Наверняка вам известно, что планеты движутся вокруг солнца по эллиптическим орбитам. Но почему? На самом деле, они двигаются по окружностям в четырёхмерном пространстве. А если спроецировать эти окружности на трёхмерное пространство, они превращаются в эллипсы.
![image](https://i0.wp.com/math.ucr.edu/home/baez/mathematical/harmonic_orbit.gif)
На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.
Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.
Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).
Самое интересное в этой работе – такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.
Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.
В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией – это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.
Задача Кеплера
Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/7ae/c64/780/7aec647806bc8010a88b3ef2ea2f126e.png)
где r — позиция как функция времени, r — расстояние от центра, m – масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/113/803/353/113803353f00a3d49c9fb1897a0e9ff8.png)
для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.
Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим
m = 1, k = 1, E = -1/2
Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как
![image](https://s0.wp.com/latex.php?latex=\displaystyle{\ddot{\mathbf{r}}+%3D+-+\frac{\mathbf{r}}{r^3}+}+&bg=ffffff&fg=333333&s=0)
а закон сохранения говорит
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/504/f6c/68e/504f6c68e3cbcbec9e6b88a9ac5d29b3.png)
Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/2af/975/2b5/2af9752b5f9f77957a0bb53cff7ca397.png)
Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.
Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/cee/38b/732/cee38b7323d2eac93506523ab0867a40.png)
и
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/bab/767/793/bab7677936b52b94a84b1d19537b6783.png)
Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/63f/110/74b/63f11074b28a3494d1f7e6f6a17aa6b8.png)
А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x,y,z). Точка
(t,x,y,z)
двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/5a4/87a/e0a/5a487ae0a3357d1863a2cf4757cbc75f.png)
двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке
(1,0,0,0)
Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/137/8d7/f87/1378d7f87f3bebef4ea06f77610e82a4.png)
и
t''' = -(t' — 1)
Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).
Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.
Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.
Проинтегрировав обе части
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/137/8d7/f87/1378d7f87f3bebef4ea06f77610e82a4.png)
мы получим
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/0c4/e5d/555/0c4e5d555be32fc8407eff842a7fb38c.png)
для некоего постоянного вектора a. Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a. Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа—Рунге—Ленца.
Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа—Рунге—Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.
Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.
Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях – это проекции круговых орбит из n+1 измерений.
Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.
Математические детали
Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения – сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/93e/d84/1c3/93ed841c3f6f17a2431137d2a95163e5.png)
Начинаем с сохранения энергии:
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/c19/065/d69/c19065d69e97aa42737daa98a545e513.png)
затем используем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/32d/705/b28/32d705b2889e2cf7580b07632a4d98ab.png)
чтобы получить
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/191/782/bc6/191782bc6f6e15115564ec67197b56ca.png)
Немного алгебры – и получаем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/8a1/2d5/a16/8a12d5a16852c5e641113cd686f5a0c3.png)
Это показывает, что 4-мерная скорость
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/5a4/87a/e0a/5a487ae0a3357d1863a2cf4757cbc75f.png)
остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).
Следующий шаг – взять уравнение движения
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/779/90d/7d1/77990d7d14432ab7dc657e35c3dd3335.png)
и переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/a6f/1a0/a65/a6f1a0a65d4a1e08069dbb98b965ce9c.png)
и дифференцируем, чтобы получить
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/127/c40/633/127c40633f9db175e5a64c8f60949242.png)
Теперь используем другое уравнение для
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/271/e98/1f2/271e981f26c2ef29fd2a9cbd0e2c69c6.png)
и получаем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/8f6/7ba/746/8f67ba746cf1af430c36b7b425d0c621.png)
или
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/cb8/f73/c7a/cb8f73c7a484dd7090542464466f5bee.png)
поэтому
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/a64/468/cdc/a64468cdc2036ef2cabce16528259cc9.png)
Теперь хорошо бы получить формулу и для r''. Сначала посчитаем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/0a6/60a/dcd/0a660adcd462f600b922205d2b756b3e.png)
а затем продифференцируем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/552/e8f/e87/552e8fe87776cdacca1e5bf4e0c5060c.png)
Подключим формулу для r", кое-что сократится, и мы получим
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/684/d5e/495/684d5e495304dccc587c71aaebb45f8e.png)
Вспомним, что закон сохранения говорит
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/6c9/021/a23/6c9021a239c9876c40c7e2718d076c63.png)
а мы знаем, что t' = r. Поэтому,
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/2d2/253/414/2d22534140029d7dda127cf8a986ddec.png)
и
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/da3/40f/726/da340f7269efedf99d993f088ad581c7.png)
Получаем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/afb/536/21b/afb53621b70fcdf348313437792cfd15.png)
Поскольку t' = r, то получается
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/92f/2e2/6a2/92f2e26a2b8c4e90dab3d6fc7278d78a.png)
как нам и нужно.
