Интерполяция: рисуем плавные графики с помощью кривых Безье

Доброго времени суток, харбачитатель.

В этой статье мне хотелось бы рассказать об одном придуманном когда-то алгоритме (или скорее всего — переизобретённом велосипеде) построения плавного графика по заданным точкам, используя кривые Безье. Статья была написана под влиянием вот этой статьи и очень полезного комментария товарища lany, за что им отдельное спасибо.

Постановка задачи
Есть массив Y-ков точек, расположенных равномерно по оси X. Нужно получить плавный график, который проходит через все заданные точки. Пример на рисунке ниже:

Всех, кому интересно, прошу под кат.

Существует ряд стандартных решений для проведения плавной кривой через точки (по этому поводу много интересного написано в уже упомянутой статье) таких, как например, интерполяции сплайнами. Когда на третьем курсе был придуман этот алгоритм, слово «интерполяция» вселяло в меня ужас, а гугление по запросу «сглаживание графиков» не давало посильных пониманию результатов. Но как-то я дошел до кривых Безье и уж очень они мне понравились. Рисует быстро, алгоритм интуитивно понятный… Что еще надо для счастья. Ну и как-то понеслось.

Основная идея

Разобью идею на три подпункта, чтобы было понятней и читабельней.

1. О кривых Безье хорошо написано на вики и на javascript.ru. Если внимательно читать, то можно обратить внимание, что кривая Безье выходит из первой точки касательно к прямой начальная_точка-первая_опорная_точка. Аналогично и в конце — кривая заходит касательно прямой последняя_опорная_точка-конечная_точка. Таким образом получается, что если у нас одна кривая заканчивается в точке А и зашла касательно к прямой а, а другая кривая выходит из этой точки А касательно к той-же прямой а, то этот переход между двумя кривыми Безье у нас получится плавным.
2. Исходя из первого пункта получается, что у нас опорные точки слева и справа относительно точки А должны лежать на одной прямой. Поразмыслив немного, было решено, что эта прямая должна быть такой, чтобы ∠BAB₁=∠CAC₁ (рисунок ниже), где точки B₁ и C₁ — опорные.
   
   
   
   
   
3. Расстояние от точки А до точек B₁ и C₁ было решено взять равным половине шага по X между точками B и A, A и C, и т.д. Мне сложно как-то обосновать такой выбор, но важно, чтобы это расстояние было меньше, чем шаг по X между точками А и B, иначе может получится что-то такое, как на рисунке ниже. Важно понимать, что чем больше будет это расстояние, тем более извилистой будет кривая и наоборот. Расстояние в половину шага по X мне кажется оптимальным, но тут уже возможны варианты.
   
   
   
   
   

Таким образом получается, что задача сводится к поиску прямой (B₁C₁) и, собственно, опорных точек B₁ и C₁, по которым мы потом будем строить кривые Безье.

Поиск прямой

Как известно, прямая на плоскости выражается формулой y=kx+b, где k — тангенс угла наклона прямой к оси Х, а b — «высота» пересечения прямой и оси Y.

Поиск коэффициента k

Скажу наперед, что k = tg(φ) = tg((α-β)/2) = (Sqrt(((Y_A-Y_B)²+ΔX²)*((Y_A-Y_C)²+ΔX²))-ΔX²-(Y_A-Y_B)*(Y_A-Y_C)) / (ΔX*(Y_C-Y_B)), где ΔX — расстояние по Х между точками графика (напомню, что у нас точки расположены равномерно по Х). Ниже представлено математическое доказательство правильности формулы, но если вы не в настроении, то можете его просто пропустить.

Математическое выведение коэффициента k

1. Пускай угол ∠O₁BA=α, а угол ∠O₂СA=β.
   Тогда ∠BAO₁=90^o-α; ∠CAO₂=90^o-β, так как △ABO₁ и △ACO₂ — прямоугольные.
   
