В первой части мы взяли в руки молоток (спектр матрицы Грина) и опробовали его на паре гвоздей (наборе из трех точек). Пока я возился с этими спектрами, возникло предложение к производителям строительных рулеток. Надо с обратной стороны измерительной ленты добавить параболическую шкалу (сантиметры в квадрате). Поскольку квадраты расстояний здесь просто кишат, а обычные (линейные) расстояния выглядят жалким частным случаем. При строительстве дачи такой рулеткой можно будет проверять прямоугольность углов, ну и прочие инварианты для расстояний между точками в пространстве и на плоскости.

Спектры вершин правильных многоугольников и многогранников

Спектр вершин равностороннего треугольника логично обобщить на спектры вершин правильных многоугольников в целом.
Пусть вершины правильного многоугольника вписаны в окружность радиуса R. Центр собственной системы координат (центроид) будет расположен в центре окружности. Поскольку все вершины находятся на одной плоскости, то количество собственных значений спектра будет равно 2. Также очевидно, что собственные значения должны быть равны ввиду симметрии.
Согласно формуле (2.2) из первой части сумма собственных чисел спектра равна сумме квадратов расстояний от центроида до вершин, — то есть равна произведению количества вершин на квадрат радиуса окружности. В итоге получаем выражение для собственных значений правильных многоугольников:

Попутно отметим один из инвариантов — для правильного n-угольника существует простое выражение для суммы квадратов расстояний между заданной вершиной и остальными:

(Для контроля данного инварианта при проектировании n-угольной беседки и пригодилась бы параболическая рулетка).

Для вывода формулы спектра правильных многогранников, вписанных в сферу радиуса R, можно использовать рассуждения, аналогичные приведенным выше. Отличие лишь в том, что собственных чисел в пространстве три, поэтому и делить спектральную сумму надо на три:

Как известно, существует лишь 5 типов правильных многогранников с количеством вершин (4, 6, 8, 12 и 20). Но формула (4.7) сама по себе никаких ограничений на набор вершин не накладывает. Соответственно, формула применима не только к правильным многогранникам, но и к любым симметричным, вершины которых расположены на сфере. В качестве примера такого многогранника можно привести куб (8 вершин), дополненный вершинами в центре граней, вынесенными на сферу (ромб — 6 вершин). Итого получаем симметричный многогранник из 14 вершин, для которого формула (4.7) должна быть применима (автор не проверял).

5. Спектры решеток

Решетки встречаются в нашей жизни чаще, чем многогранники (к сожалению, конечно).

Выражения для спектров решеток единичной постоянной

Простейшей невырожденной решеткой является набор точек (узлов), расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга на одной прямой. Расстояние между узлами решетки называют постоянной решетки. Для простоты вначале рассмотрим решетки с постоянной равной 1.
Спектр одномерной решетки будет содержать только одно собственное значение. Формальный вывод значения спектра оставим читателям, здесь приведем конечный ответ. Собственное значение одномерной решетки кубично зависит от количества узлов решетки:

Степенью в скобках обозначены убывающие степени:

Собственное значение одномерной 1-решетки в том или ином виде входит в многомерные спектры решеток. Поэтому дадим ему специальное обозначение g(n), название — базовый, и приведем таблицу первых значений:

n	2	3	4	5	6	7	8	9	10
g(n)	0.5	2	5	10	17.5	28	42	60	82.5

Спектр квадратной решетки содержит два одинаковых собственных значения. Выражается через базовый:

Здесь n — размер решетки (количество точек) в одном направлении.
Аналогичным образом для получения спектра кубической решетки надо спектр квадратной умножить на n. Общая формула спектров 1-решеток размерности d:

Если решетка содержит разное количество узлов по различным измерениям (что возможно для двух и более мерных решеток), то собственные значения спектра в общем случае будут неравны. Для прямоугольной решетки на плоскости с размерами (k:l) собственные числа имеют вид:

Например, для спектра решетки размером (3:2) получаем:

Подобные формулы имеют место и для трехмерной (кубической) решетки размером (k:l:m):

Наблюдаем перестановки.
По формулам (5.4), (5.5) можно определить среднее значение квадрата расстояний между узлами регулярной решетки (радиус) — сумма собственных чисел спектра.

Учитываем размер ячейки решетки

Для полноты картины хорошо бы выяснить, как на спектр влияют размеры ячейки (постоянной) решетки. Из соображений размерности логично предположить, что постоянная решетки должна входить в формулу для собственных значений как квадрат. Так и есть на самом деле:

Если ячейка решетки не квадратная, а прямоугольная (разные постоянные решетки для каждого направления), то и собственные числа будут отличаться. Для каждого измерения — своя постоянная решетки. Например, для прямоугольной решетки размерами a и b собственные числа будут иметь вид:

Если и ячейка решетки, и сама решетка являются несимметричными, то для вычисления собственных значений такой решетки необходимо следить в формулах за порядком измерений и размеров решетки. Например, собственные значения двумерной решетки размером (k:l) с прямоугольной ячейкой размера a x b выражаются формулой:

Здесь порядок размеров и размерностей важен, — размер a задает длину ячейки решетки в направлении k, а размер b в направлении l. Видна связь двумерного спектра с одномерным, — спектр одной мерности умножается на количество точек другой.

