Трисекция угла и другие задачи на построение

[valplo]

Спасибо! Такого хорошего объяснения я еще не встречал.

[gloomsy]

Пожалуйста! Это довольно редкий пример знаменитой математической проблемы, решение которой не требует введения очень сложных понятий и теорий.

[aitras]

Давно пора к Хабру прикрутить какой-нибудь TeX-компилятор.

[avgaltsev]

А еще есть игрушка про построения циркулем и линейкой.

[gloomsy]

Занятная штука. Построил в ней пятиугольник, но система его почему-то не признаёт

[mmatrosov]

Вероятно, слишком много шагов. Хочет 21 или лучше 15. А у вас 64.

[gloomsy]

За 21 шаг он бы начислил очки (в первой строке challenges 7/40). Построенные конструкции он подсвечивает при любом числе шагов.

[DmitriyN]

Супер! Теперь еще о теории Галуа можно написать :)

[gloomsy]

Теория Галуа? Это которая показывает возможность разрешимости уравнений в радикалах? Для неё и двух постов не хватит. Если вы имели в виду поля Галуа, то это конечно гораздо проще.

[boxfrommars]

зануда вкл.
всё-таки у поля две операции (сложение и умножение). то что мы называем делением и вычитанием — это лишь умножение на обратный по умножению и сложение с обратным по сложению соответственно. и ноль просто не имеет обратного по умножению, поэтому как раз фраза «можно ли делить на ноль» эквивалентна фразе «можно ли умножать число на число, которого не существует»

[gloomsy]

Согласен. Но тогда надо объяснять, что такое группа и обратный элемент.
Формально, поле — это множество элементов с 0, где определены две операции (обозначаются + и *), причём множество является абелевой группой по отношению к + с нейтральным элементом 0, множество ненулевых элементов является абелевой группой по отношению к *, и выполняется дистрибутивный закон (a+b)*c=a*c+b*c.

[Mrrl]

Построение правильного 17-угольника, напротив, возможно, потому что z=e^(2*pi/17) является корнем x^17-1=(x-1)(x^16+x^15+...+1) и имеет степень 16=2^4 над Q...

Неужели того, что степень равна 16, достаточно? Тогда бы мы умели выражать в радикалах корни неприводимых многочленов 8-й, 16-й степеней и т.п. Насколько я понимаю, для построения 17-угольника используется какой-то более сильный факт, связанный со структурой поля Z₁₇ (то, что корни хорошо группируются по парам, четвёркам и восьмёркам сопряженных?)

[gloomsy]

Вы правы, степень 2^n — это только необходимое условие. Необходимым и достаточным условием будет существование цепочки расширений степени 2 (т.е. таких, которые можно построить циркулем и линейкой) Q⊂Q1⊂Q2⊂...⊂Qn=Q(z), [Q{i+1}:Qi]=2, [Q(z):Q]=2^n. Но для z=e^2𝜋/p с простым p вида p=2^n+1 это условие всегда выполняется, как показывает теория Галуа.

[naszar]

Заранее прошу прощения за глупый вопрос и косноязычие. В доказательстве все просто и красиво, но существует ли некий «закон инварианта»? Т.е. такой закон, что утверждает: как бы мы не преобразовывали задачу — решения мы не найдем. Или по другому — отсутствие решения на данном множестве однозначно говорит об отсутствии решений на любом другом множестве?