Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 14
Спасибо! Такого хорошего объяснения я еще не встречал.
Давно пора к Хабру прикрутить какой-нибудь TeX-компилятор.
А еще есть игрушка про построения циркулем и линейкой.
Супер! Теперь еще о теории Галуа можно написать :)
зануда вкл.
всё-таки у поля две операции (сложение и умножение). то что мы называем делением и вычитанием — это лишь умножение на обратный по умножению и сложение с обратным по сложению соответственно. и ноль просто не имеет обратного по умножению, поэтому как раз фраза «можно ли делить на ноль» эквивалентна фразе «можно ли умножать число на число, которого не существует»
всё-таки у поля две операции (сложение и умножение). то что мы называем делением и вычитанием — это лишь умножение на обратный по умножению и сложение с обратным по сложению соответственно. и ноль просто не имеет обратного по умножению, поэтому как раз фраза «можно ли делить на ноль» эквивалентна фразе «можно ли умножать число на число, которого не существует»
Согласен. Но тогда надо объяснять, что такое группа и обратный элемент.
Формально, поле — это множество элементов с 0, где определены две операции (обозначаются + и *), причём множество является абелевой группой по отношению к + с нейтральным элементом 0, множество ненулевых элементов является абелевой группой по отношению к *, и выполняется дистрибутивный закон (a+b)*c=a*c+b*c.
Формально, поле — это множество элементов с 0, где определены две операции (обозначаются + и *), причём множество является абелевой группой по отношению к + с нейтральным элементом 0, множество ненулевых элементов является абелевой группой по отношению к *, и выполняется дистрибутивный закон (a+b)*c=a*c+b*c.
Построение правильного 17-угольника, напротив, возможно, потому что z=e^(2*pi/17) является корнем x^17-1=(x-1)(x^16+x^15+...+1) и имеет степень 16=2^4 над Q...
Неужели того, что степень равна 16, достаточно? Тогда бы мы умели выражать в радикалах корни неприводимых многочленов 8-й, 16-й степеней и т.п. Насколько я понимаю, для построения 17-угольника используется какой-то более сильный факт, связанный со структурой поля Z17 (то, что корни хорошо группируются по парам, четвёркам и восьмёркам сопряженных?)
Вы правы, степень 2^n — это только необходимое условие. Необходимым и достаточным условием будет существование цепочки расширений степени 2 (т.е. таких, которые можно построить циркулем и линейкой) Q⊂Q1⊂Q2⊂...⊂Qn=Q(z), [Q{i+1}:Qi]=2, [Q(z):Q]=2^n. Но для z=e2𝜋/p с простым p вида p=2^n+1 это условие всегда выполняется, как показывает теория Галуа.
Заранее прошу прощения за глупый вопрос и косноязычие. В доказательстве все просто и красиво, но существует ли некий «закон инварианта»? Т.е. такой закон, что утверждает: как бы мы не преобразовывали задачу — решения мы не найдем. Или по другому — отсутствие решения на данном множестве однозначно говорит об отсутствии решений на любом другом множестве?
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Трисекция угла и другие задачи на построение