Топикстартер явно знаком получше =)
Спасибо за интересный очерк с дотошным углублением в историю и суть проблемы!
Видно, что с теорией вероятностей автор задачи был знаком ну совсем поверхностно. Топикстартер явно знаком получше =)
Спасибо за интересный очерк с дотошным углублением в историю и суть проблемы!
С моей стороны было бы нескромно сравнивать себя с Кэрроллом. Всё-таки он был человеком своего времени — многое из того, что сейчас кажется очевидным, тогда таковым не казалось.
Например, в том же году, когда были изданы «Математические курьёзы», Жозеф Бертран опубликовал парадокс имени себя, который показал, что теория вероятности того времени, оказавшись в достаточно кривых руках, способна давать разные ответы на один и тот же вопрос.
Например, в том же году, когда были изданы «Математические курьёзы», Жозеф Бертран опубликовал парадокс имени себя, который показал, что теория вероятности того времени, оказавшись в достаточно кривых руках, способна давать разные ответы на один и тот же вопрос.
Я не ставлю Вас выше Кэррола, то Вы =)
Я говорю о тонкостях решения задачи. Кэррол по какой-то причине опубликовал неверное решение к своей же задаче, Вы же опубликовали правильное решение. Хотя, да, у Вас были разные начальные условия в плане знаний о теории вероятностей и её новейших постулатов (равно как и теории множеств).
Я говорю о тонкостях решения задачи. Кэррол по какой-то причине опубликовал неверное решение к своей же задаче, Вы же опубликовали правильное решение. Хотя, да, у Вас были разные начальные условия в плане знаний о теории вероятностей и её новейших постулатов (равно как и теории множеств).
Правильно ли я понял прочитав статью и комментарии что:
1. Если наш мир дискретен (т.е. мы можем найти неделимую частицу, какой нибудь суперкварк) то вероятность сломать спичку пополам равна 1
2. Если наш мир не дискретен, то вероятность равна 0.
1. Если наш мир дискретен (т.е. мы можем найти неделимую частицу, какой нибудь суперкварк) то вероятность сломать спичку пополам равна 1
2. Если наш мир не дискретен, то вероятность равна 0.
Ну, почти так.
Только для дискретного мира если молекул нечетное количество — это кажется странным.
Только для дискретного мира если молекул нечетное количество — это кажется странным.
Почти так. Но если наш мир и дискретен, то он дискретен на практически планковских длинах, а там уже нет привычной материи и пространства, а есть лишь «кипящий» вакуум, порождающий виртуальные частицы на виртуальное количество времени. И похоже, само пространство там уже совсем не трехмерно, т.е. дополнительные требования к формулировке задачки обретают особую остроту.
Кстати. Если пространство станет особо цинично неевклидовым, может случиться так, что в нём не существует равных нетождественных фигур.
Более того, половинки спичек, равные сейчас, могут стать неравными в следующий квант времени. Тождественность объектов — тоже квантовая величина, и определить точно мы её не всегда можем :)
Запросто. Т.е. условие задачи надо будет переформулировать в терминах некой операторной алгебры, поскольку наша привычная там уже не будет работать. Отличная тема для вечера в пятницу, хехе
Хотелось бы спросить людей, минусующих мои комментарии: что именно я написал не так? Я здесь человек новый, могу не знать какого-нибудь негласного правила. Может, комментарий второго уровня нельзя начинать на букву «Е»? Или, например, не комильфо отвечать на чей-то коммент ровно через семнадцать минут после его опубликования? Серьёзно, объясните.
Может, комментарий второго уровня нельзя начинать на букву «Е»?
отвечать на чей-то коммент ровно через семнадцать минут после его опубликования?
О боже, он не знает!
Одно из базовых знаний о хабре: Кто эти 8 троллей?.
На комментариях тоже иногда работает.
На комментариях тоже иногда работает.
>>На самом деле, у нас есть две переменных: количество спичек и число точек на каждой из них
А кто сказал, что все спички одинаковой длины? Никто не сказал, таком образом количество переменных может достигать количества спичек.
А кто сказал, что все спички одинаковой длины? Никто не сказал, таком образом количество переменных может достигать количества спичек.
Простите, но ваш ответ неправилен. Как вы от неопределенности перешли к определенному ответу? Вы в начале все правильно написали — ответа нет. А в вашем доказательстве есть серьезная ошибка.
Вы забыли, что для каждого наперед выбранного d мы можем и попыток делать произвольное количество (другими словами, предел функции двух переменных не существует, как вы сами же написали в начале).
Вы забыли, что для каждого наперед выбранного d мы можем и попыток делать произвольное количество (другими словами, предел функции двух переменных не существует, как вы сами же написали в начале).
Возможно. А почему?
Эм… для каждого наперёд выбранного d мы делаем бесконечное количество попыток. Второй переменной нет.
<< ec/2 * ec/4 *… * ec/2n *… = e(c/2 + c/4 +… + c/2n + ...) = ec = 1 — d
Нет, вы говорите о конечном количестве попыток. Для бесконечного числа попыток при любом фиксированном d вероятность равна единице.
Нет, вы говорите о конечном количестве попыток. Для бесконечного числа попыток при любом фиксированном d вероятность равна единице.
Кхм… То есть вы хотите сказать, что там, где я написал бесконечное произведение, я на самом деле написал конечное произведение?
Вы меня неправильно поняли.
Смотрите, вы сделали то же, что и Керрол — просто выбрали другой путь предела. Да, вы стремитесь к бесконечности, но сразу по двум направлениям. Т.е. вы ошибку Керрола меняете на свою, точно такую же ошибку.
Смотрите, вы сделали то же, что и Керрол — просто выбрали другой путь предела. Да, вы стремитесь к бесконечности, но сразу по двум направлениям. Т.е. вы ошибку Керрола меняете на свою, точно такую же ошибку.
Пардоньте, я не беру двойного предела. Я беру множество пределов по n для всех допустимых d, чтобы ограничить ответ сверху.
простите, что? Вы именно что два предела берете — стремите отрезок к нулю, а количество спичек — к бесконечности.
Следите за руками. Я фиксирую d. Всё, d надёжно зафиксировано, я его пока не буду трогать. Теперь я по очереди беру всё счётное множество спичек и на каждой закрашиваю отрезок всё меньшей и меньшей длины. Затем я перемножаю меры незакрашенных частей. Получается бесконечное произведение, которое (внезапно!) равно d. Собственно, оно и было так сконструировано, чтобы равняться d. При этом, обратите внимание, d лежит на месте, никто его не трогал. Здесь оно было в роли параметра, и я вполне легитимно нашёл предел по n.
Известно, что ответ заведомо меньше нашего легитимно найденного предела. И какое бы d на интервале (0; 1) мы не взяли, ответ всё равно будет меньше. Теперь загадка: что находится на отрезке [0; 1], но меньше любого числа из интервала (0; 1)?
Известно, что ответ заведомо меньше нашего легитимно найденного предела. И какое бы d на интервале (0; 1) мы не взяли, ответ всё равно будет меньше. Теперь загадка: что находится на отрезке [0; 1], но меньше любого числа из интервала (0; 1)?
Поясните, плиз, не совсем математику.
Берем отрезок. Сколько раз мы его можем поделить на 2 части? Равные, неравные — все равно. Очевидно, что «бесконечность». Из этих всех вариантов -правильный — один. поскольку «бесконечность»-1=«бесконечность» то вероятность равна 0. все. У меня есть где то ошибка в рассуждениях?)
Берем отрезок. Сколько раз мы его можем поделить на 2 части? Равные, неравные — все равно. Очевидно, что «бесконечность». Из этих всех вариантов -правильный — один. поскольку «бесконечность»-1=«бесконечность» то вероятность равна 0. все. У меня есть где то ошибка в рассуждениях?)
Мера Лебега точки — ноль, этого достаточно.
Вот это уже разумное замечание.
Этого абсолютно достаточно (с напоминанием, что множество «тестов» (спичек, в данном случае) не более, чем счетное), если моделировать спичку отрезком вещественной оси (присвоим этой модели номер 0). Если бы модель была в задаче (или в книге где-нибудь в предисловии) оговорена, то этот комментарий, по-хорошему, должен был бы быть единственным, а статья иметь рейтинг где-нибудь рядом с нулём.
Однако модель не оговорена. Есть еще как минимум две:
1. Множество возможных точек излома конечно (считаем спичку отрезком натурального ряда)
2. Множество возможных точек излома счетно (считаем спичку отрезком рациональных чисел)
Также я буду предполагать, что какая бы модель не использовалась, мы считаем, что спички абсолютно идентичны.
Модель 1. Если число точек излома четно, искомая вероятность 0. Если нечетно, то 1.
Модель 2. А вот тут и начинается тьма. Я, например, не обладаю необходимой для ответа на такой вопрос подготовкой.
Замечание к модели 1. Оговорка в скобочках важна — моделирование отрезком натуральных чисел автоматически гарантирует нам, что в нечетном случае одна из точек находится ровно по центру спички.
Это объективное. Теперь субъективное.
Модель 1 с учетом физического контекста задачи выглядит довольно странно. Выбор между моделями 0 и 2, на мой взгляд, сплошная философия о судьбах мира (перемешанная с выпендрёжем хабрасообщества по поводу де великой просвященности в делах квантовой физики), так что лично я бы остановился на модели 0, сослался, как и вы, на меру Лебега одноточечного множества (которое, кстати, измеримо — как замкнутое и потому борелевское), и дал бы ответ 0.
Однако модель не оговорена. Есть еще как минимум две:
1. Множество возможных точек излома конечно (считаем спичку отрезком натурального ряда)
2. Множество возможных точек излома счетно (считаем спичку отрезком рациональных чисел)
Также я буду предполагать, что какая бы модель не использовалась, мы считаем, что спички абсолютно идентичны.
Модель 1. Если число точек излома четно, искомая вероятность 0. Если нечетно, то 1.
Модель 2. А вот тут и начинается тьма. Я, например, не обладаю необходимой для ответа на такой вопрос подготовкой.
Замечание к модели 1. Оговорка в скобочках важна — моделирование отрезком натуральных чисел автоматически гарантирует нам, что в нечетном случае одна из точек находится ровно по центру спички.
Это объективное. Теперь субъективное.
Модель 1 с учетом физического контекста задачи выглядит довольно странно. Выбор между моделями 0 и 2, на мой взгляд, сплошная философия о судьбах мира (перемешанная с выпендрёжем хабрасообщества по поводу де великой просвященности в делах квантовой физики), так что лично я бы остановился на модели 0, сослался, как и вы, на меру Лебега одноточечного множества (которое, кстати, измеримо — как замкнутое и потому борелевское), и дал бы ответ 0.
А в комментариях же, собственно, происходит следующее: почти каждый пост — это 1. либо попытка что-то посчитать, не удосуживаясь хотя бы намекнуть, какая модель из множества используется 2. либо попытка обосновать свой вариант модели, обычно близкой 1 или 2 (но иногда без ограничения на идентичность спичек), снова таки, без чёткой ее формулировки, обычно с помощью размахивания руками или забористыми, но редко верными, утверждениями то из механики, то из химии, то из квантовой физики… Тут впору лайкать комментарий ниже про программистов и лампочку.
С точки зрения физического мира странной выглядит как раз модель 2. Если мы принимаем, что спичка состоит из дискретных частиц (нуклонов, атомов, молекул...) и ломается по их границе, то работает модель 1. Если спичка — объект непрерывного мира, находящийся в непрерывном (связном) пространстве, то «точка разлома» является вещественным числом, и работает модель 0. А «рациональные числа» к реальному миру имеют мало отношения. Конечно, спичка из модели 2 делится всегда в рациональном отношении, но это отношение p:q принадлежит конечному множеству p+q=N, где N — длина «отрезка», который представляет спичку.
В обеих моделях ответ очевиден. В модели 2, кстати, тоже — если мы не пытаемся провести бесконечно много тестов одновременно, а делаем их всё возрастающее конечное число раз.
В обеих моделях ответ очевиден. В модели 2, кстати, тоже — если мы не пытаемся провести бесконечно много тестов одновременно, а делаем их всё возрастающее конечное число раз.
Вот-вот, о чем я и говорил. Нуклоны, молекулы. Рациональные числа vs реальный мир. Может, вы и правы, но давайте не будем, а?
В модели 2, кстати, тоже — если мы не пытаемся провести бесконечно много тестов одновременно, а делаем их всё возрастающее конечное число раз.Ничего не понял.
Ничего не понял
Не страшно. В случае счётной аддитивности вероятности это одно и то же.
Давайте так. Задача:
Пусть X — пересечение отрезка [0, 1] со множеством рациональных чисел, r ∈ X, S ∈ 2X. Какова вероятность p того, что r ∈ S?
Нужно 1) ввести вероятностное пространство с 2) σ-алгеброй его подмножеств, 3) вероятностную (то есть такую, что мера всего пространства равна единице) меру, определенную на на этой σ-алгебре, 4) вычислить множество, соответствующее описанному событию, 5) доказать его измеримость (то есть, принадлежность построенной σ-алгебре), 6) вычислить его меру.
В случае с моделью 0 (немного уточним ее, зафиксировав длину спички) задача и решение выглядят так:
X = [0, 1], x ∈ X, S ∈ 2X, S не более, чем счетно. Какова вероятность p того, что r ∈ S?
1) X 2) одномерная лебеговская σ-алгебра (построенная как борелевская оболочка объединения полукольца ячеек на вещественной прямой и множества множеств меры нуль относительно внешней меры, построенной по классическому объему), пересеченная с X 3) одномерная мера Лебега λ (построенная как стандартное продолжение классического объема (см. конструкцию Каратеодори)), суженная на X; мера X действительно единица 4) некоторое произвольное не более, чем счетное подмножество X. 5) любое счетное (конечное) множество измеримо по Лебегу как счетное (конечное) объединение одноточечных множеств, измеримых, как замкнутых и потому борелевских. 6) мера Лебега не более, чем счетного множества равна нулю (как не более, чем счетного объединения одноточечных множеств меры нуль).
Следовательно, p = 0.
Вы его, кстати, даже не назвали, ответ-то. И раз он вам очевиден, пожалуйста, удовлетворите любопытство. Только чуть строже (см. схему выше), чем «очевидно», «не страшно» и «одно и то же».
Пусть X — пересечение отрезка [0, 1] со множеством рациональных чисел, r ∈ X, S ∈ 2X. Какова вероятность p того, что r ∈ S?
Нужно 1) ввести вероятностное пространство с 2) σ-алгеброй его подмножеств, 3) вероятностную (то есть такую, что мера всего пространства равна единице) меру, определенную на на этой σ-алгебре, 4) вычислить множество, соответствующее описанному событию, 5) доказать его измеримость (то есть, принадлежность построенной σ-алгебре), 6) вычислить его меру.
В случае с моделью 0 (немного уточним ее, зафиксировав длину спички) задача и решение выглядят так:
X = [0, 1], x ∈ X, S ∈ 2X, S не более, чем счетно. Какова вероятность p того, что r ∈ S?
1) X 2) одномерная лебеговская σ-алгебра (построенная как борелевская оболочка объединения полукольца ячеек на вещественной прямой и множества множеств меры нуль относительно внешней меры, построенной по классическому объему), пересеченная с X 3) одномерная мера Лебега λ (построенная как стандартное продолжение классического объема (см. конструкцию Каратеодори)), суженная на X; мера X действительно единица 4) некоторое произвольное не более, чем счетное подмножество X. 5) любое счетное (конечное) множество измеримо по Лебегу как счетное (конечное) объединение одноточечных множеств, измеримых, как замкнутых и потому борелевских. 6) мера Лебега не более, чем счетного множества равна нулю (как не более, чем счетного объединения одноточечных множеств меры нуль).
Следовательно, p = 0.
В обеих моделях ответ очевиден. В модели 2, кстати, тоже
Вы его, кстати, даже не назвали, ответ-то. И раз он вам очевиден, пожалуйста, удовлетворите любопытство. Только чуть строже (см. схему выше), чем «очевидно», «не страшно» и «одно и то же».
В модели 0 ответ p=0. Вы это только что доказали.
В модели 1 у вас ответ тоже приведен: «Если число точек излома четно, искомая вероятность 0. Если нечетно, то 1.» Если спички не совсем идентичны, и у некоторых число точек излома четно, а у других нечетно, то ответ 1.