Теперь получим сходную формулу для r'''. Начнём с
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/6c1/5a6/4d8/6c15a64d8d65530c16ccc45f6adfe9b7.png)
и продиффиренцируем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/041/5d4/dfe/0415d4dfeeb9dc8a528cdce096d94843.png)
Подключим формулы для r'' и r'''. Кое-что сокращается, и остаётся
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/826/a6d/eee/826a6deee42071b10c9155f120842c66.png)
Проинтегрируем обе части и получаем
![image](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/post_images/45d/169/ca4/45d169ca46be198f78b1f7808765cb50.png)
для некоего постоянного вектора a. Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a. Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.
Квантовая версия планетарной орбиты – атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan, The ellipse and the atom.
Подробности об истории этой задачи см. у John Baez, Mysteries of the gravitational 2-body problem.
И всё это также имеет отношение к квантовой физике, суперсимметрии и йордановой алгебре!
![image](https://i0.wp.com/math.ucr.edu/home/baez/mathematical/harmonic_orbit.gif)
На рисунке плоскость обозначает 2 из 3 измерений нашего пространства. Вертикальное направление – это четвёртое измерение. Планета движется по кругу в четырёхмерном пространстве, а её «тень» в трёхмерном движется по эллипсу.
Что же это за 4-е измерение? Оно похоже на время, но это не совсем время. Это такое особенное время, которое течёт со скоростью, обратно пропорциональной расстоянию между планетой и солнцем. И относительно этого времени планета двигается с постоянной скоростью по кругу в 4 измерениях. А в обычном времени его тень в трёх измерениях двигается быстрее, когда она находится ближе к солнцу.
Звучит странно – но это просто необычный способ представления обычной ньютоновской физики. Этот способ известен по крайней мере с 1980 года благодаря работе математического физика Юргена Мозера. А я узнал об этом, получив на email работу за авторством Джеспера Горансона под названием «Симметрии в задаче Кеплера» (8 марта 2015).
Самое интересное в этой работе – такой подход объясняет один интересный факт. Если взять любую эллиптическую орбиту, и повернуть её в 4-мерном пространстве, то мы получим другую допустимую орбиту.
Конечно, можно вращать эллиптическую орбиту вокруг солнца и в обычном пространстве, получая допустимую орбиту. Интересно то, что это можно делать в 4-мерном пространстве, например, заужая или расширяя эллипс.
В общем случае любую эллиптическую орбиту можно превратить в любую другую. Все орбиты с одинаковой энергией – это круговые орбиты на одной и той же сфере в 4-мерном пространстве.
Задача Кеплера
Допустим, у нас есть частица, которая двигается по закону обратных квадратов. Уравнением её движения будет
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/7ae/c64/780/7aec647806bc8010a88b3ef2ea2f126e.png)
где r — позиция как функция времени, r — расстояние от центра, m – масса, а k определяет силу. Отсюда можно вывести закон сохранения энергии
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/113/803/353/113803353f00a3d49c9fb1897a0e9ff8.png)
для некоей константы E, зависящей от орбиты, но не меняющейся со временем. Если эта сила будет притяжением, то k > 0, а на эллиптической орбите E < 0. Будем звать частицу планетой. Планета двигается вокруг солнца, которое настолько тяжело, что его колебаниями можно пренебречь.