   
2. (1) ∠B₁AС₁=∠B₁AB+∠BAO₁+∠O₁AС+∠CAС₁=180^o
   (2) ∠B₁AB=∠C₁AС — по условию
   (3) ∠BAO₁=90^o-α
   (4) ∠O₁AС=∠CAO₂=90^o-β
   
   Из (1), (2), (3) и (4) получается, что:
   2*∠C₁AС+(90^o-α)+(90^o-β)=180^o
   2*∠C₁AС+180^o-α-β=180^o
   (5) ∠C₁AС=(α+β)/2
   
   
3. (6) ∠C₁AС=∠C₁AD+∠DAC=φ+∠DAC
   (7) ∠DAC=∠O₂CA=β — как внутренние разносторонние углы образованные двумя параллельными прямыми (AD) и (O₂C) и секущей (AC)
   
   Из (5), (6) и (7) получается, что:
   ∠C₁AС=φ+∠DAC
   (α+β)/2=φ+β
   φ+β=(α+β)/2
   (8) φ=(α-β)/2
   
   
4. k=tg(φ)=tg((α-β)/2)
   
   Из △ABO₁:
   sin(α)=[AO₁]/[AB]
   cos(α)=[BO₁]/[AB]
   
   Из △ACO₂:
   sin(β)=[AO₂]/[AC]
   cos(β)=[CO₂]/[AC]
   
   Под квадратными скобками подразумевается длинна отрезка (не хотел использовать вертикальные прямые — надеюсь, что читатель меня простит)
   
   
5. Из предыдущего подпункта следует:
   
   
   
6. Зная, что:
   [BO₁]=[CO₂]=ΔX
   [AO₁]=Y_A-Y_B
   [AO₂]=Y_A-Y_C
   [AB]=Sqrt([AO₁]²+[BO₁]²)=Sqrt((Y_A-Y_B)²+ΔX²)
   [AC]=Sqrt([AO₂]²+[CO₂]²)=Sqrt((Y_A-Y_C)²+ΔX²)
   
   Получаем, что:
   

И так, k мы нашли. Забегая наперед скажу, что b нам при расчетах не пригодится. Приступим к поиску опорных точек.

Ищем опорные точки

Сразу скажу, что: ΔX'=ΔX/2*Sqrt(1/(1+k²)), координаты опорной точки справа: X_C1=X_A+ΔX'; Y_C1=Y_A+k*ΔX', и слева:X_B1=X_A-ΔX'; Y_B1=Y_A-k*ΔX'.

Немного математики, которая это доказывает

Из тригонометрии мы помним, что:


Из △AC₁O:
ΔX'=[AO]=[AC₁]*cos(φ).
[C₁O]=[AO]*tg(φ)=k*ΔX'

Если мы принимаем [AC₁] равным половине шага по X между основным точками графика (точками B и A, A и C, т.д.), то:


И вот, собственно:
X_C1=X_A+ΔX'
X_B1=X_A-ΔX'
Y_C1=Y_A+k*ΔX'
Y_B1=Y_A-k*ΔX'

К приятному!

1. От товарища lany (огромное ему за это спасибо и плюс ему к карме) я узнал, что html5 с помощью функций quadraticCurveTo() и bezierCurveTo() умеет рисовать по canvas-у кривые Безье сам. Соответственно, алгоритм можно применить с JavaScript-ом.
2. Приятной особенностью алгоритма есть то, что график предсказуемо «выпирает» за границы пространства точек, через которые мы собственно проводим график. Если брать расстояние до опорных точек равными половине шага по X (отрезок [AC₁] на последнем рисунке), то зазора в четверть шага по X сверху и снизу от границ canvas-а будет достаточно.

Пример реализации на JSFiddle


UPDATE:

1. Попытки сделать так, чтобы опорные точки нужно было считать один раз, а потом, при масштабировании графика, просто использовать их координаты, потерпели неудачу. Все упирается в то, что в расчет коэффициента k входит и текущий масштаб по X, и текущий масштаб по Y. И вытянуть их из формулы не выходит. Товарищ quverty меня об этом предупреждал и оказался прав.
2. Хотел бы обратить внимание, что кривизну построенного графика можно регулировать. Для этого следует изменять расстояние до опорных точек — менять коэффициент ΔX'=ΔX/2*Sqrt(1/(1+k²)), а именно — знаменатель вот этого его кусочка: ΔX/2. Знаменатель меньше 1 брать не следует (читай третий подпункт пункта «Основная идея»). Поэкспериментировать можно на JSFiddle (129 строка JavaScript-а).
3. Обратите внимание на реализацию сплайна Катмулла-Рома товарища IIvana. И спасибо ему за этот комментарий.