В модели 2 ответ — «математической модели, обладающей требуемыми свойствами, не существует, а следовательно, задача некорректна». Действительно, вероятностная мера должна обладать указанными свойствами. Ввести её на счётном множестве можно только задав каждой точке q_i некоторую вероятность p_i так, чтобы ряд sum(p_i) сходился (если, конечно, мы хотим, чтобы одноточечные подмножества принадлежали нашей алгебре).
Такая вероятностная мера будет соответствовать случаю, когда отдельные точки разлома будут более предпочтительными (вероятными), чем другие. И интуитивно желаемого свойства, чтобы меры подмножеств рациональных чисел, лежащих на равновеликих отрезках (являющихся подмножествами [0,1]), были равны, добиться не удастся.
Да, я снова ошибся — ответ не очевиден. Надо мне иногда повторять основы фундаментальной математики (чем такие обсуждения и хороши), а то они потихоньку ускользают из головы.
В модели 1 у вас ответ тоже приведен: «Если число точек излома четно, искомая вероятность 0. Если нечетно, то 1.» Если спички не совсем идентичны, и у некоторых число точек излома четно, а у других нечетно, то ответ 1.
В модели 2 ответ — «математической модели, обладающей требуемыми свойствами, не существует, а следовательно, задача некорректна». Действительно, вероятностная мера должна обладать указанными свойствами. Ввести её на счётном множестве можно только задав каждой точке q_i некоторую вероятность p_i так, чтобы ряд sum(p_i) сходился (если, конечно, мы хотим, чтобы одноточечные подмножества принадлежали нашей алгебре).
Такая вероятностная мера будет соответствовать случаю, когда отдельные точки разлома будут более предпочтительными (вероятными), чем другие. И интуитивно желаемого свойства, чтобы меры подмножеств рациональных чисел, лежащих на равновеликих отрезках (являющихся подмножествами [0,1]), были равны, добиться не удастся.
Да, я снова ошибся — ответ не очевиден. Надо мне иногда повторять основы фундаментальной математики (чем такие обсуждения и хороши), а то они потихоньку ускользают из головы.
Ввести её на счётном множестве можно только задав каждой точке q_i некоторую вероятность p_i так, чтобы ряд sum(p_i) сходился (если, конечно, мы хотим, чтобы одноточечные подмножества принадлежали нашей алгебре).
Дааа, вот, кажется, что это правда, да.
Такая вероятностная мера будет соответствовать случаю, когда отдельные точки разлома будут более предпочтительными (вероятными), чем другие.
Угу. Необходимое (но, разумеется, недостаточное) условие сходимости числового ряда — нулевой предел его общего члена.
И интуитивно желаемого свойства, чтобы меры подмножеств рациональных чисел, лежащих на равновеликих отрезках (являющихся подмножествами [0,1]), были равны, добиться не удастся.
Вот эту часть не то, чтобы очень понял. Можно пояснее?
а то они потихоньку ускользают из головы.
Вы счастливый человек, они они у вас утекают «потихоньку». Гораздо чаще у людей они утекают со скоростью несущегося на всех парах локомотива.
Ну, если мы ломаем спичку в «случайной точке с равномерным распределением», то вправе ожидать, что вероятность того, что точка попадёт на отрезок [a,b] равна b-a (при условии, что вся спичка представлена отрезком [0,1]). Можно взять более слабое ограничение — что если мы возьмём систему вложенных отрезков s_i с длиной, стремящейся к нулю, то вероятность попасть в отрезок s_i тоже должна стремиться к нулю. Это ограничение запрещает наличие точек с положительной мерой. А по нашему рассуждению такие точки должны существовать. Противоречие.
Я тут недавно (лет 7 назад) пытался кого-то убедить, что ZF непротиворечива. Хорошо, что вовремя полез проверить, так ли это :D
Я тут недавно (лет 7 назад) пытался кого-то убедить, что ZF непротиворечива. Хорошо, что вовремя полез проверить, так ли это :D
Кстати, раз уж вы помните эти вещи — не скажете ли, к чему приведет отказ от счетной аддитивности вероятностной меры? Я пока вижу только мелкие эффекты: вероятность того, что точка принадлежит интервалу может быть больше предела вероятностей принадлежности точки вложенным в него отрезкам, появляется ненулевая вероятность того, что значение случайной величины окажется «сколь угодно большим» (представить трудно, но вряд ли это страшнее, чем случайная величина без вероятности), вместо функции распределения придётся брать более сложные объекты… но противоречий пока не вижу. Будут ли они?
Нет, на такой вопрос я не могу ответить, как ни грустно. Могу только на всякий случай заметить, что мера несколько чаще определяется счетно-аддитивной, чем не определяется таковой. Именно так обстоит дело и в классическом издании Халмоша («Теория меры», 1953), и в более современных источниках, в качестве примера могу привести Макарова, Подкорытова, «Лекции по вещественному анализу», 2011. В последней на роль «конечно-аддитивной (но не счетно-) меры» вполне претендует объем, с помощью которого мера определяется просто: мера — счетно-аддитивный объем. Также для однозначности напомню (в только что введенных терминах), что если μ — объем, то следующие утверждения равносильны:
1. μ — мера
2. μ — счетно-аддитивный объем
3. μ — счетно-полуаддитивный объем
4. μ — непрерывный снизу объем
Если объем конечен (объем всего пространства конечен), то всем вышеперечисленным утверждениям также равносильно
5. μ — непрерывный сверху объем
В классической аксиоматике Колмогорова теории вероятностей счетная аддитивность меры вводится именно через 5-ое утверждение (см. аксиому V)
А вот что такое в теории вероятностей сломается, если пятую аксиому не вводить — не могу сказать. Подготовка слабая.
1. μ — мера
2. μ — счетно-аддитивный объем
3. μ — счетно-полуаддитивный объем
4. μ — непрерывный снизу объем
Если объем конечен (объем всего пространства конечен), то всем вышеперечисленным утверждениям также равносильно
5. μ — непрерывный сверху объем
В классической аксиоматике Колмогорова теории вероятностей счетная аддитивность меры вводится именно через 5-ое утверждение (см. аксиому V)
А вот что такое в теории вероятностей сломается, если пятую аксиому не вводить — не могу сказать. Подготовка слабая.
Сколько комментариев…
Вот что случается если программистам доверяют простую задачу.
Анекдот про «сколько программистов нужно что бы закрутить лампочку» в действии :)
Вот что случается если программистам доверяют простую задачу.
Анекдот про «сколько программистов нужно что бы закрутить лампочку» в действии :)
Тоже доставляет обсуждение. У нас такие задачи в первом семестре первого курса были. Странно на техническом форуме такое незнание видеть.
Такие задачи имеет смысл обсуждать, если уже была пройдена теория меры в курсе матанализа, а обсуждать более-менее строго — если была пройдена хотя бы часть курса теории вероятностей, который имеет право начаться, снова таки, только после теории меры на матанализе.
Теория меры в своем построении использует факты: алгебраические (хотя бы конструкции алгебры и сигма-алгебры множеств, полукольца ячеек и пр.), топологические (понятия открытых и замкнутых множеств, всюду плотных множеств, конструкция борелевских множеств, борелевской оболочки и пр.), аналитические (понятие предела, сходимости числовых рядов и пр.), теории множеств (как минимум кардинальные числа множеств). В конце концов, теория меры вводит конструкцию интеграла Лебега, более общего, чем интеграл Римана. Более чем логично, чтобы слушатели уже представляли себе, что такое интеграл Римана — и понимали, почему его ограничения не так редко становятся весьма досадным обстоятельством. Потому обсуждать такие задачки корректно, а не ошибочно полагая, что корректно, в первом семестре первого курса невозможно.
В качестве примера — элементы учебного плана направления математического обеспечения и администрирования информационных систем математико-механического факультета СПбГУ: алгебра — 1-3 семестры, математический анализ — 1-4, причем теория меры — 3 семестр, после пройденного во 2-ом семестре курса топологии в составе курса геометрии. Теория вероятностей начинается в 5-ом. Направление чистой математики: теория меры — и вовсе 4-ый семестр.
Так что вы либо про первый семестр первого курса магистратуры / аспирантуры, либо вас обманули — и замылили вам глаза иллюзией того, что вы понимаете, как такие задачи решаются (за что жирный минус ВУЗу), либо вы сейчас обманываете нас.
Теория меры в своем построении использует факты: алгебраические (хотя бы конструкции алгебры и сигма-алгебры множеств, полукольца ячеек и пр.), топологические (понятия открытых и замкнутых множеств, всюду плотных множеств, конструкция борелевских множеств, борелевской оболочки и пр.), аналитические (понятие предела, сходимости числовых рядов и пр.), теории множеств (как минимум кардинальные числа множеств). В конце концов, теория меры вводит конструкцию интеграла Лебега, более общего, чем интеграл Римана. Более чем логично, чтобы слушатели уже представляли себе, что такое интеграл Римана — и понимали, почему его ограничения не так редко становятся весьма досадным обстоятельством. Потому обсуждать такие задачки корректно, а не ошибочно полагая, что корректно, в первом семестре первого курса невозможно.
В качестве примера — элементы учебного плана направления математического обеспечения и администрирования информационных систем математико-механического факультета СПбГУ: алгебра — 1-3 семестры, математический анализ — 1-4, причем теория меры — 3 семестр, после пройденного во 2-ом семестре курса топологии в составе курса геометрии. Теория вероятностей начинается в 5-ом. Направление чистой математики: теория меры — и вовсе 4-ый семестр.
Так что вы либо про первый семестр первого курса магистратуры / аспирантуры, либо вас обманули — и замылили вам глаза иллюзией того, что вы понимаете, как такие задачи решаются (за что жирный минус ВУЗу), либо вы сейчас обманываете нас.
Комментарии выше странные, ну да ладно. В дополнение сказанном мной выше об абсурдности считать молекулы в этой задаче. Обсуждать тут нечего особо. Вероятность выбрать конкретную точку в отрезке «наугад» равна нулю. Что, очевидно, является прямой интерпретацией условия «бесконечное количество раз пытаемся ломать спичку», где точка — место излома.
Это просто классический пример из геометрического определения вероятности, достаточно даже вкратце ознакомиться. Тем более, что классическое определение вероятности неприменимо к опытам с бесконечным числом исходов по определению (для того собственно и есть геометрическая интерпретация/определение). Так что применять соответствующие методы не нужно пытаться, додумывая какие-то «стремится к нулю» итд. Всё намного проще.
Это просто классический пример из геометрического определения вероятности, достаточно даже вкратце ознакомиться. Тем более, что классическое определение вероятности неприменимо к опытам с бесконечным числом исходов по определению (для того собственно и есть геометрическая интерпретация/определение). Так что применять соответствующие методы не нужно пытаться, додумывая какие-то «стремится к нулю» итд. Всё намного проще.
<< Вероятность выбрать конкретную точку в отрезке «наугад» равна нулю.
Вы неправильно подходите к задаче. Что значит «выбрать точку наугад»? а в отрезке 0-1 выбрать точку 1 тоже невозможно?
Я повторюсь, тут нет ответа, а решение автора неточное. Но ответ не 0.
Вы неправильно подходите к задаче. Что значит «выбрать точку наугад»? а в отрезке 0-1 выбрать точку 1 тоже невозможно?
Я повторюсь, тут нет ответа, а решение автора неточное. Но ответ не 0.
а в отрезке 0-1 выбрать точку 1 тоже невозможно?Причём тут возможно или невозможно? Мы оперируем вероятностями. Вероятность того, что при случайном выборе из отрезка [0,1] будет выбрана точка 1 равна нулю.
Что значит «выбрать точку наугад»?Выбор точки наугад из отрезка — это фактически определение равномерного непрерывного распределения. Конкретно поясните что именно вызывает сомнения, я просто не понимаю что тут подробнее расписать?
А задача сводится именно к вопросу какова вероятность того, что случайная точка будет лежать ровно посередине отрезка [0,1]. Нет? Скажите тогда как Вы видите математическую интепретацию задачи?
Я повторюсь, тут нет ответа, а решение автора неточное. Но ответ не 0.Ну как так нет ответа. Если не ноль, то сколько. Но, заметьте, чтобы искать ответ надо сначала свести задачу к математической, иначе это бессмысленная демагогия. А с этим тут есть проблема, как я вижу. Свой вариант я выше сказал и ответ по нему, очевидно, ноль. Скажите свою интерпретацию математическую, ок.
Нет, задача сводится к тому, с какой вероятностью множество точек разлома спичек будет содержать середину отрезка (при их «неограниченном запасе»). Эту вероятность можно оценить как матожидание меры этого множества (на самом деле, это неправда, поскольку с вероятностью 1 множество будет неизмеримым, ну да ладно).
Раз уж мы сказали, что задача математическая, никто не заставляет нас ограничивать мнощность «неограниченного запаса» спичек счетным множеством. А как только он станет континуальным, ожидаемая мера множества точек разлома начнет отличаться от нуля, и быстро достигнет 1… снова получаем, что вероятность равна единице.
Раз уж мы сказали, что задача математическая, никто не заставляет нас ограничивать мнощность «неограниченного запаса» спичек счетным множеством. А как только он станет континуальным, ожидаемая мера множества точек разлома начнет отличаться от нуля, и быстро достигнет 1… снова получаем, что вероятность равна единице.
«Дайте мне, пожалуйста, LM синий и континуум спичек»
«Пожалуйста. Назовите любое действительное число. Мы дадим вам спичку с этим номером. Назовите другое. Спичка с этим номером у нас тоже есть. А вот автомат, который по любому числу синтезирует спичку для него. Берите и ломайте на здоровье! Только не забывайте обломки спичек ссыпать обратно в автомат :)»
«Простите, но за свою жизнь я успею взять из автомата не более чем счётное количество спичек. Заверните весь континуум сразу, будьте любезны»
«Легко. Вот квантовый генератор случайного числа, который выдает гарантированно случайное равномерно распределенное число от 0 до 1. Нажмите кнопку — и в каждом из континуума миров, на которые расщепится наш мир, число будет своим. И спичка своя. И мы гарантируем, что в одном из этих миров вы сломаете спичку ровно пополам! С математической точностью».
Нет, задача сводится к тому, с какой вероятностью множество точек разлома спичек будет содержать середину отрезка (при их «неограниченном запасе»).Т.е. на математический язык перевожу: «вероятность того, что среди бесконечного множества выбранных наугад точек из отрезка [0,1] будет присутствовать определённая точка из изначального отрезка».
Это абсолютно тождественная задача моей задаче: «вероятность того, что случайная точка из отрезка [0,1] будет являться определённой точкой (серединой отрезка)». И ответ на неё тоже ноль.
А расширять до континуального некорректно. Количество опытов (бесконечное) не может быть несчётным, конечно же.
Бесконечным оно тоже не может быть. Мы берем предел при N->infinity, но N остаётся конечным :(
Э… не понял. Опытов то у нас по определению бесконечно. Иначе мы вообще не можем говорить ни о какой вероятности в случае «сколько нибудь, вплоть до бесконечности».
Нет, опытов у нас всего лишь сколь угодно много. А это не то же, что бесконечность. Примерно как проверяем «есть ли у нас число, большее N и всех чисел, меньших его», перебирая N от 1 до бесконечности. Для сколь угодно большого N ответ будет «да». Но если мы сделаем вывод, что есть такое число, которое больше всех чисел — то ошибёмся. Трансфинитная индукция — штука опасная.
С другой стороны, можно считать, что у нас «сколь угодно большое конечное число спичек». Тогда даже если понециальных точек разлома будет счетное число (например, только рациональные точки), предел вероятности попасть в середину всё равно равен нулю.
Хм, разве? При бесконечном счётном множестве исходов опыта всё же единица должна быть при бесконечном количестве опытов. Тут вполне можно применить классические определения вероятности тем более. Но я что-то слегка позабыл на этот счёт, могу ошибаться.
Очень трудно построить равномерное распределение на счетном множестве точек. Для расциональных чисел мы это можем попытаться сделать — вероятность попасть в рациональную точку на отрезке [a,b] равна длине этого отрезка — но нам придётся забыть о счётной аддитивности. А без неё может оказаться очень плохо — нельзя вообще брать бесконечные объединения или пересечения множеств, не работает суммирование рядов… Я в эту область никогда не смотрел, в современной математике она непопулярна. И возможно, противоречива. («эта область» — та, где можно определить меру на подмножествах рациональных чисел).