Будем исследовать орбиты с одной энергией E. Поэтому единицы массы, длины и времени можно принять любыми. Положим
m = 1, k = 1, E = -1/2
Это избавит нас от лишних букв. Теперь уравнение движения выглядит как
а закон сохранения говорит
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/504/f6c/68e/504f6c68e3cbcbec9e6b88a9ac5d29b3.png)
Теперь, следуя идее Мозера, перейдём от обычного времени к новому. Назовём его s и потребуем, чтобы
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2af/975/2b5/2af9752b5f9f77957a0bb53cff7ca397.png)
Такое время идёт медленнее по мере удаления от солнца. Поэтому скорость планеты по удалению от солнца увеличивается. Это компенсирует тенденцию планет двигаться по мере удаления от солнца более медленно в обычном времени.
Теперь перепишем закон сохранения при помощи нового времени. Поскольку для производных по обычному времени я использовал точку, давайте будем использовать штрих для производных по времени s. Тогда к примеру:
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cee/38b/732/cee38b7323d2eac93506523ab0867a40.png)
и
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/bab/767/793/bab7677936b52b94a84b1d19537b6783.png)
Используя такую производную, Горансон показывает, что сохранение энергии можно записать в виде
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/63f/110/74b/63f11074b28a3494d1f7e6f6a17aa6b8.png)
А это ни что иное, как уравнение четырёхмерной сферы. Доказательство будет позже. Сейчас поговорим о том, что это для нас значит. Для этого нам надо совместить меж собой координату обычного времени t и пространственные координаты (x,y,z). Точка
(t,x,y,z)
двигается в четырёхмерном пространстве по мере изменения параметра s. То есть, скорость этой точки, а именно
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a4/87a/e0a/5a487ae0a3357d1863a2cf4757cbc75f.png)
двигается по четырёхмерной сфере. Это сфера радиуса 1 с центром в точке
(1,0,0,0)
Дополнительные расчёты показывают другие интересные факты:
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/137/8d7/f87/1378d7f87f3bebef4ea06f77610e82a4.png)
и
t''' = -(t' — 1)
Это обычные уравнения гармонического осциллятора, но с дополнительной производной. Доказательство будет позже, а пока подумаем, что это значит. Словами это можно описать так: 4-мерная скорость v совершает простые гармонические колебания вокруг точки (1,0,0,0).
Но так как v в то же время остаётся на сфере с центром в этой точки, то можно заключить, что v двигается с постоянной скоростью по кругу на этой сфере. А это подразумевает, что среднее значение пространственных компонент 4-мерной скорости равно 0, а среднее t равно 1.
Первая часть понятна: наша планета в среднем не улетает от Солнца, поэтому её средняя скорость равна нулю. Вторая часть посложнее: обычное время t движется вперёд со средней скоростью 1 относительно нового времени s, но скорость его изменения колеблется синусоидально.
Проинтегрировав обе части
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/137/8d7/f87/1378d7f87f3bebef4ea06f77610e82a4.png)
мы получим
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0c4/e5d/555/0c4e5d555be32fc8407eff842a7fb38c.png)
для некоего постоянного вектора a. Уравнение говорит, что позиция r гармонически осциллирует вокруг точки a. Поскольку a не меняется со временем, это сохраняющаяся величина. Это называется вектором Лапласа—Рунге—Ленца.
Часто люди начинают с закона обратных квадратов, показывают, что угловой момент и вектор Лапласа—Рунге—Ленца сохраняются, и используют эти сохраняющиеся величины и теорему Нётер, чтобы показать наличие 6-мерной группы симметрий. Для решений с отрицательной энергией это превращается в группу поворотов в 4 измерениях, SO(4). Поработав ещё немного, можно увидеть, как задача Кеплера сопряжена с гармоническим осциллятором в 4 измерениях. Это делается через репараметризацию времени.
Мне больше понравился подход Гораснона, потому что он начинается с репараметризации времени. Это позволяет эффективно показать, что эллиптическая орбита планеты – это проекция круговой орбиты в четырёхмерном пространстве на трёхмерное. Таким образом становится очевидна 4-мерная вращательная симметрия.
Горансон переносит этот подход на закон обратных квадратов в n-мерном пространстве. Получается, что эллиптические орбиты в n измерениях – это проекции круговых орбит из n+1 измерений.
