Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Большая витрина: от крупнейших школ до частных авторов. Сравнивайте по цене, длительности, формату и выбирайте самый подходящий курс!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 36
Вниз своей колоды можно незаметно положить туза и в нужный момент забирать королей или дам, вытягивая карту не сверху а снизу.
Не всё зависит от удачи ;-)
Не всё зависит от удачи ;-)
Как понятно из правил, победа в этой игре зависит исключительно от везения — победитель определяется раздачей карт, так как от игроков вообще ничего не зависит.
Ой ли?
Ведь после каждого сражения победитель забирает карты сражения себе в каком-то порядке. Т.е. происходит уже не случайная сортировка колоды. Вы можете положить их в каком-то порядке сознательно, зная какие карты перед этим пришли "на дно" колоды противника. Не вижу простой стратегии как это можно было бы использовать, но как минимум элемент "случайности" из игры уйдёт ещё до конца 1 прохода колоды (по мере выхода карт из игры "на дно" колод для 2 круга).
Т.е. если не будет ни одного спора в 1 круге, то уже к 18 сражению вы 100% будете знать какая карта будет следующей у вас, а какая у противника. А дальше… Дальше только в зависимости от того следили ли вы за выходящими картами и кто в каком порядке их "на дно" возвращает.
У каждого игрока колода будет кончаться в разное время.
Опять же нужно будет считать обе колоды (или откладывать вышедшие из игры, но выигранные карты в сторону), чтобы понимать когда колода закончилась.
Я конечно не претендую на истину в последней инстанции (об игре узнал из статьи, если честно), но мне кажется это усложнит игру, которая судя по названию должна быть максимально простой и доступной при максимальном отказе мозговой активности.
Опять же нужно будет считать обе колоды (или откладывать вышедшие из игры, но выигранные карты в сторону), чтобы понимать когда колода закончилась.
Я конечно не претендую на истину в последней инстанции (об игре узнал из статьи, если честно), но мне кажется это усложнит игру, которая судя по названию должна быть максимально простой и доступной при максимальном отказе мозговой активности.
Нет, не нужно. Иначе игра станет неинтересной.
Самая простая стратегия (если противник не пользуется ей же). В каждом сражении участвует чётное количество карт и обычно человек складывает свою выигрышную карту сверху. В результате на чётных позициях оказываются в среднем более сильные карты. Если вы будете убитую шестёрку перекладывать наверх, она с большей вероятностью на следующем круге попадёт на вражеского туза. Опытные игроки делают это совершенно незаметно.
Интересно, мне это не приходило в голову. Но тогда еще нужно как-то следить за тем, в каком порядке карты кладет "на дно" противник.
В любом случае, мой анализ предполагает, что карты кладутся "на дно" в случайном порядке — так мы с сыном играем.
В любом случае, мой анализ предполагает, что карты кладутся "на дно" в случайном порядке — так мы с сыном играем.
Простите, а я прав в предположении, что после деления карт у каждого игрока на руках по 18 карт будет, а поскольку в колоде по четыре карты каждого достоинства, то вероятности будут совсем другие?
Я так себе и представлял, у каждого игрока по 18 карт — скажем, мы ходим с Шестерки. Против нее случайным образов на сражение выходит одна из оставшихся 35 карт — из-за этого везде вероятности в форме х/35.
Я себе представляю так (так уж случилось, что я не получил высшего образования и у меня не было тервера):
Поскольку нам не важна масть, то вероятность наличия хотя бы одной шестёрки в нашей колоде — 1\9 (как и любой другой карты).
А как тут посчитать вероятность выпадения этой шестёрки самой первой из 18 карт?
Или правильно всё же считать сразу — выпадение шестёрки первой? Но правильно ли считать вероятность выпадения туза от 35 карт? Ведь до вытаскивания шестёрки у туза был ровно такой же шанс. И, по сути, после вытаскивания шестёрки мы колоду не тасовали, почему шанс должен меняться?
Я понимаю, что лучше бы мне взять и почитать учебник, но мне нравится правило "хочешь узнать правильный ответ — напиши неверный". На ошибках учиться как-то лучше получается.
Поскольку нам не важна масть, то вероятность наличия хотя бы одной шестёрки в нашей колоде — 1\9 (как и любой другой карты).
А как тут посчитать вероятность выпадения этой шестёрки самой первой из 18 карт?
Или правильно всё же считать сразу — выпадение шестёрки первой? Но правильно ли считать вероятность выпадения туза от 35 карт? Ведь до вытаскивания шестёрки у туза был ровно такой же шанс. И, по сути, после вытаскивания шестёрки мы колоду не тасовали, почему шанс должен меняться?
