Про семь цилиндров

[valemak]

Может, это… За какую-нибудь из «задач тысячелетия» возьмётесь? Ну, а вдруг?

[Danov]

Красивое решение. В том смысле красивое, что понятное и простое, но на момент знакомства с задачей неведомое. Сразу видна советская матшкола.

[Mrrl]

Похоже, что если разрешить разные радиусы, то можно соприкоснуть девять. Для 10 не хватает одной степени свободы. А в 8 одинакового радиуса не верю вообще.

[valemak]

delete, аналогичный вопрос комментарием выше

[WerewolfPrankster]

То есть венгерским математикам понадобилось 3 месяца для расчетов, а вам всего одна минута?

[Mrrl]

Получается, что так. Правда, я не доказывал, что решение действительно существует — там надо было бы вспоминать всю эту теорию с существованием корней, искать оценки якобиана, и т.п. Лень было.

[Mirraz]

Независимая проверка показала, что решения правильные — расстояния между парами прямых отличались от 1 не больше, чем на 10-9

В этом-то всё и дело. Должно быть точно 1 и это должно быть сторого доказано.

[Mrrl]

Не обязательно. Достаточно доказать, что где-то рядом есть набор параметров, для которых все расстояния равны 1. Сами эти параметры предъявлять не нужно.

[Mrrl]

Можно, наверное, оценить вторые производные в окрестности какого-нибудь приближения к решению, получить из них, что якобиан в этой окрестности отличен от нуля (и обладает какими-то ещё более сильными свойствами), доказать из этого, что шаг метода Ньютона является сжимающим отображением, и сослаться на теорему из матана. Наверняка всё это давно и хорошо проработано, только надо вспомнить, где и как именно.

[Anexroid]

Я думаю, что у математиков это заняло столько времени, а у вас минуту исключительно из-за того, что к тому же, что и вы, они пришли за минуту, а всё остальное время ушло на формализацию доказательства.

[Mrrl]

Ситуация оказалась несколько хуже, чем я думал. Второе семейство конфигураций оказалось всего лишь одной из ветвей первого семейства, но с другим выбором первых двух цилиндров. И одним концом эта ветвь упирается не то в остриё, не то ещё в какой-то непроходимый зигзаг — причём найти её продолжение (в этой системе параметров) мне пока не удалось.
Случайный поиск пока даёт только точки из уже найденного семейства. Возможно, что других конфигураций (и компонент связности множества решений) нет. Надо будет проверить, различаются ли в действительности конфигурации, которые нашли венгры.

[might]

Блин, офигенные фломастеры, были такие лет 12 назад

[Mrrl]

UPD2: В общем, в программе была ошибка — некоторые коэффициенты матрицы были неправильными (но несмотря на это итерации как-то сходились :) ). После исправления сходимость заметно улучшилась, и 100 миллионов стартовых точек были обработаны примерно за час. Все найденные решения (около 9 тысяч) легли на основную траекторию… По-видимому, больше решений нет.
Кстати, если решать систему полиномиальных уравнений, то правильное решение найти трудно. Любой многочлен, описывающий условие, что расстояние между прямыми равно 1, обратится в ноль для любой пары параллельных прямых, так что в множестве решений будет очень много паразитных компонент.

[KaHDuDaT]

Читал и ссылку на оригинал и данную работу. Статья понравилась. Спасибо :)