Кстати, я как раз заинтересовался этим вопросом. Не подскажете по нему какую-нибудь литературу?
вероятность попасть в рациональную точку на отрезке [a,b] равна длине этого отрезкаПростите, но тут уж явно какая-то ошибка.
Почему? Разумеется, берутся числа на отрезке [0,1]
Блин, ну что за абсурд? Что тогда такое a и b? Ок, пресловутые 0.5 как раз рациональная точка. Так длине какого именно отрезка равна вероятность попасть в рациональную точку 0.5?
Я пытаюсь определить равномерное распределение на множестве рациональных чисел из отрезка [0,1] (как несложно понять из первых двух фраз этого комментария). Одна из попыток такого определения — сказать, что вероятность случайно выбранной (в соответствии с этим распределением) рациональной точки попасть в отрезок [a,b] (где 0<=a<=b<=1) равна b-a.
Где тут вообще можно увидеть точку 0.5, ума не приложу.
Вот после того, как равномерное распределение всё-таки определено, уже можно задать вопрос — какова вероятность того, что одна из счетного множества случайных (опять же, в соответствии с этим распределением) точек совпадёт с заранее выбранной рациональной точкой (например, 0.5).
Эквивалентная формулировка этого вопроса. Возьмём множество Витали M на отрезке [0,1] и счётное множество S случайных равномерно распределенных вещественных чисел этого отрезка. Какова вероятность того, что пересечение M и S непусто?
Очевидно, принцип «0 или 1» тут работает (p^2=p, а значит, p либо равно 0, либо равно 1, либо вообще не существует).
Где тут вообще можно увидеть точку 0.5, ума не приложу.
Вот после того, как равномерное распределение всё-таки определено, уже можно задать вопрос — какова вероятность того, что одна из счетного множества случайных (опять же, в соответствии с этим распределением) точек совпадёт с заранее выбранной рациональной точкой (например, 0.5).
Эквивалентная формулировка этого вопроса. Возьмём множество Витали M на отрезке [0,1] и счётное множество S случайных равномерно распределенных вещественных чисел этого отрезка. Какова вероятность того, что пересечение M и S непусто?
Очевидно, принцип «0 или 1» тут работает (p^2=p, а значит, p либо равно 0, либо равно 1, либо вообще не существует).
Понять-то несложно. Только из комментария по ссылке ничего про [0,1] не сказано. Рациональные числа тоже не подразумевают ни [0,1] ни каких-либо a и b. Я просто уточнил, т.к. вы путано говорите и часть мыслей опускаете. Сейчас вы фактически перефразировали понятия непрерывного равномерного распределения, только для счётного множества (рациональных) точек. Только интервал оттуда заменили для простоты на [0,1]. Ок, ладно. Но вероятность попасть для (континуального) мн-ва вещественных чисел в [a,b] в этом случае тоже равна длине отрезка. Так что разницы никакой. И тогда вроде как решать нечего. Так как длина отрезка [0.5,0.5], очевидно, ноль. И для множества рациональных и для множества вещественных.
За одно испытание вероятность попасть в точку 0.5, вроде бы, равна нулю… есть там одна проблема, потом напишу. Кстати, она относится ко всему «понятия непрерывного равномерного распределения, только для счётного множества (рациональных) точек»…
Но пока вопрос — чему же в таком случае равна вероятность попасть в отрезок [0.5,0.5] за бесконечное (счётное) число опытов (где опыт заключается в выборе случайного рационального числа на [0,1])
Но пока вопрос — чему же в таком случае равна вероятность попасть в отрезок [0.5,0.5] за бесконечное (счётное) число опытов (где опыт заключается в выборе случайного рационального числа на [0,1])
А проблема очень простая, её можно найти, вспомнив доказательство нулевой меры множества рациональных чисел.
Занумеруем рациональные числа. Возьмём отрезок длиной 1/4 вокруг первого числа, 1/8 — вокруг второго и т.д. Сумма длин этих отрезков 1/2, а значит, вероятность попасть в какой-нибудь из них, выбрав случайное рациональное число из [0,1] — не больше 1/2. Но каждое рациональное число принадлежит какому-то из отрезков, т.е. вероятность попасть в какой-нибудь отрезок равна 1. Противоречие.
Аксиому выбора мы не использовали (занумеровать рациональные числа можно конструктивно), значит, проблема — в счётной аддитивности вероятности. Как и предполагалось…
Занумеруем рациональные числа. Возьмём отрезок длиной 1/4 вокруг первого числа, 1/8 — вокруг второго и т.д. Сумма длин этих отрезков 1/2, а значит, вероятность попасть в какой-нибудь из них, выбрав случайное рациональное число из [0,1] — не больше 1/2. Но каждое рациональное число принадлежит какому-то из отрезков, т.е. вероятность попасть в какой-нибудь отрезок равна 1. Противоречие.
Аксиому выбора мы не использовали (занумеровать рациональные числа можно конструктивно), значит, проблема — в счётной аддитивности вероятности. Как и предполагалось…
чему же в таком случае равна вероятность попасть в отрезок [0.5,0.5] за бесконечное (счётное) число опытов (где опыт заключается в выборе случайного рационального числа на [0,1])В том то и прикол, что по-вашему же определению выше вероятность этого равна 0. А я как раз не считаю это очевидным ответом, это надо обдумать, я пока не готов ответить, честно говоря.
Очень трудно построить равномерное распределение на счетном множестве точек.И, кстати, в чём проблема построить равномерное распределение для счётного множества точек — тоже не очень понятно. Почему самое обычное дискретное равномерное распределение не подходит для дискретной бесконечной случайной величины?
Задумался: если представить бесконечную сетку в 2д и в каждой клетке положить спичку, будет ли это множество спичек счетным? :-)
Будет. Счётное множество счётных множеств счётно.
А как построить тогда биекцию из множества натуральных чисел на эти спички?
И второй вопрос — как тогда представить множество спичек, которое несчетно?
И второй вопрос — как тогда представить множество спичек, которое несчетно?
А бесконечная сетка в бесконечномерном пространстве? :-) Как там построить биекцию? Раз уж такие пляски пошли :-)
Никак. Даже в кубике 2 х 2 х 2 x… уже континуум кубиков 1 x 1 x 1 x…
Счетным будет множество узлов сетки, у которых только конечное число ненулевых координат. Их занумеровать можно — сначала обходим те, в которых |x1|<1, а x2=x3=...=0, потом те, где |x1|+|x2|<2, а x3=x4=..=0, потом — |x1|+|x2|+|x3|<3, x4=x5=...=0 — вся сетка окажется пронумерованной.
А если брать узлы, в которых бесконечное число ненулевых координат, то их окажется континуум. И их можно отобразить на бесконечные последовательности из 0 и 1 — сначала записать координаты в обратном коде (знак, потом модуль начиная с младшего бита) и обойти их «зигзагом» (b00,b10,b01,b20,b11,b02,… — где bij — j-й бит i-го числа).
Кстати, если число ненулевых координат конечно, то получится запись с конечным числом единиц, т.е. опять же целое неотрицательное число.
А если брать узлы, в которых бесконечное число ненулевых координат, то их окажется континуум. И их можно отобразить на бесконечные последовательности из 0 и 1 — сначала записать координаты в обратном коде (знак, потом модуль начиная с младшего бита) и обойти их «зигзагом» (b00,b10,b01,b20,b11,b02,… — где bij — j-й бит i-го числа).
Кстати, если число ненулевых координат конечно, то получится запись с конечным числом единиц, т.е. опять же целое неотрицательное число.
А почему n обозначает две величины:
1) количество точек, которыми разбивается спичка
2) количество спичек
?
Думаю в этом и ошибка, т. к. тогда предел надо искать не от (1 — 1/n)n, а от (1 — 1/n)m, где m — кол-во спичек — это вполне конечное число. В итоге и получается вероятность равна нулю.
1) количество точек, которыми разбивается спичка
2) количество спичек
?
Думаю в этом и ошибка, т. к. тогда предел надо искать не от (1 — 1/n)n, а от (1 — 1/n)m, где m — кол-во спичек — это вполне конечное число. В итоге и получается вероятность равна нулю.
Это просто опечатка у него была.
Как раз проблема в том, что m — бесконечно (по условию).
Как раз проблема в том, что m — бесконечно (по условию).
Ну если принять m — как бесконечность, то решение Кэрролла как раз верное. Вы осознаёте задачу так, как-будто спичек — конечное число, пусть даже и большое, поэтому правильный ответ действительно ноль. Но если же принять кол-во спичек за бесконечное число, получается парадокс действий над бесконечностями.
Нет, что за ерунда. Бесконечность и подразумевает стремление к бесконечности, а не строго бесконечность.
m — не стремится к бесконечности, это очевидно из условий задачи. В задаче явно указано, что Вася мог сломать любое КОНЕЧНОЕ число спичек m<∞, а не сломал всю Вселенную заполненную спичками.
Ваша ошибка в том, что:
m < ∞, а вы принимаете её как m = ∞.
Ваша ошибка в том, что:
m < ∞, а вы принимаете её как m = ∞.
Бесконечность и подразумевает стремление к бесконечности, а не строго бесконечность.Честно говоря, какой-то абсурд. Без контекста — тем более. Разве что к матану можно с натяжкой применить. Т.к. в других контекстах вообще никаких «стремлений» вообще не определяется, по-моему. И вообще, в математике куча разных интерпретаций и применений бесконечности.
Простите, но абсурд вы написали. Что, в таком случае, бесконечность спичек?
Бесконечность спичек в данном контексте это то же самое, что бесконечность натуральных чисел. Множество интерпретаций можно дать. Как минимум, это означает, что для любого N существует N+1. С точки зрения множеств — это счётное бесконечное множество без верхней границы. Но в любом случае и определении куда тут можно ввернуть «стремление к бесконечности»? Т.е. количество натуральных чисел не бесконечно, а стремится к бесконечности? Это как понять и где такое вообще услышали?
А то с такими рассуждениями можно доказывать из:
∞ + 5 = ∞,
что 5 = 0
∞ + 5 = ∞,
что 5 = 0
Из меркантильного интереса — упоминаемый головоломный форум можно озвучить? А то все ресурсы, которые я любил, покрылись пылью в последнее время.
Хабр торт. Прочитал запоем. Спасибо!!!
Очередное подтверждение старой истины — если вам показалось, что вы интуитивно поняли ход решения задачи по теории вероятности — вы ошибаетесь.
Очень странно увидеть в ответе на исходную задачу числа отличные от 0 и 1.
Допустим, для Васи ответ (1 — 1/e) — правильный. Тогда посадим рядом еще и Колю, заставим его также ломать спички и для него вероятность получится те же (1 — 1/e). Тогда общая их вероятность сломать хотя бы одну спичку увеличивается. Но чем Коля отличается от Васи? Ничем, заставим Васю ломать за каждый «ход» по две спички. При этом, не изменим и условие задачи, а ответ будет другим.
Допустим, для Васи ответ (1 — 1/e) — правильный. Тогда посадим рядом еще и Колю, заставим его также ломать спички и для него вероятность получится те же (1 — 1/e). Тогда общая их вероятность сломать хотя бы одну спичку увеличивается. Но чем Коля отличается от Васи? Ничем, заставим Васю ломать за каждый «ход» по две спички. При этом, не изменим и условие задачи, а ответ будет другим.
Собственно, это и есть «принцип нуля или единицы», о котором я писал выше.
Тогда посадим рядом еще и Колю, заставим его также ломать спички и для него вероятность получится те же (1 — 1/e). Тогда общая их вероятность сломать хотя бы одну спичку увеличивается.Всё не совсем так. Вероятность исхода отдельного опыта не может зависеть ни от скорости проведения опытов ни от количества людей, которые их проводят. Ни даже от количества опытов. Просто по определению. Так как вероятность это не описание результата или чего-то на него влияющего. Это, грубо говоря, характеристика самого занятия как последовательности опытов. При кидании кубика вероятность того, что выпадет определённая сторона — 1/6, сколько бы человек и с какой скоростью не кидали их. Вероятность определённого результата череды опытов (вероятность того что среди 10 бросков будет шестёрка) тоже совершенно отвязана от способа их проведения, но явным образом привязана к вероятности исхода опыта. Но тем не менее в данном случае классические определения вероятности неприменимы, как я выше сказал, они не оперируют бесконечными опытами. Хотя мы с математической интерпретацией ещё не определились.
з.ы. Я хотел сказать что нет, вероятность сломать хотя бы одну спичку не увеличится при такой постановке вопроса и тем более при такой постановке задачи изначальной.
Существует множество прекрасных задач, в которых ответ 1/e. Например, задача о шляпах.
Ничего страшного, если в задаче про спички ответ другой.
Группа из n фанатов выигрывающей футбольной команды на радостях бросает свои шляпы в воздух. Шляпы возвращаются в случайном порядке — по одной к каждому из болельщиков. Какова вероятность того, что ни один из болельщиков не получит свою шляпу, при n→∞?
Ничего страшного, если в задаче про спички ответ другой.
Хорошо. Пусть группа из n фанатов выигрывающей футбольной команды на радостях бросает в воздух спички…
На самом деле, я думал над этим. Пока в голову ничего не пришло. Если кто-нибудь (не обязательно не я) додумается — присовокуплю к посту.
На самом деле, я думал над этим. Пока в голову ничего не пришло. Если кто-нибудь (не обязательно не я) додумается — присовокуплю к посту.
А если так: Вася ломает спички. После N спичек его эксперимент считается удачным, если хотя бы одна точка разлома попала в отрезок от (N-1)/2N до (N+1)/2N. Удачный эксперимент после очередной спички может стать неудачным и наоборот. Какова вероятность того, что после достаточно большого числа спичек Вася окажется в состоянии «удачного эксперимента»?
Криво, зато в соответствии с авторским решением.
Криво, зато в соответствии с авторским решением.
Классная статья! Спасибо
Ноль — довольно очевидный результат. На спичке же континуум точек, а у Васи есть только счетное количество спичек.
Ноль — ожидаемый результат. Но такие вещи лучше для себя строго выводить, ведь результаты бывают и неожиданными.
А я так и не смог понять, почему точек континуум, а спичек конечное число. По условиям задачи количество мест разлома равно количеству спичек. Спичка по условиям задачи не отрезок-континуум, а дискретный набор точек.
В такой постановке правомерна задача — Какая вероятность того, что каждая из половинок разломанной спички будет равна целой спичке? Ответ: 1
То есть Вася ломал идеальные, невещественные спички — пытался разделить бесконечность пополам. И половинка идеальной спички которая состоит из бесконечности частей равна целой идеальной спичке которая тоже состоит из бесконечности частей.
Правильно?
Хотя, сами по себе рассуждения интересные.
То есть Вася ломал идеальные, невещественные спички — пытался разделить бесконечность пополам. И половинка идеальной спички которая состоит из бесконечности частей равна целой идеальной спичке которая тоже состоит из бесконечности частей.
Правильно?
Хотя, сами по себе рассуждения интересные.
Это старая путаница между равенством и равномощностью. Всякий отрезок имеет мощность континуум (грубо говоря, все отрезки состоят из одинакового количества точек), но при этом разные отрезки могут иметь разную длину. А под равенством обычно понимается равенство по длине.
Общая идея аксиомы детерминированности в том, что объект существует, только если его можно построить «руками», взять и объяснить, как его строить. А если не получается объяснить, то объект не существует вовсе. www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=20&page=12
Я хотел сказать, что спичка это матеральный объект и вероятность сломать её ровно попалам больше нуля, точно также как вероятность разделить кучу семечек пополам.
Фактически задача звучит так — какая вероятность того, что спичка сломается в том месте которого у неё нет.
Рассуждения о количестве спичек не понятно каким образом соотносятся с теорией вероятности в данном случае, если понятно, что у нас бесконечное количество попыток как и при бросании монеток.
Вот ещё задача — какова вероятность того что спичка после разлома останется целой? То есть сломается ровно на одном из концов «спички», которые точно есть даже у идеальной спички и которых целых два.
Я хотел сказать, что спичка это матеральный объект и вероятность сломать её ровно попалам больше нуля, точно также как вероятность разделить кучу семечек пополам.
Фактически задача звучит так — какая вероятность того, что спичка сломается в том месте которого у неё нет.
Рассуждения о количестве спичек не понятно каким образом соотносятся с теорией вероятности в данном случае, если понятно, что у нас бесконечное количество попыток как и при бросании монеток.
