Введение
Данная статья не имеет отношения к циклу «Магия тензорной алгебры», но вызвана к жизни публикациями из него. Небрежно щелкая по ссылкам в поисковике набрел на обсуждение одной из своих статей, посвященных эффекту Джанибекова, и обратил внимание на справедливое замечание о том, что исследование устойчивости гайки Джанибекова по первому приближению не дает однозначного ответа на вопрос о том при каких параметрах движение будет устойчивым. Это так, поскольку корни характеристического полинома, при вращении вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции чисто мнимые, их действительная часть равна нулю. При таких условиях нельзя ответить на вопрос будет ли движение устойчивым, не проведя дополнительного исследования.
Интерпретация Мак-Куллага — наверно самое простое объяснение эффекта Джанибекова

Такое исследование можно выполнить используя метод функций Ляпунова (второй или прямой метод Ляпунова). И чтобы окончательно закрыть вопрос с гайкой Джанибекова, я решил написать эту заметку.
1.Дифференциальные уравнения возмущенного движения. Снова.
Пусть имеется система, в общем случае нелинейных дифференциальных уравнений движения некоторой механической системы
где
Решение системы (1)
Подставляя (3) в (1), получаем
Вычтем (1) из (4)
или
где
В нашем случае ограничимся рассмотрением автономной системы, где правая часть явно не зависит от времени
2. Xитрая функция V(x) — кандидат в функции Ляпунова
Рассмотрим некоторую скалярную функцию
определенную в некоторой окрестности начала координат, такой что
где
Функция (6) называется знакоопределенной, если в области (7) она принимает значения только одного знака (только положительные либо только отрицательные), и равна нулю лишь в начале координат (при
Функция (6) называется знакопостоянной, если в области (7) она принимает значения только одного определенного знака, но может обращаться в нуль и при
Вычислим полную производную от функции (6) по времени. Так как
что, принимая во внимание уравнение (5), эквивалентно соотношению
Функцию (8) называют полной производной функции (6) по времени, составленной в силу уравнения (5).
3. Теоремы Ляпунова об устойчивости
Два параграфа, что выше, написаны сухим математическим языком определений, и иначе наверное нельзя. Добавим ещё немного формальной математики, сформулировав
Теорема Ляпунова об устойчивости
Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция(функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакопостоянная, знака, противоположного V, либо тождественно равная нулю, то точка покоя системы (5)
устойчива
Под точкой покоя системы (5) здесь понимается её тривиальное решение, соответствующее невозмущенному движению рассматриваемой механической системы. Грубо говоря, согласно сформулированной теореме, следует подобрать функцию
Однако, в данной теореме не идёт речь об асимптотической устойчивости, то есть таком характере движения системы, при котором возмущенное её движение будет стремится к исходному установившемуся режиму. Под устойчивым здесь понимается и такое движение, при котором система будет колебаться в окретсности исходного установившегося режима, но никогда к нему не вернется. Условие асимптотической устойчивости будет более строгим
Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости
Если для системы уравнений (5) существует знакоопределённая функция(функция Ляпунова), полная производная по времени которой, составленная в силу системы (5) есть функция знакоопределенная, знака, противоположного V, то точка покоя системы (5)
асимптотически устойчива
Асимптотически устойчивая система, после возмущения, будет стремится вернуться к установившемуся режиму движения, то есть решение системы (5) будет сходится к началу координат
Эти теоремы дают путь к исследованию устойчивости линейных и нелинейных механических систем, более общий, чем исследование по первому приближению.
Другой вопрос, как найти функцию Ляпунова, удовлетворяющую уравнению (5) и требованиям теорем. Однозначного ответа на этот вопрос математика ещё не знает. Есть ряд работ, всецело посвященных этому вопросу, например книга Е. А. Барабашина «Функции Ляпунова». Для большинства линейных систем можно искать функции Ляпунова в виде квадратичных форм, например, для системы третьего порядка эта функция может быть такой
данная функция — определенно-положительная, причем в сколь угодно большой окрестности точки покоя системы. Или такая функция
будет знакопостоянной, положительной, ибо
В случае консервативных механических систем функцией Ляпунова может служить полная механическая энергия системы, которая, при отсутствии диссипации, является константой (знакопостоянна) и ещё производная по времени равная нулю — она ведь константа. И вытекает эта функция из системы уравнений движения, ибо является одним из её интегралов.