Аналогично будут выглядеть и формулы для 3-мерной решетки с учетом размера ячейки abc:

Псевдорешетки

Под двумерной псевдорешеткой здесь понимается совокупность двух одномерных, расположенных перпендикулярно друг к другу и пересекающихся в центре (образуют крест). Присоединяя к данной решетке еще одну одномерную по другой координате (перпендикулярно первым двум), получаем трехмерный крест (псевдорешетку).
Собственные числа спектра псевдорешеток определяются спектром одномерной решетки. Отличие лишь в количестве (размерности). Для двумерной решетки имеем два отличных от нуля собственных числа, для трехмерной — три:

Здесь n — количество узлов по одной координате (в одном из направлений). (5.6) выражает спектр координатных осей.

6. Сложение наборов

Сложные конфигурации наборов точек удобно разбивать на несколько простых. Поэтому критическим (важным) для спектрального анализа наборов расстояний является рассмотрение вопроса о спектрах объединения — как ведут себя спектры нескольких наборов.

Прежде всего отметим, что сложение любого набора с самим собой просто удваивает значение спектра (поскольку удваивается кратность точек набора).
Обратимся к спектрам решеток. Решетки удобны тем, что имеют относительно простые выражения для значений спектра. Это позволяет рассчитывать на получение явных формул для спектров сложения решеток.
Возьмем для простоты одномерную решетку. Объединим решетку с собой и начинаем сдвигать одну относительно другой. Как поведет себя собственное значение? Выражение для спектра двух одномерных решеток, состоящих из n узлов, с постоянной a, сдвинутых относительно друг друга на расстояние d имеет вид:

Убедиться в правильности формулы (6.1) можно тут.

Во-первых, очевидно, что при сдвиге на половину постоянной (d = a/2) должны получить значение спектра одномерной решетки, постоянная которой вдвое меньше постоянных складываемых решеток. Сравнивая (6.1) и (5.5'), получаем полезный функциональный инвариант для базового спектра g(n) и убеждаемся в его справедливости:

Во-вторых, при сдвиге на (d = na) должны получить значение спектра одномерной решетки с удвоенным количеством узлов. Отсюда получаем еще один решеточный инвариант, который также справедлив:

Итак, видим, что результирующее значение спектра объединения двух наборов может быть выражено как сумма трех членов — два из них представляют собой спектры индивидуальных наборов, а третий — спектр между наборами (взаимный спектр).

Проверим данное утверждение еще на одном примере. Будем объединять одномерные спектры с разной постоянной решетки. Фактически получим набор точек на прямой, отображающих частоту биений. Некоторые точки могут совпадать (кратность 2), и для простоты примем, что два набора выровнены по одной их крайних точек (начала совпадают).

Надо сказать, что значения объединенного спектра разных частот выглядят довольно загадочно.

Например, объединяя решетки из 5 точек, получаем следующие значения (в скобках через двоеточие приведены постоянные решеток):

Поскольку спектры индивидуальных решеток известны, то можем вычленить спектр взаимодействия и найти его явное выражение:

То есть выражение для взаимного спектра (в данном контексте — спектра квадрата расстояния) между наборами, состоящими из одномерных решеток разных постоянных (но одного размера) имеет вид:

Это выражение нами просто подобрано. Можно ли его вывести каким-либо образом из начальных данных, матрицы взаимных расстояний — вопрос открытый.

Рассмотрим еще одно объединение наборов, но уже не связанных с декартовыми решетками. Будем раздвигать в пространстве два множества из трех равноудаленных точек. В итоге получим вершины некой треугольной призмы с высотой h. Ожидаем, что в спектре появится 3-е собственное число (пространство). Его значение будет определяться размером высоты (взаимного удаления вершин двух равносторонних треугольников). Первые два значения спектра просто удваиваются:

В этом примере видим, что взаимный спектр также может быть выделен, как и спектры исходных наборов. В данной конфигурации значение взаимного спектра формирует новое собственное число (измерение).

Опять передышка

Выше рассмотрены спектры декартовых (прямоугольных) решеток, — все прочие типы оставим за скобками. Спектры таких решеток имеют явные и простые выражения.

Также просты спектры правильных многоугольников и многогранников.

Для куба и квадрата пересекаются со спектрами решеток.

Куб можно рассматривать как правильный многогранник с 8 вершинами, так и как кубическую решетку размеров (2:2:2). Отсюда вытекает формула связи между постоянной куба и радиусом его описанной окружности:

Решетки существуют не только в физическом пространстве. Временные отсчеты (такты, ритмы) — пример одномерной временной решетки.

Важным является расчет взаимного спектра двух множеств. Это позволяет выражать спектры сложных конфигураций через простые.

Для проверки приведенных формул понадобятся математические библиотеки (NumPy для Питона вполне подойдет).

Продолжение

Спектры расстояний простых наборов и их объединений (часть 2)