Вот ещё задача — какова вероятность того что спичка после разлома останется целой? То есть сломается ровно на одном из концов «спички», которые точно есть даже у идеальной спички и которых целых два.
Общая идея аксиомы детерминированности в том, что объект существует, только если его можно построить «руками», взять и объяснить, как его строить.
Не знаю как вы сделали такой вывод из аксиомы детерменированности.
The axiom of determinacy (abbreviated as AD) is a possible axiom for set theory introduced by Jan Mycielski and Hugo Steinhaus in 1962. It refers to certain two-person games of length ω with perfect information. AD states that every such game in which both players choose natural numbers is determined; that is, one of the two players has a winning strategy.
А если не получается объяснить, то объект не существует вовсе.
А вот это утверждение противоположно аксиоме выбора. Ее, конечно, иногда стараются не использовать, но не всегда.
что у нас бесконечное количество попыток как и при бросании монеток.Разница только в том, что у опыта бросания монетки количество исходов конечно, а при ломании спичек — бесконечно. И эта разница принципиальна с точки зрения теории вероятностей.
У меня ограничение из-за кармы по одному ответу в час. Хотел ответить автору но он уже видимо устал объяснять разницу между понятием длины и понятием мощности.
Задачу с монетками вы легко преобразуете к задаче со спичками. Какова вероятность того что при бесконечном количестве бросаний монет количество выпавших орлов и решек будет одинаковым?
Ну и всё-таки атору топика заодно:
Бертран Рассел так отозвался об аксиоме выбора: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0
Задачу с монетками вы легко преобразуете к задаче со спичками. Какова вероятность того что при бесконечном количестве бросаний монет количество выпавших орлов и решек будет одинаковым?
Ну и всё-таки атору топика заодно:
Бертран Рассел так отозвался об аксиоме выбора: «Сначала она кажется очевидной; но чем больше вдумываешься, тем более странными кажутся выводы из этой аксиомы; под конец же вообще перестаешь понимать, что же она означает».
ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BA%D1%81%D0%B8%D0%BE%D0%BC%D0%B0_%D0%B2%D1%8B%D0%B1%D0%BE%D1%80%D0%B0
Не могу вспомнить, чтобы автор топика где-то упоминал аксиому выбора.
Имхо эта задача неинтересная без аксиомы выбора. Я думал, что автор именно этот логический кульбит и поставил во главу своего топика.
Если свести задачу к простому вопросу — Есть ли середина у бесконечности, то я за Кэроловский ответ. Он более обоснован.
Но заметка интересная. Понравилось. Пишите почаще, пожалуйста.
Если свести задачу к простому вопросу — Есть ли середина у бесконечности, то я за Кэроловский ответ. Он более обоснован.
Но заметка интересная. Понравилось. Пишите почаще, пожалуйста.
Без аксиомы выбора всё становится намного интереснее и сложнее. Функция без выбора, пустое декартово произведение непустых множеств — это мелочи. А вот бесконечные множества без счетных подмножеств, аморфные множества (которые нельзя разбить на два бесконечных)… — выглядит необычно, но похоже, что там не так много можно доказать.
Вот как можно минусы заработать в топике про математику?
Раз пошла такая пьянка то вот ещё ответ — если рассматривать некий идеальный объект который можно сломать то он сломается ровно посредине с вероятностью равной единице. Это с точки зрения физики или материаловеденья. Отсутствие дислокаций в этом объекте приведёт к тому что он сломается в месте действия максимального изгибающего момента, а он будет ровно посредине, при условии, что у Васи симетричные руки.
Раз пошла такая пьянка то вот ещё ответ — если рассматривать некий идеальный объект который можно сломать то он сломается ровно посредине с вероятностью равной единице. Это с точки зрения физики или материаловеденья. Отсутствие дислокаций в этом объекте приведёт к тому что он сломается в месте действия максимального изгибающего момента, а он будет ровно посредине, при условии, что у Васи симетричные руки.
Ну да, спичка — материальный объект, т.е. не отрезок, а разлом не точка.
На эту тему подходит цитата Эйнштейна: «As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain, as far as they are certain, they do not refer to reality.».
Но поскольку задача «на математику», то…
На эту тему подходит цитата Эйнштейна: «As far as the laws of mathematics refer to reality, they are not certain, as far as they are certain, they do not refer to reality.».
Но поскольку задача «на математику», то…
Интересно, спасибо.
Я конечно уже забыл всю статистику.
Но если пытаться смоделировать разломы спички (спичка ломается обеими руками приблезительно в центре) — вероятности разлома по спичке будут иметь нормальное распределение. И соотвественно в этом случае мы сможем говорить о значении ф-ции плотности в центре.
Я конечно уже забыл всю статистику.
Но если пытаться смоделировать разломы спички (спичка ломается обеими руками приблезительно в центре) — вероятности разлома по спичке будут иметь нормальное распределение. И соотвественно в этом случае мы сможем говорить о значении ф-ции плотности в центре.
Об этом я уже писал здесь
Рассмотрим опять формулу:
(1 — 1/n)m, где:
n — кол-во мест изломов
m — кол-во спичек.
Кэрролл из-за опечатки подсчитал lim(1 — 1/n)nn -> ∞, и получил правильные 1/e. Но n!=m, поэтому реальная вероятность будет зависеть от соотношения n/m.
Если n/m -> 0 (т. е. спичек гораздо больше, чем изломов), то вероятность того, что мы сломаем хоть одну спичку по середине, стремится к 1, т. к. изломов меньше гораздо меньше, чем количество спичек.
Если же n/m -> ∞ (т. е. изломов во много раз больше), то вероятность уже будет стремиться к 0.
В итоге, если спичек бесконечное число, то ответ нельзя определить, т. к. неизвестен характер стремящихся к бесконечности величин m и n.
Однако, я ещё раз повторяю, что в задаче лишь упоминалось, что спичек не ограничено, но их число вполне конечно. То есть Вася мог поломать как 5 спичек, так и 20 спичек, условиям задачи это не противоречит. То есть m — это конечное число <∞, поэтому устремлять его к бесконечности совсем не нужно, это просто неизвестная. А если принять m — конечным числом, то легко доказать, что ответ будет равен нулю.
(1 — 1/n)m, где:
n — кол-во мест изломов
m — кол-во спичек.
Кэрролл из-за опечатки подсчитал lim(1 — 1/n)nn -> ∞, и получил правильные 1/e. Но n!=m, поэтому реальная вероятность будет зависеть от соотношения n/m.
Если n/m -> 0 (т. е. спичек гораздо больше, чем изломов), то вероятность того, что мы сломаем хоть одну спичку по середине, стремится к 1, т. к. изломов меньше гораздо меньше, чем количество спичек.
Если же n/m -> ∞ (т. е. изломов во много раз больше), то вероятность уже будет стремиться к 0.
В итоге, если спичек бесконечное число, то ответ нельзя определить, т. к. неизвестен характер стремящихся к бесконечности величин m и n.
Однако, я ещё раз повторяю, что в задаче лишь упоминалось, что спичек не ограничено, но их число вполне конечно. То есть Вася мог поломать как 5 спичек, так и 20 спичек, условиям задачи это не противоречит. То есть m — это конечное число <∞, поэтому устремлять его к бесконечности совсем не нужно, это просто неизвестная. А если принять m — конечным числом, то легко доказать, что ответ будет равен нулю.
То, что я напишу ниже, возможно, вполне нелепо, но сам топик провоцирует писать подобное.
Абсурдная логика
Я прочитал топик, а потом встал, пошел на кухню, достал коробок не дискретных спичек, достал одну, и, не глядя, сломал ее. Потом взял линейку и измерил одну половинку, и она оказалась равна ровно 1/2 целой спички. Тогда я взля вторую половинку, и она оказалась равна первой, т. е. тоже 1/2 целой спички.
А вы утверждаете, что вероятность этого равна 0, т… е. по науке я бы даже не смог зайти на кухню. Как так-то?
Единственное, меня зовут не Васей, могло ли это повлиять на условия эксперимента?
А вы утверждаете, что вероятность этого равна 0, т… е. по науке я бы даже не смог зайти на кухню. Как так-то?
Единственное, меня зовут не Васей, могло ли это повлиять на условия эксперимента?
Такая тема, кстати, тоже обсуждалась на нашем форуме. Яростно обсуждалась, с угрозами, оскорблениями и жалобами в спортлото.
Формулировка была следующей: пусть у нас есть верёвка, мы её рвём на две части. Вероятность того, что верёвка порвётся в какой-то конкретной точке, равна нулю. Однако верёвка порвалась!
Геометрическая вероятность — это такая штука, что события с вероятностью нуль происходят. Причём постоянно. Но это не мешает им иметь вероятность нуль.
Формулировка была следующей: пусть у нас есть верёвка, мы её рвём на две части. Вероятность того, что верёвка порвётся в какой-то конкретной точке, равна нулю. Однако верёвка порвалась!
Геометрическая вероятность — это такая штука, что события с вероятностью нуль происходят. Причём постоянно. Но это не мешает им иметь вероятность нуль.
Вероятность того, что верёвка порвётся в какой-то конкретной точке, равна нулю.
Всего-то ошибка формулировки.
Не в какой-то конкретной, а в любой наперед заданной.
Вероятность же уже произошедшего события = 1.
Я к такому выводу только что пришел, когда начал думать, что надо взять еще и бесконечное количество Вась, у каждого из которых бесконечное количество спичек, и дать каждому задание случайно сломать спичку в точке 1/n*a, где n — количество Вась, а a — порядковый номер Васи. В таком случае каждая сломанная спичка была-бы случайно сломана в нужном для любого другого Васи месте. Что-то вроде 1/e^2 (e — бесконечность же?)
А с одним Васей модно поступить проще: пусть шанс случайного попадания в одну точку равен 0. Тогда шанс случайного попадания в любую из двух точке тоже равен 0. Шанс случайного попадания в n точек тоже равен 0. В n+1 точек — тоже 0. Теперь, Вася сломал первую спичку. Какова вероятность того, что он сломает еще одну в том же месте? 0. У Васи n спичек, и это n бесконечно велико. И спичку можно сломать в m местах, и это m тоже бесконечно велико. Однако, ломаю каждую спичку и учитывая, что шанс сломать еще одну спичку в том-же месте равен 0, Вася, как Остап Бендер все увеличивает свои шансы попасть в точку. Теперь, когда Вася сломал n-1 спичек (можно сказать досчитал до бесконечности минус 1) во всех местах (он не попадал по нашей гипотезе при ломании в одну и ту-же точку) у него останется спичка, которую, опять же согласно выводу, что вероятность попасть даже в n точек равна 0, а во все точки, кроме той, которая ровно посередине он уже попал…
Короче, последняя спичка сюда по всему окажется не ломаемой ;)
А с одним Васей модно поступить проще: пусть шанс случайного попадания в одну точку равен 0. Тогда шанс случайного попадания в любую из двух точке тоже равен 0. Шанс случайного попадания в n точек тоже равен 0. В n+1 точек — тоже 0. Теперь, Вася сломал первую спичку. Какова вероятность того, что он сломает еще одну в том же месте? 0. У Васи n спичек, и это n бесконечно велико. И спичку можно сломать в m местах, и это m тоже бесконечно велико. Однако, ломаю каждую спичку и учитывая, что шанс сломать еще одну спичку в том-же месте равен 0, Вася, как Остап Бендер все увеличивает свои шансы попасть в точку. Теперь, когда Вася сломал n-1 спичек (можно сказать досчитал до бесконечности минус 1) во всех местах (он не попадал по нашей гипотезе при ломании в одну и ту-же точку) у него останется спичка, которую, опять же согласно выводу, что вероятность попасть даже в n точек равна 0, а во все точки, кроме той, которая ровно посередине он уже попал…
Короче, последняя спичка сюда по всему окажется не ломаемой ;)
У Васи n спичек, и это n бесконечно велико. И Спичку можно сломать в m местах, и это m тоже бесконечно велико.
Выше уже неоднократно отмечали, что мощность всех точек (континиум) > мощности всех спичек (мощность счетного множества).
Т. е. можно бесконечно ломать спички, так и не попав в нужную точку?
Топик как раз об этом. В нем нужная точка — середина, но те же выводы верны и для любой другой наперед заданной точки.
Более того верно более сильное утверждение: заранее выбрав точку (или любой счетный набор точек) за счетное количество попыток вероятность попасть = 0.
Более того верно более сильное утверждение: заранее выбрав точку (или любой счетный набор точек) за счетное количество попыток вероятность попасть = 0.
Понял. Можно бесконечно ломать спички и так, что одна из половинок будет иметь размер от 0.3 до 0.4.
Не совсем это подразумевалось.
Если место разлома случайно, то при бесконечном количестве попыток вероятность попасть в сколь угодно малый наперед выбранный диапазон вокруг любой наперед выбранной точки равна единице.
Так что мы сможем приблизиться к середине сколь угодно близко.
И вероятность того, "что одна из половинок будет иметь размер от 0.3 до 0.4" во всех попытках равна нулю.
Если место разлома случайно, то при бесконечном количестве попыток вероятность попасть в сколь угодно малый наперед выбранный диапазон вокруг любой наперед выбранной точки равна единице.
Так что мы сможем приблизиться к середине сколь угодно близко.
И вероятность того, "что одна из половинок будет иметь размер от 0.3 до 0.4" во всех попытках равна нулю.
Я имел ввиду, что бесконечность точек на спичке больше бесконечности самих спичек, т. к. даже часть спички являет собой отрезок с бесконечным количеством точек, а целая спичка — это много (бесконечно?) таких отрезков. и поэтому:
> мощность всех точек (континиум) > мощности всех спичек (мощность счетного множества)
Или нет?
> мощность всех точек (континиум) > мощности всех спичек (мощность счетного множества)
Или нет?
Да.
Давайте говорить не о спичках, а об отрезке [0,1]. Если разбить его на не более чем счетное количество частей, то хотя бы одна из них будет изоморфна всему отрезку.
Вообще теория множеств — интереснейший раздел математики. Очень рекомендую в качестве увлекательного чтива хотя бы статьи в википедии по этой теме.
Давайте говорить не о спичках, а об отрезке [0,1]. Если разбить его на не более чем счетное количество частей, то хотя бы одна из них будет изоморфна всему отрезку.
Вообще теория множеств — интереснейший раздел математики. Очень рекомендую в качестве увлекательного чтива хотя бы статьи в википедии по этой теме.
Все равно не понятно, ведь задача Васи грубо говоря попасть в середину
Неужели за неограниченное количество попыток он не попадет? Глупо думать что не попадет. Как раз таки, даже при случайном распределении попадет, а уж целенаправленно тем более
Либо условие задачи неправильно сформулировано
Неужели за неограниченное количество попыток он не попадет? Глупо думать что не попадет. Как раз таки, даже при случайном распределении попадет, а уж целенаправленно тем более
Либо условие задачи неправильно сформулировано
И все-таки, хоть я разобрался с этими континиумами и множествами и в целом согласен с этими суждениями, но я ведь, придя на кухню, взял и с первого раза слома спичку ровно пополам. Как с этим быть? Что, действительно события с вероятностью 0 могут произойти?
что значит точно
берем делим делаем эту область дискретной, допустим на 100 делим
если линия излома попадает в в предел 1/100, значит это засчитывается. Вероятность 1 к 100
берем делим делаем эту область дискретной, допустим на 100 делим
если линия излома попадает в в предел 1/100, значит это засчитывается. Вероятность 1 к 100
заранее выбрав точку (или любой счетный набор точек) за счетное количество попыток вероятность попасть = 0Все мои попытки поиграть в дартс доказывают это.
Учитывая, что линейка измеряет с определённой погрешностью, вероятность сломать «точно пополам» для неё не ноль.
Смущают меня эти конечные неограниченные числа.
Я сразу правильно ответил. Я не знаю почему, но я жопой чувствую все эти неопределённости типа 0∙∞, ∞/∞, 1^∞… и соотношения мощностей множеств… Видимо, десятилетняя мехматовская дрессура.
Спасибо, насчет мощности множеств я просмотрел, выше был не прав.
Обычно рассматривается вероятность попасть точкой в множество, а не множеством в точку. Но это так, к слову.
Я не хочу сказать, что этот подход неверен, даже наоборот — он абсолютно верен. Но он, на мой взгляд, обладает меньшей убедительной силой. Подсчёт пределов более интуитивно понятен, чем оперирование счётными и более чем счётными множествами. Я специально спрятал ремарку относительно этого под спойлер — мне не очень хотелось разводить холивары по этому поводу. Впрочем, они всё равно развелись.
