Разрезание на две равные части, часть первая

[hlx]

Когда увидел самую первую картинку — аж мурашки по коже. Мелькнули мысли, что в статье будет решение этой задачи

[Athari]

Если кто не в курсе исторического поста — вот: Lurkmore — Хабра и задачка (см. тж. Zadachka-ffffuuuu.jpg).

[Nafanoid]

Помню, в том посте один хабраюзер нашел-таки решение задачки, но не на плоскости, а в пространстве. lurkmore.so/images/0/0c/Golovo1.png

[Sirion]

Ну, в каком-то смысле решение. Как говорится, решить уравнение — значит найти всеего корни либо доказать, что их не существует. Тут, судя по всему, второй случай.

[backmeupplz]

Я так понял нужно разрезать именно на равные по форме фигуры, а не просто по площади?

[Sirion]

Совершенно верно. На равные по площади части можно разрезать любую фигуру.

[tyomitch]

А как доказать, что любую?

[Sirion]

Если быть точным, любую ограниченную и измеримую фигуру. Доказательство очевидно. Выберем произвольное направление, возьмём одну из границ и начнём двигать её в сторону другой границы. Если фигура ограничена, то доля её площади, оставшаяся позади границы — непрерывная функция от положения границы, изменяющаяся от 0 до 1. Значит, в каком-то положении она будет равняться 1/2, ч.т.д.

[backmeupplz]

Берем интегралы, а дальше все просто

[lorc]

Я хотел бы уточнить, почему

Это движение может быть либо параллельным переносом, либо поворотом, либо скользящей симметрией

Думаю, само собой очевидно, что это движение может быть суперпозицией переносов, поворотов и симметрий. Как вы будете доказывать этот случай?

[Sirion]

А можно я не стану ничего доказывать и просто сошлюсь на курс аналитической геометрии? Всякое движение будет либо переносом, либо поворотом, либо скользящей симметрией. В том числе любая суперпозиция переносов, поворотов и скользящих симметрий.