Я понимаю, что лучше бы мне взять и почитать учебник, но мне нравится правило "хочешь узнать правильный ответ — напиши неверный". На ошибках учиться как-то лучше получается.
Все верно, я как раз писал про эту проблему где-то в середине поста. То, как я предлагаю высчитывать вероятности второго и последующих сражений корректно для случая, в котором колода тасуюется после каждого хода. У меня есть лишь надежда, что эти ошибки в вероятности как-то одинаково влияют на все карты, и поэтому результат все равно корректный. Но доказать я тут ничего не могу.
Я тут в отрыве от компьютера вспомнил ещё одну вещь, которая зацепила и не отпускает:
Вы ищете вероятность для события "Шестёрка против Туза" ведь? Может тогда правильней считать, каков шанс на выпадение этой комбинации из всех возможных пар, которые на картах получатся?
Тогда из 630 возможных пар, ситуация "Шесть против Туза" возможна в 16 вариантах. А вот спор, когда выпадает ещё одна Шестёрка — всего лишь в 6 вариантах.
Вы ищете вероятность для события "Шестёрка против Туза" ведь? Может тогда правильней считать, каков шанс на выпадение этой комбинации из всех возможных пар, которые на картах получатся?
Тогда из 630 возможных пар, ситуация "Шесть против Туза" возможна в 16 вариантах. А вот спор, когда выпадает ещё одна Шестёрка — всего лишь в 6 вариантах.
Вы под "вероятность наличия хотя бы одной шестёрки в нашей колоде" подразумеваете, что на нашей руке есть от одной до четырёх шестёрок?
При решении задач по теории вероятностей очень важны формулировки :)
При решении задач по теории вероятностей очень важны формулировки :)
Я подразумеваю, что у нас есть минимум одна шестёрка. Ведь вероятность такого события выше, чем вероятность сразу двух шестёрок в нашей ополовиненной колоде?
Но в контексте данной задачи правильно ли высчитывать вероятность наличия каждой карты в колоде?
Я правильного ответа не знаю, потому и задаю такие вопросы.
Но в контексте данной задачи правильно ли высчитывать вероятность наличия каждой карты в колоде?
Я правильного ответа не знаю, потому и задаю такие вопросы.
Любопытно, когда в детстве учили играть, я то ли забыл про маневр с 6, то ли это опустили — играл с тех пор по более простым правилам: туз забирал и 6. Игра, на самом деле очень интересная с точки зрения подсчета карт и вырабатывания стратегии. К примеру, случалось, что споров нет и все карты проходили просто оборот и если число карт оставалось кратным (18:18, 24:12, 30:6), то могло произойти "зацикливание". Вероятно, дабы такого не было и вводится правило 6 сильнее туза.
На счёт случайности я тоже выработал стратегию — ввёл для себя понятие "боссы" и "пешки" — всегда в колоде, после первого оборота у меня было пешка-босс-пешка-босс-пешка...-босс, только если не вклинивался спор. Спор, кстати, тоже шел в порядке: "пешка-спор", т.е. тот, что отыграл, а после него свой "босс-спор". Такой спартанский порядок позволял частенько выигрывать. А когда знакомые начинали понимать фишку, то я вводил хитрость: ведь если в моей колоде было п-б-п-б-...-б, то у другого игрока было б-п-б-п-..-п. И с тузами я делал изменение порядка: п-б-б(туз)-п-п-б-...-б и таким образом удавалось частенько забирать много "боссов" другого игрока. Если не нарывался на туза (и спор, ведь правило о 6 я не знал), то стратегия прекрасно себя окупала.
Не очень силён в статистике, поэтому спрошу: верно ли я понял, что можно сдать карты, посчитать у себя и противника тузов и королей и с большой долей вероятности сразу объявить победителя?
Да
Но это всё равно, что вместо просмотра фильма прочитать спойлер в википедии.
В общем-то да.
Кстати, в качестве проверки, если сложить ценность всех 9 карт — получается 9. Этого и следует ожидать, так как если раздать всю колоду одинаково на двоих (у обоих 18 равных карт), то ожидается что у тебя так и останется 18 карт.
У Туза ценность 4.2, это само по себе уже почти половина от 9. Так что тузы — самое главное, но Короли тоже еще оказывают какое-то влияние.
Кстати, в качестве проверки, если сложить ценность всех 9 карт — получается 9. Этого и следует ожидать, так как если раздать всю колоду одинаково на двоих (у обоих 18 равных карт), то ожидается что у тебя так и останется 18 карт.
У Туза ценность 4.2, это само по себе уже почти половина от 9. Так что тузы — самое главное, но Короли тоже еще оказывают какое-то влияние.