Я не хочу сказать, что этот подход неверен, даже наоборот — он абсолютно верен. Но он, на мой взгляд, обладает меньшей убедительной силой. Подсчёт пределов более интуитивно понятен, чем оперирование счётными и более чем счётными множествами. Я специально спрятал ремарку относительно этого под спойлер — мне не очень хотелось разводить холивары по этому поводу. Впрочем, они всё равно развелись.
рассматривается вероятность попасть точкой в множество, а не множеством в точкукак же ковровые бомбардировки?!
Когда предела функции от двух переменных не существует (например, предел зависит от траектории приближения), они перестают быть интуитивно понятными. И тут работа с мощностью множеств оказывается проще (при условии, что у нас есть аксиома выбора и, на всякий случай, континуум-гипотеза).
Из вашей логики, если ограничить условие тем, что спичка может ломаться только в счетном множестве точек (например, в точках, соответствующих рациональным числам от 0 до 1), то ответ изменится.
Это, конечно, не так. Вероятность все равно будет 0.
Это, конечно, не так. Вероятность все равно будет 0.
Вы написали, цитирую, «Тогда вероятность сломать пополам при БЕСК числе попыток — это вопрос, сколько мера счетного множества отнимает от меры всего отрезка.». Это не так. Если бы меры были равны (например, спичка ломалась бы только в долях — рациональных числах), ответ всё равно был бы 0.
Если бы меры были равны (например, спичка ломалась бы только в долях — рациональных числах), ответ всё равно был бы 0.
Как выяснилось, это не так. Если рациональные числа равноправны, то вероятности сломать спичку в заданной рациональной точке не существует. Она не может быть ни нулевой (по счетной аддитивности — получилось бы, что спичку вообще нельзя сломать), ни положительной — тогда сумма вероятностей стала бы бесконечной.
Ответ всегда равен 0 по тривиальной причине — распределение вероятности сломать спичку в реальности всегда непрерывное.
Если строже, то пусть F(x) — плотность распределения наших усилий по разламыванию спички. Тогда вероятность попасть в окрестность размера l от центра спички равна определённому интегралу от 0.5 — l/2 до 0.5 + l/2.
Устремляем l → 0; так как под интегралом у нас непрерывная ограниченная функция, то такой предел будет равен 0. Независимо от того, оперируем мы R или Q — он в любом метрическом пространстве будет 0.
Ошибка Кэрролла в том, что он так специально формирует свою функцию плотности вероятности, что она ступенчатая. Устремляя n → ∞, он получает функцию, разрывную в любой точке. Такая функция по критерию Лебега неинтегрируема, поэтому и ответ получается произвольным.
Фактически, для того, чтобы ответ был не 0, необходимо, чтобы плотность распределения мест разлома спички в 0.5 была равна дельта-функции. Ну а плотности множеств здесь совершенно ни при чём.
Я даже собирался написать об этом на Хабр, но затрахался набирать математические формулы. Подумываю сфотографировать листочек бумажки.
Если строже, то пусть F(x) — плотность распределения наших усилий по разламыванию спички. Тогда вероятность попасть в окрестность размера l от центра спички равна определённому интегралу от 0.5 — l/2 до 0.5 + l/2.
Устремляем l → 0; так как под интегралом у нас непрерывная ограниченная функция, то такой предел будет равен 0. Независимо от того, оперируем мы R или Q — он в любом метрическом пространстве будет 0.
Ошибка Кэрролла в том, что он так специально формирует свою функцию плотности вероятности, что она ступенчатая. Устремляя n → ∞, он получает функцию, разрывную в любой точке. Такая функция по критерию Лебега неинтегрируема, поэтому и ответ получается произвольным.
Фактически, для того, чтобы ответ был не 0, необходимо, чтобы плотность распределения мест разлома спички в 0.5 была равна дельта-функции. Ну а плотности множеств здесь совершенно ни при чём.
Я даже собирался написать об этом на Хабр, но затрахался набирать математические формулы. Подумываю сфотографировать листочек бумажки.
С помощью сексуальных извращений. Подробнее — в соответствующей теме.
Я — никакой не хочу.
В том и есть ошибка Кэрролла, что он строит всюду разрывную плотность вероятности, а потом ещё и успешно берёт её интеграл.
В том и есть ошибка Кэрролла, что он строит всюду разрывную плотность вероятности, а потом ещё и успешно берёт её интеграл.
уморили… Количество точек перелома — континиум (такая сферическая идеальная спичка в вакууме). А вы, даже со своими p и q (пусть и убегающими в бесконечность) берете их счетными.
Так что шаг деления отрезка на q (или n) равных частей уже убивает решение.
Так что шаг деления отрезка на q (или n) равных частей уже убивает решение.
С детства помню, как отец советовал во всех случаях, когда это возможно, брать информацию из первоисточников. Пост является прекрасной иллюстрацией этому.
По этому поводу меня всегда удивляло требование для курсовых и дипломных работ: брать источники лишь за последние эн лет. Иногда это оправданно, конечно, а иногда лучше взять старого доброго Фихтенгольца, чем какое-нибудь новомодное издание с четырьмя опечатками на странице.
P.S. Это не шутка. С четырьмя. На одной. Листал собственными руками.
P.S. Это не шутка. С четырьмя. На одной. Листал собственными руками.
По-моему, разговоры про молекулы, дискретность, кварки и струны конечно очень интересные, но ведь в задаче говорится:
Вы думаете у Васи в 1888 году были такие познания? :D
(с уважением ко всем Василиям)
Сидел однажды Вася у себя на кухне...
Вы думаете у Васи в 1888 году были такие познания? :D
(с уважением ко всем Василиям)
Спасибо, интересно. Тут же возникает вопрос: а как можно было бы сформулировать другую (но очень похожую) задачу, в которой решение и ответ Кэролла оказались бы корректными?
Предлагаю такую (в правильности не уверен, сейчас нет времени хорошо обдумать и проверить):
«Среди некоторого нечётного количества человек, случайно построенных в шеренгу, ровно один — рыжий. Какова предельная вероятность того, что он окажется ровно в середине шеренги, при неограниченном увеличении длины шеренги?»
Предлагаю такую (в правильности не уверен, сейчас нет времени хорошо обдумать и проверить):
«Среди некоторого нечётного количества человек, случайно построенных в шеренгу, ровно один — рыжий. Какова предельная вероятность того, что он окажется ровно в середине шеренги, при неограниченном увеличении длины шеренги?»
Предельная вероятность равна нулю. Заставьте их разойтись и снова построиться N раз (где N — их число), тогда что-нибудь получится.
Да, вы правы; однако, усложнять формулировку в надежде, что она останется достаточно изящной, мне лень. Кстати у меня есть про запас совсем другая задача, в которой в пределе получается такая вероятность (1 — 1/e), без ошибок — «задача про гниющие помидоры» (автор задачи — Ольга Леонтьева). Надо бы напрячься и опубликовать здесь отдельной записью. Мне удалось решить её только «физическим» способом, хотя она комбинаторная (через переход к непрерывной функции, предполагая, что её непрерывность и дифференцируемость доказывается — и затем решая дифур), но у неё есть и честное комбинаторное решение (которое мне найти было слабо, но добрые люди помогли… надеюсь, у меня его запись где-то сохранилась).
О, так я из вашего блога копипастил формулировку задачи про шляпы. Как раз собирался заняться помидорами.
Классно, удачи с помидорами — я на всякий случай снова нашёл и сохранил чужое аналитическое решение (отличное от моего, «физического», тем, что для доказательства правильности аналитического решения ничего особо не надо, в то время как в «физическом» у меня дыры из-за пробелов в образовании — я программист, а не математик, хотя и учился на мат-мехе). Я в этом чужом решении так досконально и не разобрался (оно записано очень сжато, а интерес к задаче я уже потерял).
Мде… а ведь ближе к весне опять попрут топики о там надо ли иметь высшее образование.
Автор несколько заблуждается. Вероятность больше нуля.
Такое заявление уже встречалось в комментариях n раз. Не желаете ли обосновать?
Такое заявление уже встречалось в комментариях n раз.
Вероятно заявлявшие считают, что обоснованность растет при n → ∞.
Ну так она и растет, с той же скоростью, как и вероятность попадания в центр спички.
Кстати, вопрос, если «бесконечность» и «стремящееся к бесконечности» не одно и то же, то «ноль» и «стремящееся к нулю» тоже не эквивалентны?
Кстати, вопрос, если «бесконечность» и «стремящееся к бесконечности» не одно и то же, то «ноль» и «стремящееся к нулю» тоже не эквивалентны?
Бесконечность не включают в N. Каждый раз, когда говорят о «бесконечности» подразумевают нечто другое.
Например, говоря «вероятность события при бесконечном числе попыток равна k» подразумевают «при числе попыток, стремящимся к бесконечности, вероятность стремится к k», или, что точнее (если я ни чего не напутал):
∀ɛ>0 → ∃N: n>N → |k — vn|<ɛ, где vn — вероятность за n попыток.
Перевод: для любого (сколь угодно малого) эпсилон больше нуля существует такое N, что при любом количестве попыток, больше N, вероятность отличается от k, не боле, чем на эпсилон.
Например, говоря «вероятность события при бесконечном числе попыток равна k» подразумевают «при числе попыток, стремящимся к бесконечности, вероятность стремится к k», или, что точнее (если я ни чего не напутал):
∀ɛ>0 → ∃N: n>N → |k — vn|<ɛ, где vn — вероятность за n попыток.
Перевод: для любого (сколь угодно малого) эпсилон больше нуля существует такое N, что при любом количестве попыток, больше N, вероятность отличается от k, не боле, чем на эпсилон.
В этом топике почему-то все хотят найти вероятность именно за бесконечное, но при этом счетное число попыток. Попытки объяснить, что нужно рассматривать предел при конечном сколь угодно большом числе попыток наталкиваются на полное непонимание.
Имеют право. Можно попробовать рассмотреть задачу и в этой постановке, хотя, скорее всего, она не решится.
Чему равна вероятность того, что случайно выбранное число попадёт в множество Витали? 0 или «нет такого числа»?
Имеют право. Можно попробовать рассмотреть задачу и в этой постановке, хотя, скорее всего, она не решится.
Чему равна вероятность того, что случайно выбранное число попадёт в множество Витали? 0 или «нет такого числа»?
Чему равна вероятность того, что случайно выбранное число попадёт в множество Витали? 0 или «нет такого числа»?
Я уже запутался в этих множествах. Что за «множество Витали»?
Я только помню, что Вась "континуум".
Множество Витали — это такое множество действительных чисел, что разность любых двух его элементов иррациональна, но для любого действительного X найдется элемент Y из множества Витали, что X-Y рационально. Может пригодиться в случае, когда спичка ломается только в рациональных точках.
Я имел ввиду разницу между точкой и бесконечно малым отрезком.
Если разделить отрезок на бесконечно малые отрезки, то сложив их длины можно получить обратно исходный отрезок. И ненулевая вероятность попадания в каждый из них позволит построить график распределения вероятности, которое может быть не равномерным, а гауссовым например. А точка же — отрезок нулевой длинны и у нее нет «соседних» точек, точки нельзя сложить, чтобы получить отрезок, и по ним также нельзя построить график распределения, поскольку он равен нулю в любой точке, то есть само понятие равномерного распределения для точек не имеет смысла.
Если взять интегральную функцию, не помню как точно называется — вероятность попасть ниже x, ака определенный интеграл от 0 до х, то если ее оценивать по равномерному распределению, то она будет возрастать на вероятность попасть во взятую область, при равномерном распределении до 0.1 — 10%, 0.1 — 0.2 — еще 10%, и т.д. Это с отрезками. А с точками такая функция опять как то непонятно как себя ведет. В любой точке этой функции вероятность ноль, не бесконечно малое число dx, а именно ноль, то есть интегральная функция эти нули накапливая не должна накапливаться и расти, а она растет.
Вобщем то это пространные рассуждения, я просто никак не могу понять, почему случаются события с нулевой вероятностью. Если они произошли, значит вероятность должна быть ненулевой, хоть и сколь угодно малой. Но это не ради спора, просто вот такое у меня невежественное понятие о теории вероятности, и никак в голове не укладывается, что оно может быть неверным.
Если разделить отрезок на бесконечно малые отрезки, то сложив их длины можно получить обратно исходный отрезок. И ненулевая вероятность попадания в каждый из них позволит построить график распределения вероятности, которое может быть не равномерным, а гауссовым например. А точка же — отрезок нулевой длинны и у нее нет «соседних» точек, точки нельзя сложить, чтобы получить отрезок, и по ним также нельзя построить график распределения, поскольку он равен нулю в любой точке, то есть само понятие равномерного распределения для точек не имеет смысла.
Если взять интегральную функцию, не помню как точно называется — вероятность попасть ниже x, ака определенный интеграл от 0 до х, то если ее оценивать по равномерному распределению, то она будет возрастать на вероятность попасть во взятую область, при равномерном распределении до 0.1 — 10%, 0.1 — 0.2 — еще 10%, и т.д. Это с отрезками. А с точками такая функция опять как то непонятно как себя ведет. В любой точке этой функции вероятность ноль, не бесконечно малое число dx, а именно ноль, то есть интегральная функция эти нули накапливая не должна накапливаться и расти, а она растет.
Вобщем то это пространные рассуждения, я просто никак не могу понять, почему случаются события с нулевой вероятностью. Если они произошли, значит вероятность должна быть ненулевой, хоть и сколь угодно малой. Но это не ради спора, просто вот такое у меня невежественное понятие о теории вероятности, и никак в голове не укладывается, что оно может быть неверным.
Продолжая мысль — согласно классическому определению вероятности, она равна отношению удачных опытов к общему количеству опытов. Вероятность попадания в любую из точек ноль, но мы тыкаем наугад и попадаем в одну из них. После чего тыкаем еще бесконечное количество раз и не попадаем больше в нее. Согласно классическому определению, вероятность попадания в эту точку была 1/n, что не равно нулю, а стремящаяся к нулю величина. Что противоречит исходному «вероятность попасть в точку равна нулю». Вопрос — где же противоречие. И далее просьба — дайте пожалуйста определение термина «вероятность». Что представляет из себя получившийся в ответе ноль.
Вот дострелить до летящего аэробуса из детской рогатки вероятность ноль — это событие невозможно и оно никогда не случается в пределах модели. А вот попасть в точку вероятность ноль, но это событие с нулевой вероятностью происходит. Причем это «событие с нулевой вероятностью» происходит со стопроцентной вероятностью, такой вот каламбурчик получился. При каждой попытке мы попадаем в точку, вероятность попасть в которую ноль. Чего я собственно и не могу понять.
Вот дострелить до летящего аэробуса из детской рогатки вероятность ноль — это событие невозможно и оно никогда не случается в пределах модели. А вот попасть в точку вероятность ноль, но это событие с нулевой вероятностью происходит. Причем это «событие с нулевой вероятностью» происходит со стопроцентной вероятностью, такой вот каламбурчик получился. При каждой попытке мы попадаем в точку, вероятность попасть в которую ноль. Чего я собственно и не могу понять.
Вероятность события, которое уже произошло, всегда равна единице. Это не зависит от того, каковы была вероятность этого события до того, как оно произошло.
Но в общем случае да, «ноль» и «стремящееся к нулю» — не одно и то же.
Ноль — число.
«стремящееся к нулю» — последовательность.
При этом стремящаяся к нулю последовательность может не содержать ноль. Например последовательность 1/n, где n ∈ ℕ, стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности: ∀ɛ>0 -> ∃N (N∈ℕ): n>N → 1/n < ɛ.
При этом последовательность 1/n ноль не содержит.
Ноль — число.
«стремящееся к нулю» — последовательность.
При этом стремящаяся к нулю последовательность может не содержать ноль. Например последовательность 1/n, где n ∈ ℕ, стремится к нулю при n стремящемся к бесконечности: ∀ɛ>0 -> ∃N (N∈ℕ): n>N → 1/n < ɛ.
При этом последовательность 1/n ноль не содержит.
Сломать спичку пополам (как и разделить что-либо) означает, что две получившиеся части будут равны и при наложении их друг на друга, все их углы и грани будут совпадать.