В случае с гайкой Джанибекова, в качестве весьма элегантного решения мной взята идея из книги А. П. Маркеева «Теоретическая механика». Это решение несколько переработано и расширено мной, чтобы быть в контексте ранее написанных статей.
4. Интегралы движения гайки Джанибекова
Получим два первых интеграла движения, опираясь на систему уравнений, приведенную в тензорном цикле. Оперировать будем тензорными соотношениями, чтобы не терять хватки. Итак, уравнение вращения гайки вокруг центра масс имеет вид
перейдем в данном уравнении к вектору МКД
Умножим уравнение (10) скалярно на удвоенный вектор МКД
Нетрудно заметить, что во втором слагаемом (11) свертка
или
Выражение (12) есть первый интеграл движения, выражающий постоянство модуля МКД рассматриваемой нами гайки. Чтобы получить ещё один первый интеграл движения, умножим (9) скалярно на вектор угловой скорости
после чего, внезапно, обнаруживаем во втором слагаемом свертку
Вспомним, ведь что-то похожее мы уже видели ранее. Ведь кинетическая энергия тела в его вращении относительно центра масс равна
и если мы продифференцируем её по времени, что получим
в соответствии с этим, мы можем переписать уравнение (13) и проинтегрировать его
Учитывая, что умножение константы на двойку не меняет её «константности», можно окончательно записать первый интеграл в компонентной форме (учитывая декартов базис!)
Выражение (14) выражает постоянство кинетической энергии вращения гайки вокруг центра масс. Осталось перейти в выражениях (12) и (14) к безразмерным моментам инерции
Полученные уравнения и есть те первые интегралы движения, которые мы используем для построения функции Ляпунова
4. Построение функции Ляпунова из интегралов движения
Метод построения функции Ляпунова из уравнений вида (15) носит название метода интегральных связок Четаева и говорит о том, что означенную функцию можно искать в виде связки интегралов движения вида
где
Невозмущенное вращение гайки происходит вокруг оси
или
При установившемся вращении гайки с постоянной угловой скоростью, константу
Функция Ляпунова будет иметь вид
Исходя из уравнений (15) понятно, что
Из первого уравнения системы (19) вычтем второе
Если
Уравнение (21) справедливо при
Таким образом, вращение гайки вокруг оси с наименьшим и наибольшим моментом инерции будет устойчивым по Ляпунову.
Однако, спешу заметить, что при
5. Неустойчивость вращения гайки Джанибекова
Сформулируем определение
Областьюбудем называть какую либо область окрестности
, где для некоторой функции
выполняется условие
, причем на границе области
и точка покоя системы принадлежит этой границе.
и теорему
Теорема Четаева о неустойчивости
Если дифференциальные уравнения возмущенного движения (5) таковы, что существует функция, такая, что в сколь угодно малой окрестности
существует область, и во всех точках этой области производная
в силу уравнений (5) принимает положительные значения, то невозмущенное движение неустойчиво.
Функция
Учитывая, что изначально вращение происходит с постоянной угловой скоростью
Построим функцию Четаева
Точка покоя системы лежит на границе
В силу того, что
Если же, как в рассматриваемом нами изначально случае,
Тогда область
так же будет положительна. Движение будет неустойчивым.
Заключение
Данная статья — дополнение к статье об устойчивости движения гайки Джанибекова. Основной материал взят из приведенных выше литературных источников, а так же сайта Math Help Planet. Авторский вклад в эту статью — поэтапное подробное рассмотрение второго метода Ляпунова на примере конкретной задачи. Кроме того, чуть более развернуто, чем в книге Маркеева, рассмотрен вопрос о неустойчивости движения применительно к различным вариантам соотношения между моментами инерции гайки.
Таким образом считаю, что я исправил недочет, связанный с неполнотой изложения вопроса о причинах эффекта Джанибекова. А заодно и сам подробнее изучил второй метод Ляпунова.
Благодарю читателей за проявленное внимание!