Я, кстати говоря, забыл написать зачем я стал все это расчитывать — я хотел понять насколько именно нужно радоваться и расстраиваться когда выигрываю или проигрываю ту или иную карту :)
Прикольная задачка.
Вот как можно ее решить (и все подобные) в немного другой (более простой) постановке.
Положим, что каждая карта — это игрок. А все сражения между картами — это просто результаты турнира.
Тогда таблица результатов может быть записана проще и нагляднее,- примерно так:
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1
Это матрица смежности графа.
Все, что нам надо — вычислить потенциалы узлов (хм, тут должна быть ссылка куда-то наверное, — может на PageRank) — то есть грубо говоря, найти значимость узлов. Расчет потенциалов сводится к расчету миноров лапласиана от матрицы смежности, — то есть без всяких циклов можно просто посчитать определители (на самом деле — еще проще через обратную матрицу, но это нюансы).
Вектор результатов (ценности карт) получается такой:
6 5040
7 720
8 960
9 1344
10 2016
В 3360
Д 6720
К 20160
Т 35280
Отличается от вашего вектора в 8.4 раза.
То есть действительно ценность 6-ки лежит между валетом и дамой. Не знал ).
Думаю, что можно найти и явные выражения для потенциалов, поскольку матрица смежности проста.
Вот как можно ее решить (и все подобные) в немного другой (более простой) постановке.
Положим, что каждая карта — это игрок. А все сражения между картами — это просто результаты турнира.
Тогда таблица результатов может быть записана проще и нагляднее,- примерно так:
0 0 0 0 0 0 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 1 0 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 0
0 1 1 1 1 1 1 1 1
Это матрица смежности графа.
Все, что нам надо — вычислить потенциалы узлов (хм, тут должна быть ссылка куда-то наверное, — может на PageRank) — то есть грубо говоря, найти значимость узлов. Расчет потенциалов сводится к расчету миноров лапласиана от матрицы смежности, — то есть без всяких циклов можно просто посчитать определители (на самом деле — еще проще через обратную матрицу, но это нюансы).
Вектор результатов (ценности карт) получается такой:
6 5040
7 720
8 960
9 1344
10 2016
В 3360
Д 6720
К 20160
Т 35280
Отличается от вашего вектора в 8.4 раза.
То есть действительно ценность 6-ки лежит между валетом и дамой. Не знал ).
Думаю, что можно найти и явные выражения для потенциалов, поскольку матрица смежности проста.
Поправка (непринципиальная) — не в 8.4 раза, а в 8400 раз, конечно.
Звучит очень круто! Можно ссылку пожалуйста? Хочется понять, что значат все эти слова — я-то сам с трудом вспомнил про то как матрицы перемножают :)
На простые и понятные статьи про лапласианы и их потенциалы я навскидку ссылок не вспомню.
Надо бы написать, конечно, в формате хабра.
Сам про них узнал несколько лет назад, когда разбирался с расчетом рейтингов и самооценок, — поэтому ваша задача и показалась знакомой.
Есть википедия — про матрицу лапласиана. Другое название — матрица Кирхгофа.
Дополнительный минор лапласиана — это когда вы из него удаляете строку и столбец и считаете определитель оставшейся матрицы.
То есть для получения потенциала 6-ки надо удалить из лапласиана от приведенной выше матрицы 1-й столбец и строку.
Можете все посчитать прямо в экселе.
Кстати, еще заметил, что все приведенные выше потенциалы кратны 16, так что можно сократить:
6 315
7 45
8 60
9 84
10 126
В 210
Д 420
К 1260
Т 2205
И еще — разложение приведенных потенциалов на простые множители включает только 2, 3, 5 и 7. Почему — пока неясно, но, повторюсь, что скорее всего можно общую формулу найти для потенциалов матриц приведенного выше типа (диагональных единиц с одним выколом в углу).
Надо бы написать, конечно, в формате хабра.
Сам про них узнал несколько лет назад, когда разбирался с расчетом рейтингов и самооценок, — поэтому ваша задача и показалась знакомой.
Есть википедия — про матрицу лапласиана. Другое название — матрица Кирхгофа.
Дополнительный минор лапласиана — это когда вы из него удаляете строку и столбец и считаете определитель оставшейся матрицы.
То есть для получения потенциала 6-ки надо удалить из лапласиана от приведенной выше матрицы 1-й столбец и строку.
Можете все посчитать прямо в экселе.
Кстати, еще заметил, что все приведенные выше потенциалы кратны 16, так что можно сократить:
6 315
7 45
8 60
9 84
10 126
В 210
Д 420
К 1260
Т 2205
И еще — разложение приведенных потенциалов на простые множители включает только 2, 3, 5 и 7. Почему — пока неясно, но, повторюсь, что скорее всего можно общую формулу найти для потенциалов матриц приведенного выше типа (диагональных единиц с одним выколом в углу).