По вашему решению получается, что сколько спички не ломай, да и любые другие предметы не дели, равенства не добиться. Но ведь это не так :)
Хотя сама идея утопичности равенства не нова :)
По вашему решению получается, что сколько спички не ломай, да и любые другие предметы не дели, равенства не добиться. Но ведь это не так :)
Хотя сама идея утопичности равенства не нова :)
Статьи по физике и математике на Хабре особенно прекрасны своими комментариями, пока их читаешь — постоянно приходится дергать гугл и википедию, зато узнаешь для себя много нового :)
Спасибо комментаторам!
Спасибо комментаторам!
Рассмотрим модель, в которой места деления спичек рациональны (то есть их счетное количество), а число ломаемых спичек так же счетно. Решение для этого случая уже приведено — вероятность неопределена, поскольку разными способами получается разная.
Применим идею автора. Выберем любое число d из интервала (0,1) и обозначим через c величину ln (1-d). Теперь начнем раскрашивать спички.
Оригинальное решение требовало длин раскрашенных отрезков 1-ec/2, 1-ec/4, 1-ec/8 и т.д., но сейчас мы можем красить только рациональные отрезки. Поэтому выберем любую последовательность длин отрезов {li}, такую что li < 1 — ec/(2^i). Теперь подсчитаем общую вероятность попасть точкой разлома в закрашенный отрезок, и, вуяля, она так же оказывается меньше любого наперед заданного d. Таким образом, мы доказали, что ответ — 0.
Где же ошибка (мы же знаем, что ответа не существует)? А ошибка в том, что мы начинаем оценивать вероятность и даже строить предположения вокруг нее, даже не зная, существует ли она.
К чему я это все пишу? К тому, что данная ошибка присутствует также и в авторском решении. Автор (я имею в виду Sirion, а не Л. Кэррола) показал, что вероятность может быть равна только 0, если она вообще определена, но сам факт существования ответа доказан не был, так что решение неполное (в лучшем случае).
Применим идею автора. Выберем любое число d из интервала (0,1) и обозначим через c величину ln (1-d). Теперь начнем раскрашивать спички.
Оригинальное решение требовало длин раскрашенных отрезков 1-ec/2, 1-ec/4, 1-ec/8 и т.д., но сейчас мы можем красить только рациональные отрезки. Поэтому выберем любую последовательность длин отрезов {li}, такую что li < 1 — ec/(2^i). Теперь подсчитаем общую вероятность попасть точкой разлома в закрашенный отрезок, и, вуяля, она так же оказывается меньше любого наперед заданного d. Таким образом, мы доказали, что ответ — 0.
Где же ошибка (мы же знаем, что ответа не существует)? А ошибка в том, что мы начинаем оценивать вероятность и даже строить предположения вокруг нее, даже не зная, существует ли она.
К чему я это все пишу? К тому, что данная ошибка присутствует также и в авторском решении. Автор (я имею в виду Sirion, а не Л. Кэррола) показал, что вероятность может быть равна только 0, если она вообще определена, но сам факт существования ответа доказан не был, так что решение неполное (в лучшем случае).
Как говорил Фрейд, «иногда отрезок — это просто отрезок». Раз пошла такая пьянка, почему не предположить, что спичка ломается только по точкам, принадлежащим множеству Кантора на ней?
Когда математическая задача формулируется как сюжетная, всегда подразумевается некая дефолтная математическая интерпретация. И найти её не составляет труда ни для кого — кроме тех, кто специально отказывается её замечать.
Когда математическая задача формулируется как сюжетная, всегда подразумевается некая дефолтная математическая интерпретация. И найти её не составляет труда ни для кого — кроме тех, кто специально отказывается её замечать.
К чему вы это? Я согласен с вашей «дефолтной» интерпретацией (спичка — континуум, число спичек счетно), но в решении есть логическая ошибка (предположение существования без доказательства). Для того, чтобы показать необходимость явного доказательства существования, я очевидно-неправильно решил другую задачу.
Я понимаю, тут тлеют пять холиваров на одну и ту же тему, и вы уже устали их читать. Но все-таки я прошу прочесть мое сообщение целиком. Это можно сделать завтра, если сегодня вы устали :)
Я понимаю, тут тлеют пять холиваров на одну и ту же тему, и вы уже устали их читать. Но все-таки я прошу прочесть мое сообщение целиком. Это можно сделать завтра, если сегодня вы устали :)
А ошибка в том, что мы начинаем оценивать вероятность и даже строить предположения вокруг нее, даже не зная, существует ли она.
Если кто-то сомневается в этом утверждении на общематематическом, философском или каком другом уровне, приведу простой и прозрачный пример.
Пусть числовой ряд
A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... Просуммируем его, не задумываясь, а сходится ли он.С одной стороны
A = (1 - 1) + (1 - 1) + (1 - 1) + ... = 0 + 0 + 0 + ... = 0.С другой стороны
A = 1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + ... = 1 + 0 + 0 + 0 + ... = 1.Ой.
Но этот пример не такой впечатляющий, каким бы мог быть. Наш ряд A не сходится ни абсолютно, ни условно. Известно, что необходимым (но не достаточным!) условием сходимости ряда является нулевой предел его общего члена. Предел общего члена ряда A не только не нулевой — его не существует вовсе (верхний предел 1, нижний предел -1 — они не совпадают). Вобщем, сплошное безобразие.
Пример получше: пусть числовой ряд
B = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ... Он сходится* (например, по критерию Лейбница), но условно, так как ряд из модулей его членов B' = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 +… расходится — это гармонический ряд. Возможно, кто-то позабыл со студенческой скамьи о замечательной теореме Римана об условно сходящихся рядах, и я смогу кого-то позабавить. Прошу.* его сумма — ln(2). Это можно понять, вспомнив разложение ln(1 + x) в ряд Маклорена.
Так что по крайне мере в том, что прежде, чем что-то считать, следует убедиться, что это что-то существует, mayorovp чертовски прав. Не будет лишним и усилить утверждение: а убедившись в существовании, нужно внимательно проанализировать, а какие манипуляции в процессе расчета допустимы, а какие нет.
Замечание дельное, о существовании вообще вероятности такого события как перелом спички пополам.
Но позвольте и мне немножко затейливого занудства ))
В исходной задаче как-никак говорилось именно о спичках, которые ломает человек — об объектах реального физического мира, их взаимодействии и результатах таких взаимодействий.
В данном контексте, можно с уверенностью говорить: в чётком математическом смысле спичку как ни сломай, её куски не окажутся константно половинами. Пусть даже не будем смотреть на особенности половинок — деревянная или с головкой, а возьмём только длину.
Дело в том что из-за броуновского движения атомов, длины каждой из «половин» являются неконстантными функциями от времени. Это раз.
— т.е.: две чуть-чуть-не-половинки в какие-то из моментов времени оказываться чуть-чуть-более-не-половинками, а в какие-то моменты времени становиться точно половинками.
Второе — само понятие атома и его компонент, элементарных частиц, предполагает применение квантовой механики. К слову, в контексте этого раздела физики, вероятности очень даже в почёте.
— т.е.: длина куска спички не есть число L, а есть функция L(*) с соответствующим распределением вероятности; в таком контексте равенство половинок является также вероятностной функцией EQ(L1,L2), получающейся пересечением функций длин «половинок» L1(*) и L2(*).
В итоге:
Получаем что у данной задачи ответ не равен нулю, а определяется из известных законов термодинамики и квантовой механики и на самом деле чуть больше чем 0.
Можно предположить, что искомая вероятность близка к нулю с точки зрения человеческой практики.
[ и смайлик в конце! ] :)
________
PS:
Если ж задаться вопросом, что человек называет половиной, то можно влезть в такие дебри, что не скоро вылезешь )) Взять хотя бы то, что мы называем полкирпича ;) Из того же разряда в привычках хомо-сапиенса называть доску длиной 6,1204721… метра шестиметровой.
Определить, половина получилась спички или не половина он сможет прямо сходу, но… не совсем оправдывая ожидаемого математиком результата =)
Но позвольте и мне немножко затейливого занудства ))
В исходной задаче как-никак говорилось именно о спичках, которые ломает человек — об объектах реального физического мира, их взаимодействии и результатах таких взаимодействий.
В данном контексте, можно с уверенностью говорить: в чётком математическом смысле спичку как ни сломай, её куски не окажутся константно половинами. Пусть даже не будем смотреть на особенности половинок — деревянная или с головкой, а возьмём только длину.
Дело в том что из-за броуновского движения атомов, длины каждой из «половин» являются неконстантными функциями от времени. Это раз.
— т.е.: две чуть-чуть-не-половинки в какие-то из моментов времени оказываться чуть-чуть-более-не-половинками, а в какие-то моменты времени становиться точно половинками.
Второе — само понятие атома и его компонент, элементарных частиц, предполагает применение квантовой механики. К слову, в контексте этого раздела физики, вероятности очень даже в почёте.
— т.е.: длина куска спички не есть число L, а есть функция L(*) с соответствующим распределением вероятности; в таком контексте равенство половинок является также вероятностной функцией EQ(L1,L2), получающейся пересечением функций длин «половинок» L1(*) и L2(*).
В итоге:
Получаем что у данной задачи ответ не равен нулю, а определяется из известных законов термодинамики и квантовой механики и на самом деле чуть больше чем 0.
Можно предположить, что искомая вероятность близка к нулю с точки зрения человеческой практики.
[ и смайлик в конце! ] :)
________
PS:
Если ж задаться вопросом, что человек называет половиной, то можно влезть в такие дебри, что не скоро вылезешь )) Взять хотя бы то, что мы называем полкирпича ;) Из того же разряда в привычках хомо-сапиенса называть доску длиной 6,1204721… метра шестиметровой.
Определить, половина получилась спички или не половина он сможет прямо сходу, но… не совсем оправдывая ожидаемого математиком результата =)
Смотрю я на ваш комментарий, и думаю: где-то я уже что-то такое видел. Аааа! Вот оно.
Извините конечно, но какого черта вы приперлись со своим физическим смыслом в формальную математическую дискуссию? Вы не правы с самого первого предложения:
Ну и зачем вы, даже не разобравшись в том, что я написал, отвечаете простыней на весь экран?
Замечание дельное, о существовании вообще вероятности такого события как перелом спички пополам.Так вот, мое замечание было не об этом.
Ну и зачем вы, даже не разобравшись в том, что я написал, отвечаете простыней на весь экран?
Автор (я имею в виду Sirion, а не Л. Кэррола) показал, что вероятность может быть равна только 0, если она вообще определена, но сам факт существования ответа доказан не был, так что решение неполное (в лучшем случае).
— не находите противоречий самому себе? =)
Вот те раз, мало того что на личности перешли)) так ещё и телепатия, — оказывается я не разобрался в написанном) Ну куда уж нам, до демиургов мысли то )))
Но в одном вы точно правы — если спорят математики, лучше их не трогать. Даже подходом с позиций творческого юмора. :)
отличие теоретика от практика — у теоретика точка бесконечно мала и стремиться к нулю, у практика точка имеет разумные пределы :-)
Подойдем к задаче с точки зрения практика: спичка имеет такое интересное свойство, как волокнистость. => место разлома будет не плоскость, а ломаная с некоторым dt, зависящим от качества материала. Определим середину, как плоскость, делящую спичку ровно пополам. Определим качество материала как 1 — идеальное (dt=0) и 0 — неидеально (dt=длине спички(от места разлома всегда отходит щепка))
Отсюда 6(шесть) решений: 1)слом точки посередине — ломаная разлома проходит через плоскость середины.
при dt стремящемся к 1, вероятность стремиться к нулю.
при dt стремящимся к 0,5 вероятность стремиться к 1 — 1/e. (классическое разбиение на отрезки)
при dt стремящемся к 0, вероятность стремиться к бесконечности.
2)слом точки посередине — плоскость разлома идеально совпадает с плоскостью, проходящей через середину
при dt стремящемся к 1, вероятность стремиться к 1 — 1/n, где n — толщина молекулы.
при dt стремящемся к 0.5 вероятность стремится к нулю.
при dt стремящемся к 0, вероятность равна нулю :-)
И это я еще не определил инструменты, которыми ломается спичка… если в тисках, да молотом — то вероятность ровно 1, как бы мы ни определяли середину и качество материала. :-)
Подойдем к задаче с точки зрения практика: спичка имеет такое интересное свойство, как волокнистость. => место разлома будет не плоскость, а ломаная с некоторым dt, зависящим от качества материала. Определим середину, как плоскость, делящую спичку ровно пополам. Определим качество материала как 1 — идеальное (dt=0) и 0 — неидеально (dt=длине спички(от места разлома всегда отходит щепка))
Отсюда 6(шесть) решений: 1)слом точки посередине — ломаная разлома проходит через плоскость середины.
при dt стремящемся к 1, вероятность стремиться к нулю.
при dt стремящимся к 0,5 вероятность стремиться к 1 — 1/e. (классическое разбиение на отрезки)
при dt стремящемся к 0, вероятность стремиться к бесконечности.
2)слом точки посередине — плоскость разлома идеально совпадает с плоскостью, проходящей через середину
при dt стремящемся к 1, вероятность стремиться к 1 — 1/n, где n — толщина молекулы.
при dt стремящемся к 0.5 вероятность стремится к нулю.
при dt стремящемся к 0, вероятность равна нулю :-)
И это я еще не определил инструменты, которыми ломается спичка… если в тисках, да молотом — то вероятность ровно 1, как бы мы ни определяли середину и качество материала. :-)
Вы не поняли условие задачи.
Но ваш комментарий не бесполезен! Я, например, теперь буду знать, что «у практиков» вероятность некоторого случайного события может превышать единицу:
при dt стремящемся к 0, вероятность стремиться к бесконечности
Нет, это ВЫ не поняли мой комментарий.
Автор ввел всего одно дополнительное условие в исходную задачу и убил ее нахрен. Я ввел еще одно условие — и возродил ее. И показал, что таких условий можно вводить до и больше. => любое введенное условие должно давать осмысленный результат.
Автор ввел всего одно дополнительное условие в исходную задачу и убил ее нахрен. Я ввел еще одно условие — и возродил ее. И показал, что таких условий можно вводить до и больше. => любое введенное условие должно давать осмысленный результат.
Я подумал над комментариями относительно существования оной вероятности. Действительно, это серьёзная проблема, которую я сходу не заметил.
Если пытаться «в лоб» построить вероятностное пространство, в котором имеет смысл говорить о такой вероятности, то возникает проблема, собственно, с мерой. Кажется, задать подходящую сигма-аддитивную меру в счётномерном единичном кубе не так просто, как мне хотелось бы.
С другой стороны, можно определить вероятность события при бесконечном ломании спичек как предел этой вероятности для ломания эн спичек при эн, стремящемся сами знаете куда. Тогда всё становится совершенно очевидным, и моё решение под спойлером больше не требуется.
Если пытаться «в лоб» построить вероятностное пространство, в котором имеет смысл говорить о такой вероятности, то возникает проблема, собственно, с мерой. Кажется, задать подходящую сигма-аддитивную меру в счётномерном единичном кубе не так просто, как мне хотелось бы.
С другой стороны, можно определить вероятность события при бесконечном ломании спичек как предел этой вероятности для ломания эн спичек при эн, стремящемся сами знаете куда. Тогда всё становится совершенно очевидным, и моё решение под спойлером больше не требуется.
Не обязательно столь упрощать и играть с определением вероятности. Вот в этом комментарии habrahabr.ru/post/167041/#comment_5773853 Alex222 написал идею решения, но не довел его до конца. Сделаю-ка я лучше это за него.
Раз уж мы перешли от спичек к отрезкам, то можно переформулировать задачу, оставив лишь один отрезок, на который «падает» счетное множество точек разлома, и требуется определить вероятность накрытия середины. Интуитивно чувствуется, что это 0, но покажем это строго.
Целевая точка (середина) на отрезке ничем не отличается от остальных (при условии равномерного распределения точек разлома), потому ее можно так же принять случайной (если данный переход не очевиден, его можно доказать при помощи индикаторных случайных величин). Теперь у нас есть случайные множество точек и целевая точка.
Применим обратный переход, но на этот раз к множеству, «падающему» на отрезок. Все точки отрезка одинаковы, а потому от самого множества ничего и не зависит. Зафиксируем множество, приняв его любым (для конкретики, пусть это будет множеством рациональных чисел). Осталась задача: какова вероятность того, что случайная точка на отрезке рациональна? Ответ — нулевая.