Он также применяет этот подход для орбит с положительной энергией, которые представляют собой гиперболы, и для орбит с нулевой энергией (параболы). У гипербол получается симметрия групп Лоренца, а у парабол – симметрия групп Евклида. Это известный факт, однако примечательно, как просто он выводится с помощью нового подхода.
Математические детали
Из-за обилия уравнений я поставлю вокруг важных уравнений рамки. Основные уравнения – сохранение энергии, сила и изменение переменных, которые дают:
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/93e/d84/1c3/93ed841c3f6f17a2431137d2a95163e5.png)
Начинаем с сохранения энергии:
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/c19/065/d69/c19065d69e97aa42737daa98a545e513.png)
затем используем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/32d/705/b28/32d705b2889e2cf7580b07632a4d98ab.png)
чтобы получить
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/191/782/bc6/191782bc6f6e15115564ec67197b56ca.png)
Немного алгебры – и получаем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8a1/2d5/a16/8a12d5a16852c5e641113cd686f5a0c3.png)
Это показывает, что 4-мерная скорость
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/5a4/87a/e0a/5a487ae0a3357d1863a2cf4757cbc75f.png)
остаётся на сфере единичного радиуса с центром в (1,0,0,0).
Следующий шаг – взять уравнение движения
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/779/90d/7d1/77990d7d14432ab7dc657e35c3dd3335.png)
и переписать его, используя штрихи (производные по s), а не точки (производные по t). Начинаем с
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a6f/1a0/a65/a6f1a0a65d4a1e08069dbb98b965ce9c.png)
и дифференцируем, чтобы получить
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/127/c40/633/127c40633f9db175e5a64c8f60949242.png)
Теперь используем другое уравнение для
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/271/e98/1f2/271e981f26c2ef29fd2a9cbd0e2c69c6.png)
и получаем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/8f6/7ba/746/8f67ba746cf1af430c36b7b425d0c621.png)
или
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/cb8/f73/c7a/cb8f73c7a484dd7090542464466f5bee.png)
поэтому
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/a64/468/cdc/a64468cdc2036ef2cabce16528259cc9.png)
Теперь хорошо бы получить формулу и для r''. Сначала посчитаем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/0a6/60a/dcd/0a660adcd462f600b922205d2b756b3e.png)
а затем продифференцируем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/552/e8f/e87/552e8fe87776cdacca1e5bf4e0c5060c.png)
Подключим формулу для r", кое-что сократится, и мы получим
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/684/d5e/495/684d5e495304dccc587c71aaebb45f8e.png)
Вспомним, что закон сохранения говорит
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/6c9/021/a23/6c9021a239c9876c40c7e2718d076c63.png)
а мы знаем, что t' = r. Поэтому,
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/2d2/253/414/2d22534140029d7dda127cf8a986ddec.png)
и
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/da3/40f/726/da340f7269efedf99d993f088ad581c7.png)
Получаем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/afb/536/21b/afb53621b70fcdf348313437792cfd15.png)
Поскольку t' = r, то получается
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/92f/2e2/6a2/92f2e26a2b8c4e90dab3d6fc7278d78a.png)
как нам и нужно.
Теперь получим сходную формулу для r'''. Начнём с
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/6c1/5a6/4d8/6c15a64d8d65530c16ccc45f6adfe9b7.png)
и продиффиренцируем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/041/5d4/dfe/0415d4dfeeb9dc8a528cdce096d94843.png)
Подключим формулы для r'' и r'''. Кое-что сокращается, и остаётся
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/826/a6d/eee/826a6deee42071b10c9155f120842c66.png)
Проинтегрируем обе части и получаем
![image](https://habrastorage.org/getpro/habr/post_images/45d/169/ca4/45d169ca46be198f78b1f7808765cb50.png)
для некоего постоянного вектора a. Это значит, что r гармонически осциллирует относительно a. Занятно, что и вектор r и его норма r осциллируют гармонически.
Квантовая версия планетарной орбиты – атом водорода. Всё, что мы посчитали, можно использовать и в квантовой версии. Подробности см. у Greg Egan, The ellipse and the atom.
Подробности об истории этой задачи см. у John Baez, Mysteries of the gravitational 2-body problem.
И всё это также имеет отношение к квантовой физике, суперсимметрии и йордановой алгебре!