Да, как я и предполагал — нашлось явное выражение для потенциалов (значимости) карт.
Возможно, пояснения требуют отдельной статьи,- тут пока отпишусь для фиксации формул.
Обозначим количество карт разного достоинства через n (для колоды в 36 карт n = 36/4 = 9, для колоды в 52 — n = 13).
Достоинства карт пронумеруем от 1 (самая младшая,- 6-ка для 36, 2-ка для 52) до n (самая старшая — туз) и обозначим через k.
Тогда имеем три формулы для потенциалов достоинств U(k, n):
Для колоды из 36 карт получаем приведенные выше цифры:
U(1,9) = (9-2)! = 5040 — шестерка
U(9,9) = (9-2)!(9-2) = 50407 = 35280 — туз
U(6,9) = 2!8! / 4! = 25678 = 3360 — валет
Из формул видно, например, что отношение потенциала условного туза к условной шестерке всегда равно (n-2).
А отношение туза к королю — U(n,n) / U(n-1,n) = 2(n-2) / (n-1).
Ну и т. д.
Возможно, пояснения требуют отдельной статьи,- тут пока отпишусь для фиксации формул.
Обозначим количество карт разного достоинства через n (для колоды в 36 карт n = 36/4 = 9, для колоды в 52 — n = 13).
Достоинства карт пронумеруем от 1 (самая младшая,- 6-ка для 36, 2-ка для 52) до n (самая старшая — туз) и обозначим через k.
Тогда имеем три формулы для потенциалов достоинств U(k, n):
- Для k = 1: U(1,n) = (n-2)! — это потенциал самых младших карт (шестерок), которые бьют туза, но проигрывают всем остальным.
- Для k = n: U(n,n) = (n-2)!(n-2) — это потенциал самых старших карт, которые бьют всех, но проигрывают шестеркам.
- Для 1 < k < n: U(k,n) = (n-k-1)!(n-1)! / (n-k+1)! — это потенциалы всех остальных карт.
Для колоды из 36 карт получаем приведенные выше цифры:
U(1,9) = (9-2)! = 5040 — шестерка
U(9,9) = (9-2)!(9-2) = 50407 = 35280 — туз
U(6,9) = 2!8! / 4! = 25678 = 3360 — валет
Из формул видно, например, что отношение потенциала условного туза к условной шестерке всегда равно (n-2).
А отношение туза к королю — U(n,n) / U(n-1,n) = 2(n-2) / (n-1).
Ну и т. д.
Тут где-то потерялись знаки умножения. Похоже, маркдаун-разметка постаралась.
Было бы интересно почитать статью с картинками и пояснениями на пальцах к этим формулам — почему они именно такие.
И сферу применения — где, помимо карт, это принесло бы пользу.
Было бы интересно почитать статью с картинками и пояснениями на пальцах к этим формулам — почему они именно такие.
И сферу применения — где, помимо карт, это принесло бы пользу.
Для завершенности картины приведем явные формулы для профита карты — количества ожидаемых приобретений.
Профит — это относительная ценность (потенциал) карты, умноженная на количество карт (n).
Для вычисления относительной ценности надо поделить потенциал карты на сумму потенциалов всех карт.
Сумма потенциалов карт может быть вычислена по формуле:
S(n) = Sum(k){U(k,n)} = (n-2)! (2n-3)
Тогда профит 6-ки равен:
P(1,n) = U(1,n)* n / S(n) = n/(2n — 3)
Для 36-колоды получаем P(1,9) = 9/15 = 3/5 = 0.6. Именно эта цифра приведена в статье.
А профит туза — P(n,n) = U(n,n)* n / S(n) = n(n — 2) / (2n — 3),
Для стандартной колоды — P(9,9) = 97 / 15 = 0.6 7 = 4.2.
Профит — это относительная ценность (потенциал) карты, умноженная на количество карт (n).
Для вычисления относительной ценности надо поделить потенциал карты на сумму потенциалов всех карт.
Сумма потенциалов карт может быть вычислена по формуле:
S(n) = Sum(k){U(k,n)} = (n-2)! (2n-3)
Тогда профит 6-ки равен:
P(1,n) = U(1,n)* n / S(n) = n/(2n — 3)
Для 36-колоды получаем P(1,9) = 9/15 = 3/5 = 0.6. Именно эта цифра приведена в статье.
А профит туза — P(n,n) = U(n,n)* n / S(n) = n(n — 2) / (2n — 3),
Для стандартной колоды — P(9,9) = 97 / 15 = 0.6 7 = 4.2.
Поздравляю, вы почти изобрели цепи Маркова :-)
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
О ценности карт в игре «Пьяница»