Как мне кажется, решение получилось достаточно «на пальцах», без забирания в глубины теории множеств или теории меры.
Раз уж мы перешли от спичек к отрезкам, то можно переформулировать задачу, оставив лишь один отрезок, на который «падает» счетное множество точек разлома, и требуется определить вероятность накрытия середины. Интуитивно чувствуется, что это 0, но покажем это строго.
Целевая точка (середина) на отрезке ничем не отличается от остальных (при условии равномерного распределения точек разлома), потому ее можно так же принять случайной (если данный переход не очевиден, его можно доказать при помощи индикаторных случайных величин). Теперь у нас есть случайные множество точек и целевая точка.
Применим обратный переход, но на этот раз к множеству, «падающему» на отрезок. Все точки отрезка одинаковы, а потому от самого множества ничего и не зависит. Зафиксируем множество, приняв его любым (для конкретики, пусть это будет множеством рациональных чисел). Осталась задача: какова вероятность того, что случайная точка на отрезке рациональна? Ответ — нулевая.
Как мне кажется, решение получилось достаточно «на пальцах», без забирания в глубины теории множеств или теории меры.
С другой стороны, можно определить вероятность события при бесконечном ломании спичек как предел этой вероятности для ломания эн спичек при эн, стремящемся сами знаете куда. Тогда всё становится совершенно очевидным, и моё решение под спойлером больше не требуется.
Проведите, пожалуйста, полное рассуждение. То, которое сейчас у вас скрывается под словом «очевидно».
Для любого конечного числа спичек вероятность равна 0.
Предел последовательности из нулей, очевидно, равен 0
Предел последовательности из нулей, очевидно, равен 0
Для всякого конечного n вероятность, что из n спичек хотя бы одна сломается пополам, равна нулю. Предел последовательности из одних нулей равен нулю. Кажется, «очевидно» — как раз про этот случай.
upd: впредь буду обновлять комментарии перед отправкой своего.
upd: впредь буду обновлять комментарии перед отправкой своего.
Я верно понимаю, что и bay73, и вы моделируете спичку отрезком рациональных чисел? Иначе говоря, считаете, что спичка имеет счетное число точек, в которых возможен излом? Также предполагаете, что спички идентичны. Всё верно?
Нет, неверно.
На отрезке континуум точек, а не счетное число.
Впрочем, в данном случае это не важно.
На отрезке континуум точек, а не счетное число.
Впрочем, в данном случае это не важно.
Во-первых, я не вас спрашиваю. Во-вторых, на отрезке рациональных чисел точек счетное число, а не континуум. Континуум точек на вещественном отрезке. В-третьих, это важно.
Я задал вопрос к комментарию http://habrahabr.ru/post/167041/#comment_5783417. Это несложно понять по расположению моего вопроса. В этом комментарии нет слова «рациональных» — это несложно заметить, прочтя его. Я ответил ваш вопрос? А я для вас еще раз отдельно замечу — вопрос был адресован Sirion и bay73, а не вам.
… а тот комментарий, в свою очередь, был ответом на habrahabr.ru/post/167041/#comment_5782579, что столь же «несложно» понять по его расположению. И, как я считаю, я имею право участвовать в той дискуссии, которую я же и начал.
Но, если вы не желаете меня слушать — я больше отвечать вам не буду.
Но, если вы не желаете меня слушать — я больше отвечать вам не буду.
И, как я считаю, я имею право участвовать в той дискуссии, которую я же и начал.
Это немножко странное мнение. Допустим, вы — организатор конференции по какой-либо теме. Вы на этом основании имеете право беспардонно влезть в разговор любых её участников? Другой пример. Вы пригласили друзей на свой день рождения. Аналогичный вопрос — вы можете вмешаться в чью угодно беседу? Не думаю.
Дваждую вопрос. Рациональное множество возможных разломов упоминалось как экзотическая интерпретация, и довольно быстро было показано, что эта интерпретация плохая. При чём здесь я и bay73, скажите?
Как вы верно подметили, в этом комментарии не было слова «рациональных». И не подразумевалось. И не должно было быть.
Как вы верно подметили, в этом комментарии не было слова «рациональных». И не подразумевалось. И не должно было быть.
Если вы моделируете спичку вещественным отрезком, то тогда мне не ясно, какие у вас трудности возникли с построением вероятностного пространства — его за вас давно построили, в частности, Лебег и Колмогоров. Я это уже подробно обсуждал здесь (см. текст 6-ого абзаца).
И еще, расскажите, пожалуйста, как вы пришли к конструкции «счетно-мерного единичного куба»
И еще, расскажите, пожалуйста, как вы пришли к конструкции «счетно-мерного единичного куба»
Бесконечная серия опытов по разламыванию спички — это, по сути, точка в счётномерном единичном кубе. Соответственно, для построения вероятностного пространства нам потребуется конечная счётно-аддитивная мера на какой-нибудь подходящей сигма-алгебре подмножеств этого куба, причём всё это счастье должно расширять конечный случай.
Если вы знаете, как строится соответствующее вероятностное пространство, будьте любезны, угостите меня ссылкой.
Если вы знаете, как строится соответствующее вероятностное пространство, будьте любезны, угостите меня ссылкой.
Уже угостил. Поясню п. 1) по этой ссылке. Один опыт по разламыванию спички — это одна точка на вещественном единичном отрезке. Счетное число опытов — это не более чем счетное число точек на вещественном единичном отрезке.
Ах, это… это я читал, да. Сначала оно мне показалось интересным подходом. Потом стало казаться подходом крайне сомнительным. Зафиксировать множество пи пытаться попасть в него точкой — это не то же самое, что зафиксировать точку и пытаться накрыть её множеством.
Как вообще считается вероятность накрытия точки случайным множеством некоторого класса? Не поделитесь теоретическими сведениями?
Как вообще считается вероятность накрытия точки случайным множеством некоторого класса? Не поделитесь теоретическими сведениями?
Зафиксировать множество пи пытаться попасть в него точкой — это не то же самое, что зафиксировать точку и пытаться накрыть её множеством.
Никто не пытается попасть в точку 0.5. Потому что попытки случайны. Нет никакой разницы — набросать на отрезок случайных точек, а затем отметить «черточкой» на нем 0.5, или сначала отметить 0.5, а потом набросать случайных точек. Я утрирую, конечно, но что же вас смущает?
Смущает нестрогость. У вас же, по сути, получается совсем другое вероятностное пространство, в котором элементарное событие — выбор некоторого подмножества, а случайное событие — выбор некоторого подмножества из некоторого подмножества подмножеств (например, среди подмножеств, содержащих точку 0.5). Всё это кажется мне… скажем так, требующим более детального исследования и соответствующего формального обоснования.
я прокомментирую
(давайте, кстати, уже в одно место переедем)
и вот это еще:
Вы понимаете, что таким образом вы моделируете всю задачу одной точкой в счетно-мерном кубе? И считать вам надо не меру множества точек, у которых хотя бы одна координата 1/2, а вероятность того, что эта единственная точка имеет хотя бы одной координатой 1/2? Не пробегайте это замечание по диагонали, пожалуйста, оно существенно.
Соответственно в этом кубе можно выделить множество точек у которых хотя бы одна из координат равна 1/2. Тогда искомой вероятностью можно считать меру этого множества.
(давайте, кстати, уже в одно место переедем)
и вот это еще:
Для двух опытов исход это не две точки в вещественном отрезке, а одна, но в квадрате. Для трех — это точка в кубе… Одномерным пространством здесь не обойтись.
Вы понимаете, что таким образом вы моделируете всю задачу одной точкой в счетно-мерном кубе? И считать вам надо не меру множества точек, у которых хотя бы одна координата 1/2, а вероятность того, что эта единственная точка имеет хотя бы одной координатой 1/2? Не пробегайте это замечание по диагонали, пожалуйста, оно существенно.
не меру множества точек, у которых хотя бы одна координата 1/2
а вероятность того, что эта единственная точка имеет хотя бы одной координатой 1/2
А где разница? Мера и вероятность — он как Ленин и партия. Говорим одно — автоматически подразумеваем другое.
Еще раз. Точка одна. Меру чего вы собираетесь мерить?
Меру множества точек, у которых хотя бы одна из координат 1/2. Вероятность того, что наугад выбранная точка из куба попадёт в это множество, равна мере этого множества. Что с вами? Вы нездоровы?
habrahabr.ru/post/167041/#comment_5784487
Давайте вы не будете спрашивать меня про здоровье. Держите себя в руках.
Давайте вы не будете спрашивать меня про здоровье. Держите себя в руках.
Конечно, незачем так злиться. Но вы пишете странные вещи. Напомню: вероятностное пространство суть некое несущее множество (множество элементарных событий), сигма-алгебра его подмножеств (событий) и конечная счётно-аддитивная мера, которая и определяет вероятность.
В нашем случае несущее множество — это счётномерный единичный куб. Точка в нём — это элементарное событие. Каждая координата точки соответствует результату ломания одной соответствующей спички.
Событие «хотя бы одна спичка сломалась пополам» соответствует подмножеству точек, у которых хотя бы одна координата равна 0.5. Значит, нам нужна сигма-алгебра, включающая это подмножество, и мера на ней. В частности, нам нужно научиться находить меру этого подмножества.
В нашем случае несущее множество — это счётномерный единичный куб. Точка в нём — это элементарное событие. Каждая координата точки соответствует результату ломания одной соответствующей спички.
Событие «хотя бы одна спичка сломалась пополам» соответствует подмножеству точек, у которых хотя бы одна координата равна 0.5. Значит, нам нужна сигма-алгебра, включающая это подмножество, и мера на ней. В частности, нам нужно научиться находить меру этого подмножества.
Хм… Кажется, я вас понял.
Если бы куб был конечномерен, было бы ясно, как выглядит такое множество — это объединение всех гиперплоскостей вида xi = 1/2 (i от 1 до n, где n — размерность пространства). На конечномерном кубе можно было бы ввести обычную меру Лебега (n-мерную). Мера гиперплокости, пересеченной с кубом — известная задача — во-первых, такое множество измеримо, во-вторых, мера 0. Гиперплоскостей у нас n, потому и мера их объединения — во-первых определена, во-вторых 0. При переходе к счетно-мерному кубу счетное объединение «гиперплоскостей» не пугает, мера, если нам удастся ее ввести, счетно-аддитивна. Проблемы — как ввести такую меру и чему в ней равна мера «гиперплоскости» (в кавычки беру из того соображения, что гиперплоскость по определению — афинное многообразие размерности n — 1. Если n — кардинал счетного множеста, становится не очень понятно, что такое гиперплоскость...)
Если бы куб был конечномерен, было бы ясно, как выглядит такое множество — это объединение всех гиперплоскостей вида xi = 1/2 (i от 1 до n, где n — размерность пространства). На конечномерном кубе можно было бы ввести обычную меру Лебега (n-мерную). Мера гиперплокости, пересеченной с кубом — известная задача — во-первых, такое множество измеримо, во-вторых, мера 0. Гиперплоскостей у нас n, потому и мера их объединения — во-первых определена, во-вторых 0. При переходе к счетно-мерному кубу счетное объединение «гиперплоскостей» не пугает, мера, если нам удастся ее ввести, счетно-аддитивна. Проблемы — как ввести такую меру и чему в ней равна мера «гиперплоскости» (в кавычки беру из того соображения, что гиперплоскость по определению — афинное многообразие размерности n — 1. Если n — кардинал счетного множеста, становится не очень понятно, что такое гиперплоскость...)
Именно. Мера в бесконечномерном пространстве — это нетривиальная штука.
Гиперплоскость — пространство коразмерности 1, множество решений f(x)=c, где f — линейная функция… Кавычки не нужны. Меру ввести тоже не проблема, по крайней мере до тех пор, пока наши гиперплоскости параллельны всем координатным осям, кроме конечного числа.
Ну… введите.
Мера параллелепипеда a_i<x_i<b_i равна произведению (b_i-a_i) по всем i (если оно определено). Мера цилиндра F(x_1,...x_k)<0 равна мере множества F(x_1...x_k)<0 в k-мерном пространстве (если оно измеримо). Дальше — по счетной аддитивности и неотрицательности. Наверняка, очень много множеств останется неизмеримыми, но мы к такому уже привыкли.
Счётная аддитивность, говорите? Вот, например, интересный момент: единичный куб состоит из множества точек, у которых хотя бы одна координата 1/2 (давайте уже назовём его как-нибудь. например, 0.5-множество) и континуума кубиков нулевого объёма.
С этим определением, насколько я помню, возникали всякие странные проблемы. Я не могу вспомнить их навскидку, прямо сейчас, но что-то там было очень грустно и неприятно.
С этим определением, насколько я помню, возникали всякие странные проблемы. Я не могу вспомнить их навскидку, прямо сейчас, но что-то там было очень грустно и неприятно.
А в чем проблема? Каждая гиперплоскость c_i лежит в параллелепипеде (1/2-eps/2^i)<=x_i<=(1/2+eps/2^i), мера которого равна 2*eps/2^i. Мера объединения всех этих параллелепипедов (их счётное число) не превосходит суммы их мер, т.е. 2*eps. Устремляя eps к нулю, получаем, что мера объединения исходных гиперплоскостей меньше любого положительного числа, т.е. равна нулю.
Если хотите точно определить меру этого объединения — это тоже несложно, она равна 1-(1-2*eps/2)*(1-2/eps/4)*(1-2*eps/8)*…, произведение сходится. Следует ли это напрямую из исходного определения, не знаю, но его можно обобщить до «мера декартова произведения любого количества конечномерных множеств равна произведению их мер».
Если хотите точно определить меру этого объединения — это тоже несложно, она равна 1-(1-2*eps/2)*(1-2/eps/4)*(1-2*eps/8)*…, произведение сходится. Следует ли это напрямую из исходного определения, не знаю, но его можно обобщить до «мера декартова произведения любого количества конечномерных множеств равна произведению их мер».
P.S. Разумеется, всё происходит в единичном кубе.
Это хорошо. Потому что можно попробовать ввести меру так же, как меру Лебега — сначала на полукольце ячеек, затем продолжив.
Давайте на минуту предположим, что (1 — 0)∞ = 1 (чтобы это ни значило). Тогда мера всего куба 1. Мера всякой ячейки, лишь конечное число сторон которой имеет длину меньшую 1, определяется хорошо: (bk1 — ak1)(bk2 — ak2)...(bkn — akn)(1 — 0)∞, где ki — набор из n координат, по которым стороны ячейки имеют длину, меньшую 1. Если ячейка имеет счетное число сторон, длины которых меньше 1, ее мера = 0. Я надеюсь, идея ясна, строгость пока отложим — иначе я не договорю никогда.
Положим пока без проверок, что стандартное продолжение так введенной на ячейках меры — действительно мера. Тогда каждая гиперплоскость измерима (банально как ячейка), мера 0, что, надеюсь, можно доказать точно так же, как в случае с мерой Лебега — получить гиперплоскость как пересечение счетной убывающей последовательности ячеек. По непрерывности сверху положить меру пересечения как предел мер ячеек. Предел 0.
Ну а счетное объединение гиперплоскостей измеримо, дает меру 0, так как каждая — меры 0.
Что скажете? Имеет право на существование? Пробовать проверять все то, что надо проверять?
Давайте на минуту предположим, что (1 — 0)∞ = 1 (чтобы это ни значило). Тогда мера всего куба 1. Мера всякой ячейки, лишь конечное число сторон которой имеет длину меньшую 1, определяется хорошо: (bk1 — ak1)(bk2 — ak2)...(bkn — akn)(1 — 0)∞, где ki — набор из n координат, по которым стороны ячейки имеют длину, меньшую 1. Если ячейка имеет счетное число сторон, длины которых меньше 1, ее мера = 0. Я надеюсь, идея ясна, строгость пока отложим — иначе я не договорю никогда.
Положим пока без проверок, что стандартное продолжение так введенной на ячейках меры — действительно мера. Тогда каждая гиперплоскость измерима (банально как ячейка), мера 0, что, надеюсь, можно доказать точно так же, как в случае с мерой Лебега — получить гиперплоскость как пересечение счетной убывающей последовательности ячеек. По непрерывности сверху положить меру пересечения как предел мер ячеек. Предел 0.
Ну а счетное объединение гиперплоскостей измеримо, дает меру 0, так как каждая — меры 0.
