Sorbo 29 мая 2017 в 10:41

Квадратичное уравнение с комплексными числами в 3D

1 мин

11K

Всем привет! Со школы, решая квадратичные уравнения ( КУ ), например $inline$ , получал корни обладающие мнимой составляющей, $x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt3}{2}$ , и при желании увидеть как график пересекает ось $inline$ в точках $x=-\frac{1}{2}\pm i \frac{\sqrt3}{2}$ , в интернете находил графики вроде:

Как график с мнимой частью выглядит ( по моим размышлениям ) в 3D ( $X\bot Y\bot I$ ), и есть тема данной статьи.

PS: Под катом тяжёлые анимации

Как обычно, график ф-кции состоит из точек, а точки строятся по пересечению осей $inline$ и $inline$ .
График ф-ции с комплексной составляющей $Y_{complex}=F(X_{complex})$ ,

где $X_{complex}=X_{re}+X_{im}=$ $\begin{bmatrix}X_{re} \\X_{im}\end{bmatrix}$ — вектор

$Y_{complex}=Y_{re}+Y_{im}=\begin{bmatrix}Y_{re} \\Y_{im}\end{bmatrix}$ — вектор

$X_{complex}$ можно представить в виде 3-х мерного вектора $\begin{bmatrix}X_{re} \\ 0 \\X_{im}\end{bmatrix}$
$[X_{re}] - ось X$
$inline$
$[X_{im}] - ось I$
Аналогично $Y_{complex}\begin{bmatrix}0\\ Y_{re} \\Y_{im}\end{bmatrix}$
$inline$
$[Y_{re}] - ось Y$
$[Y_{im}] - ось I$

Точка пересечения $X_{complex}$ и $Y_{complex}$ будет равна сумме векторов $X_{complex}$ и $Y_{complex}$

$\begin{bmatrix}X_{re} \\ 0 \\X_{im}\end{bmatrix}$ + $\begin{bmatrix}0\\ Y_{re} \\Y_{im}\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}X_{re} \\ Y_{re} \\X_{im}+Y_{im}\end{bmatrix}$

С пересечением разобрался.

Далее для построения графика нужно определиться с изменением $X_{re}$ и $X_{im}$ вдоль оси $X_{complex}$ , для этого нужен корень КУ. Есть два варианта:

Сделать $X_{im}$ константой и изменять только $X_{re}$ из корня КУ;
Получить угол между $X_{re}$ и $X_{im}$ из корня КУ и перемещаться вдоль $X_{complex}$ , наращивая $X_{re}$ , $X_{im}$ вычислять с учётом угла и $X_{re}$ .