Задачка: найти треугольник с меньшим периметром

[@maximw]

Что-то не совсем понял доказательство минимальности использованного решения.

UPD. Понял.

[@romankonstant]

Что-то не совсем понял, когда задачи для 9 класса стали появляться на Хабре.

UPD. Я шучу, конечно, сам когда-то сидел ломал над ней голову.

[@Bronx]

В принципе, это оптический метод: зная, что из всех альтернативных путей свет выбирает кратчайший, мы можем представить, что AB и АС — это отражающие поверхности, и искомый треугольник будет образован лучом света, испускаемым из D и попадающим обратно в D. Решением будет путь, при котором угол падения луча DF (или DL) равен углу отражения луча FE (или LF). D1 и D2 — это изображения D в зеркалах.

[@novoselov]

Блин, я подумал у меня экран грязный :)

[@ky0]

Краткость — сестра таланта, а не кроткость.

[@samodum]

Решал я такую задачку в Euclidea. Под номером 8.1

[@PoznyakBogdan]

На мой взгляд это наиболее решение, чем то что описывалось в статье.

[@ser-mk]

Интереснее подробнее узнать какие преимущества это решение обладает по сравнению с доказательством из статьи

[@msdos9]

даже условие не понял…

[@Zenitchik]

Пардон за оффтоп, но у меня первой мыслью было вывести функцию периметра треугольника от его стороны, лежащей на одной из сторон данного угла, и минимизировать её.

Спасибо за решение, прочитал с интересом. На досуге повторю, чтобы врубиться в доказательство.

[@mbait]

Условие можно трактовать двояко. Было бы лучше уточнить, что искомый треугольник это DD1D2, а не AD1D2, например.

[@ndiezel]

Сначала так и подумал. Мол будет бесконечно малый периметр. Всю статью не понял, что автор пытался сделать.

[@progress_man]

Что-то я не понял, так как были найдены точки D1 и D2?

[@AnROm]

D1 и D2 строятся симметрично относительно AC и AB: проводятся перпендикуляры к прямым, на продолжении перпендикуляров с другой стороны от прямых откладываются равные отрезки. В данном случае DL = LD1 и DK= KD2.

[@progress_man]

А, теперь понял, спасибо! Без Вашего разъяснения не понял, что DL = LD₁ и DK= KD₂

[@sanu001]

Эту задачу мне задали на вступительных экзаменах на Физтех в 1984 году — дали 5 минут на решение.

[@AgentSmith]

Спасибо, это была очень важная и полезная информация.

[@maisvendoo]

Классная задачка

Задачка из той же оперы, но в 3D

Внутри прямоугольной комнаты, имеющей 30 футов в длину и по 12 футов в ширину и высоту, на середине одной из торцовых стен в 1 футе от потолка сидит паук (точка А). Муха сидит на середине противоположной стены в 1 футе от пола (точка В). Каково кратчайшее расстояние, каким паук может добраться до неподвижной мухи? Разумеется, паук никогда не падает и не использует для передвижения паутины.

[@LoadRunner]

А почему задачка из той же оперы? Там есть какой-то скрытый подвох и неочевидное решение? Она-то как раз в лоб легко решается через построение перпендикуляров.

[@Bronx]

Если у вас получилось «42», то это ответ к совсем другой задаче :) У этой правильный ответ — «40»

[@LoadRunner]

Так в чём же подвох тогда?

[@Bronx]

Сделайте разные развертки параллелепипеда, поищите возможные «кратчайшие» (т.е. прямолинейные) пути на развёртке (их там больше одного) и сравните их длины.

[@LoadRunner]

Всего возможны две принципиально разные развёртки (другие зеркальны первым двум). По одной из них кратчайшее расстояние — путь от паука до пола вниз по стене, потом до стены, потом до мухи вверх по стене. Это 42.
По другой — гипотенуза треугольника с катетами 42 и 10. Но гипотенуза будет уже больше 42, так что этот вариант отметаем.
Я опять не понимаю, что упускаю из вида и как у Вас получается 40.

[@AnROm]

[@LoadRunner]

Мой мозг сломался так же, как эта прямая линия. Теперь вижу, что развёрток больше двух :)

[@0507033]

У задачи есть более короткое и красивое решение. Рассмотрим вневписанную окружность треугольника, касающуюся стороны BC. Пусть точки касания с продолжениями сторон AB и AC — K и L. Несложно посчитать, что AK=AL=P/2, где P — периметр.

Тогда задача сводится к такой: вписать окружность минимального размера в угол BAC так, чтобы она была вневписанной окружностью. Очевидно, для этого она должна проходить через точку D.



Теперь задача сводится к такой: вписать окружность в данный угол так, чтобы она проходила через данную точку. Это совсем несложно (впишем произвольную окружность в угол, проведём луч через вершину угла и данную точку, сожмём полученную картинку в нужное число раз).