Что скажете? Имеет право на существование? Пробовать проверять все то, что надо проверять?
Если бы всё было так, то, пожалуй, всё было бы хорошо.
Я пока напишу на специализированный форум. Может, там подскажут что-нибудь дельное.
Я пока напишу на специализированный форум. Может, там подскажут что-нибудь дельное.
Здорово. Обязательно поделитесь результатами! Уж разрешите сфамильярничать, во всем этом муровейнике наконец появилось что-то очень интересное. Зацепило, да.
Да, интересно. Хотя конечно-аддитивная мера на отрезке рациональных чисел меня заинтриговала больше. Там получается страшная конструкция, состоящая из цепочек вложенных друг в друга бесконечных множеств с пустым пересечением (в них прячутся потерянные вероятности). Но вряд ли я её додумаю до конца :)
Да, подцеплю замечание из комментариев рядом. Тут и правда получится континуум множеств, измеримых, но меры 0. И кубиков таких, да. Но может все же припомните, чему это мешало? на квадрате обычном тоже континуум отрезков, все меры 0. Ничему вроде не мешает.
Если ячейка имеет счетное число сторон, длины которых меньше 1, ее мера = 0.
Не обязательно. Если стороны — 2/3, 6/7, 14/15,… (т.е. (2^n-2)/(2^n-1)), то мера равна 1/2. Хотя все они меньше 1.
Я тоже не вижу разницы. Вот только с мерой в счетномерном кубе возникают проблемы… впрочем, мы можем взять сигма-алгебру, порожденную параллелепипедами, которые по всем координатам, кроме конечного числа, имеют проекцию [0,1] — может быть, что-нибудь получится. Я даже знаю, что — получится ноль.
Вы понимаете, что таким образом вы моделируете всю задачу одной точкой в счетно-мерном кубе?Одной точкой моделируется не вся задача, а один единственный исход для серии опытов. У этой точки много координать, соответствующих каждому из опытов.
Нет, вы снова попали в ту же ловушку.
Один опыт. Пусть исход x1. Отмечаем на отрезке точку x1.
Два опыта. Пусть исходы x1 и x2. Отмечаем на единичном квадрате точку с координатами (x1, x2).
Три опыта. Пусть исходы… Я думаю, ясно. Это именно то, что вы строите. Так вы получите одну точку в счетно-мерном единичном кубе.
Один опыт. Пусть исход x1. Отмечаем на отрезке точку x1.
Два опыта. Пусть исходы x1 и x2. Отмечаем на единичном квадрате точку с координатами (x1, x2).
Три опыта. Пусть исходы… Я думаю, ясно. Это именно то, что вы строите. Так вы получите одну точку в счетно-мерном единичном кубе.
Каждому исходу соответствует одна точка. А куб — это множество всех исходов.
Измеряя вероятность интересуются не одним исходом, а подмножеством «хороших» исходов — исходов удовлетворяющих требуемым критериям.
Для нашего случая это будет некое подмножество в кубе.
Измеряя вероятность интересуются не одним исходом, а подмножеством «хороших» исходов — исходов удовлетворяющих требуемым критериям.
Для нашего случая это будет некое подмножество в кубе.
И где противоречие? У нас есть подмножество «хороших» исходов, оно задано. И есть один исход, он случайный. И мы ищем вероятность того, что этот исход (точка) попадётв это множество. В случае единичного куба и равномерного распределения у нас вероятностное пространство изометрично построенному «пространству исходов» — тому самому единичному кубу. И вероятность совпадает с мерой множества хороших исходов.
Возьмем задачку поразнообразнее — вероятность того, что одно число из трёх попадет в отрезок [0,1/2].
Три опыта. Одна точка. В трёхмерном кубе. Мы ищем верояность того, что она попадёт в множество (x1<=1/2 & x2<=1/2 & x3<=1/2), т.е. в объединение трёх половинок куба. Эта вероятность равна 7/8. И мера (объём) объединения трёх половинок — тоже 7/8. Случайность? Не думаю, скорее, это просто определение равномерного распределения.
Три опыта. Одна точка. В трёхмерном кубе. Мы ищем верояность того, что она попадёт в множество (x1<=1/2 & x2<=1/2 & x3<=1/2), т.е. в объединение трёх половинок куба. Эта вероятность равна 7/8. И мера (объём) объединения трёх половинок — тоже 7/8. Случайность? Не думаю, скорее, это просто определение равномерного распределения.
Попробую объяснить, что смущает меня.
Для определения вероятности сначала надо понять с каким вероятностным пространством мы имеем дело. Для одного перелома спички пространство — единичный отрезок с вполне естественно определяемой мерой. Для нескольких независимых событий в качестве пространства принято брать соответствующее декартово произведение. Вы же упорно пытаетесь оперировать все тем же единичным отрезком. Да, мощности отрезка и декартового произведения отрезков совпадают, но вот меры там совсем разные.
Для определения вероятности сначала надо понять с каким вероятностным пространством мы имеем дело. Для одного перелома спички пространство — единичный отрезок с вполне естественно определяемой мерой. Для нескольких независимых событий в качестве пространства принято брать соответствующее декартово произведение. Вы же упорно пытаетесь оперировать все тем же единичным отрезком. Да, мощности отрезка и декартового произведения отрезков совпадают, но вот меры там совсем разные.
Счетное число опытов — это не более чем счетное число точек на вещественном единичном отрезке.
Для двух опытов исход это не две точки в вещественном отрезке, а одна, но в квадрате. Для трех — это точка в кубе… Одномерным пространством здесь не обойтись.
О, только что возникли мои же три строчки, только куда детальнее — habrahabr.ru/post/167041/#comment_5784229
По ссылке, которую я вам дал, пятым абзацем сформулирована
А шестым — решена.
По ссылке, которую я вам дал, пятым абзацем сформулирована
задача: какова вероятность того, что случайная точка на отрезке рациональна?(ну почти. Я поставил задачу чуть более сильную)
А шестым — решена.
Ответ — нулевая.Вовсе не так очевиден и требует обоснования.
Да, я читал ваши три строчки, но споткнулся еще на лебеговской σ-алгебре (построенной как борелевская оболочка объединения полукольца ячеек на вещественной прямой и множества множеств меры нуль относительно внешней меры, построенной по классическому объему). К сожалению, на кафедре ЭВМ не так хорошо преподают математику, как я когда-то мечтал.
Мне было проще додумать за Alex222, чем изучать высшие разделы высшей математики…
Мне было проще додумать за Alex222, чем изучать высшие разделы высшей математики…
«Ответ — нулевая.» Вовсе не так очевиден и требует обоснования.Да, он не так очевиден, но эта задача уже ни раз рассматривалась, в том числе в комментариях выше.
И еще, расскажите, пожалуйста, как вы пришли к конструкции «счетно-мерного единичного куба»
Пространство событий при котором «ломке» подлежит счетное число спичек (каждая спичка счтается единичным вещественным отрезком) моделируется счетномерным единичным кубом. Каждой точке с куба координатами (Xi) соответствует событие при котором i-ая спичка переломана в точке Xi.
Соответственно в этом кубе можно выделить множество точек у которых хотя бы одна из координат равна 1/2. Тогда искомой вероятностью можно считать меру этого множества.
Upd. На этот раз я продублировал ответ Sirion
Раз уж меня упомянули в вопросе, то попробую и со своей стороны отметить, что рассматриваю спичку, как единичный отрезок вещественной оси. То есть солидарен с позицией Sirion.
Что вы тогда думаете по поводу куда более современного построения теории вероятностей на основе теории меры (речь об аксиоматике Колмогорова)? Ваши две короткие строки доказательства, на самом деле, верны, но ооооочень многое предполагают неявно. Фактически, вы назвали
6) мера Лебега не более, чем счетного множества равна нулю (как не более, чем счетного объединения одноточечных множеств меры нуль).отсюда
Для начала надо определиться с тем, что мы называем «вероятностью переломать хотя бы одну спичку точно посередине» для бесконечного (счетного) числа спичек. Я вижу два варианта:
Для определения этого понятия на основе теории меры необходимо задать некую «хорошую» меру на счетномерном кубе (о чем выше написал Sirion). Задача не очень тривиальная.
Второе возможное определение — как предел вероятности для конечного числа спичек. Мое «двухстрочное» доказательство относилось именно к этому определению и необходимости прибегать к счетному объединению в этом случае нет — все делается на довольно элементарном уровне.
Для определения этого понятия на основе теории меры необходимо задать некую «хорошую» меру на счетномерном кубе (о чем выше написал Sirion). Задача не очень тривиальная.
Второе возможное определение — как предел вероятности для конечного числа спичек. Мое «двухстрочное» доказательство относилось именно к этому определению и необходимости прибегать к счетному объединению в этом случае нет — все делается на довольно элементарном уровне.
Вот меня заинтересовало, а что будет, если дать Васе континуальное множество спичек? То есть ему надо разломать на две части единичный квадрат, каждый из вертикальных отрезков-«спичек» в своей точке. Будет ли вероятность, что один из континуума отрезков сломается ровно пополам, ненулевой? (Естественно, задача рассматривается в чисто математической постановке, без всяких атомов...)
Если рассматривать только непрерывные линии разлома, то вероятность не меньше 0,5 (одна четверть всех функций имеет в нуле значение меньше 0,5, а в единице больше; а другая одна четверть — наоборот; значит, где-то они проходят через 0,5). Но непрерывные функции ведь лишь бесконечно малая часть всего множества функций.
А в общем случае что-то мне даже интуитивно не сообразить, будет ли вероятность нулевой, ненулевой или вообще не определена…
Если рассматривать только непрерывные линии разлома, то вероятность не меньше 0,5 (одна четверть всех функций имеет в нуле значение меньше 0,5, а в единице больше; а другая одна четверть — наоборот; значит, где-то они проходят через 0,5). Но непрерывные функции ведь лишь бесконечно малая часть всего множества функций.
А в общем случае что-то мне даже интуитивно не сообразить, будет ли вероятность нулевой, ненулевой или вообще не определена…
Про четверть Вы как-то странно посчитали. Непрерывных функций, имеющих в нуле значение меньше 0,5, а в единице — больше, столько же, сколько всего непрерывных функций в единичном квадрате. Это следует из того, что существует взаимно однозначное соответствие между этими двумя множествами функций: можно единичный квадрат стянуть в параллелограмм (0, 0) — (0, 0,5) — (1, 1) — (1, 0,5).
Про малую часть Вы правы. Непрерывных функций континуум, а функций [0,1] → [0, 1] — гиперконтинуум.
Про малую часть Вы правы. Непрерывных функций континуум, а функций [0,1] → [0, 1] — гиперконтинуум.
или вообще не определена…Для начала надо вообще ввести понятие вероятности для рассматриваемого случая. А потом уже можно будет говорить о том определена ли эта вероятность для какого-то события.
Для того, чтобы ввести вероятность надо определить некую меру на множестве всех функций отрезка. Боюсь, что это слишком плохое множество, чтобы на нем можно было определить что-то разумное. Обычно все-таки рассматривают множества измеримых функций, да и там с мерами ничего хорошего. Но я слишком давно не занимался математикой всерьез и моя интуиция тут уже отказывается работать.
Ну, например, есть мера Винера на C[0,1]. Точнее её небольшая модификация, когда стартовая точка равномерно распределена по стороне отрезка. Это, на случай, что у Васи очень-очень сильно трясутся руки, и ломает он по броуновским траекториям. С вероятностью 1, излом не имеет производной ни в одной точке :)
Кстати, очевидно же, что то, что мы пытались построить на счётномерном кубике, не является вероятностью.
Пусть мера параллелепипеда, у которого все рёбра, кроме конечного числа, равны 1, равняется произведению оставшихся рёбер. Тогда несложно обобщить это на остальные параллелепипеды. В частности, мера куба с ребром L < 1 равняется нулю. Тогда возьмём последовательность вложенных кубиков с рёбрами 1/2, 2/3, 3/4 и так далее. Последовательность их мер сходится к нулю, однако сами они сходятся к единичному кубу, мера которого 1.
Таким образом, продолжение Лебеговой меры на счётномерное пространство не будет счётно-аддитивным, т.е. не задаёт вероятность.
Пусть мера параллелепипеда, у которого все рёбра, кроме конечного числа, равны 1, равняется произведению оставшихся рёбер. Тогда несложно обобщить это на остальные параллелепипеды. В частности, мера куба с ребром L < 1 равняется нулю. Тогда возьмём последовательность вложенных кубиков с рёбрами 1/2, 2/3, 3/4 и так далее. Последовательность их мер сходится к нулю, однако сами они сходятся к единичному кубу, мера которого 1.
Таким образом, продолжение Лебеговой меры на счётномерное пространство не будет счётно-аддитивным, т.е. не задаёт вероятность.
Верно. А жаль.
Неправда! Точка (1/2,2/3,3/4,4/5,...) не принадлежит этому объединению кубиков. Это объединение описывает последовательности, верхняя грань которых строго меньше 1. Вы показали только, что множество таких последовательностей имеет меру 0, или, если угодно, что у почти любой последовательности inf=0, sup=1. Хороший результат. Но существование счётно-аддитивной меры на счётномерном кубе он пока не опровергает.
Следующий пример, пожалуйста :)
Следующий пример, пожалуйста :)
В частности, мера куба с ребром L < 1 равняется нулю.
Прошу прощения, но почему так?
Нужно же довести до ума идею со счетным кубом. Итак, у нас есть бесконечномерное пространство R^N, и борелевская сигма-алгебра на нем. На любом конечномерном пространстве вероятностная мера, равномерно распределенная в кубике, являющемся декартовым произведением отрезков [0, 1], строится легко (как произведение ребер). Далее, как заметил ramntry, существует и мера на R^N по теореме Колмогорова, согласованная* со всеми мерами на конечномерных пространствах. Есть куб [0, 1]^N.
Рассмотрим множество точек в этом кубе, имеющих хоть одну координату 0,5. Это множество вложено в объединение счетного количества цилиндров вида:
[0, 1] x 0,5 x [0, 1] x…
[0, 1] x [0, 1] x… x 0,5 x [0, 1] x…
…
Каждый такой цилиндр очевидно является событием в борелевской сигма-алгебре на R^N, следовательно их счетное объединение тоже событие в ней. Насколько я понимаю, основным свойством вероятностной меры является тот факт, что мера объединения не больше, чем сумма мер событий, но каждое из этих событий имеет меру 0 (т.к. имеет ребро нулевой длины). Следовательно, мера объединения тоже 0.
Является ли множество точек, имеющих координату 0,5, событием, черт знает, но это множество вложено в событие вероятности 0.
Рассмотрим множество точек в этом кубе, имеющих хоть одну координату 0,5. Это множество вложено в объединение счетного количества цилиндров вида:
[0, 1] x 0,5 x [0, 1] x…
[0, 1] x [0, 1] x… x 0,5 x [0, 1] x…
…
Каждый такой цилиндр очевидно является событием в борелевской сигма-алгебре на R^N, следовательно их счетное объединение тоже событие в ней. Насколько я понимаю, основным свойством вероятностной меры является тот факт, что мера объединения не больше, чем сумма мер событий, но каждое из этих событий имеет меру 0 (т.к. имеет ребро нулевой длины). Следовательно, мера объединения тоже 0.
Является ли множество точек, имеющих координату 0,5, событием, черт знает, но это множество вложено в событие вероятности 0.
Похоже на правду. Единственно, я так и не разобрался с теоремой Колмогорова, поэтому то предложение для меня остаётся некоей магией.
Теорема Колмогорова: если для каждого n задана мера на борелевской сигма-алгебре R^n, причем меры согласованы, то есть если A принадлежит R^n, тогда P(A) = P(A x R) (это разные меры, первая на R^n, вторая на R^(n+1);)
Так вот, если есть такая последовательность согласованных мер, то будет существовать и мера на R^N такая, что для любых n и A: P(A x R^N) = P(A) (тут опять разные меры, первая на R^N, вторая на R^n).
И наш случай очень чистенько попадает под данную теорему, ибо равномерное распределение, всё ровно получается.
Так вот, если есть такая последовательность согласованных мер, то будет существовать и мера на R^N такая, что для любых n и A: P(A x R^N) = P(A) (тут опять разные меры, первая на R^N, вторая на R^n).
И наш случай очень чистенько попадает под данную теорему, ибо равномерное распределение, всё ровно получается.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Ломаем спички, или Алиса в стране математических ошибок