28 сентября viktorpanasiuk опубликовал задачу, решение которой призвано снизить издержки производства небезизвестной кондитерской фабрики, сделав её товар более конкурентноспособным на рынке и более доступным покупателю.

Необходимо было найти максимально допустимое отклонение массы конфеты при ее производстве, чтобы нетто коробки, состоящей из 12 штук их, не выходило за пределы 310±7 грамм в 90% случаев. Закон распределения считать нормальным.

Был получен ответ, что если среднеквадратичное отклонение

массы конфеты при производстве не превышает

=1,2248, то данная величина не ограничена сверху.

Под катом вас ожидает улучшение полученного результата по модулю некоторых, как мне кажется — разумных, предположений. Дальнейшее изложено недостаточно строго, но всё же требует знаний математического анализа и теории вероятности в объёме технического вуза.

Пусть масса коробки — нормально распределенная случайная величина. Пусть массы конфет это одинаковые независимые в совокупности абсолютно непрерывные случайные величины, с математическим ожиданием 310/12. Пусть при этом плотность распределения является симметричной относительно математического ожидания и не возрастает правее математического ожидания (соответственно не убывает левее). Пусть среднеквадратичное отклонение масс конфет

.

Оценим снизу максимально допустимое отклонение массы конфеты

.

Так как математическое ожидание масс конфет на решение не влияет, в дальнейшем я буду оперировать центрированными случайными величинами.

Очевидно, при

требуемуе условие будет выполнено с вероятностью 1. Ниже я покажу как данная оценка может быть улучшена до

.

Пусть f — плотность распределения массы конфеты. Тогда в силу определения условной вероятности новая плотность распределения будет иметь вид:

.

При этом новая случайная величина должна иметь среднеквадратичное отклонение

Разрешив полученное уравнение относительно

получаем нужную нам оценку при известной плотности распределения f.

Для дальнейшего рассуждения понадобится лемма:

Доказательство:

чтд.

Заметим, что если при x<a есть множество положительной меры где f(x)>f(a) или при a <x < a 3^(1/2) есть множество положительной меры где f(x) < f (a) то неравенство в формулировке леммы будет строгим.

Легко показать, что если f — плотность распределения равномерной случайной величины с математическим ожиданием 0 и

, то

.

Тогда, применив лемму, получаем что если распределение массы конфет неизвестно, но принадлежит описанному классу то

.

Что ещё можно сделать: оценить применимость ЦПТ (через критерий хи квадрат или неравенство Берри — Эссеена), найти на сколько полученная оценка хуже оптимальной при известных распределениях.

Спасибо тем кто дочитал до конца. Любите математику.

Задача о конфетах (улучшаем результат)