Здравствуй, %username%!
Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
Приятного чтения!
Итак, перейдем к более интересным и чуть более сложным операциям.
Я расскажу про показательную форму комлексного числа,
возведение в степень, квадратный корень, модуль, а также про синус и
косинус комплексного аргумента.
Думаю, начать стоит с модуля комплексного числа.
Комплексное число можно представить на оси координат.
По x будут расположены вещественные числа, а по y мнимые.
Это называется комплексная плоскость. Любое комплексное число, например
очевидно можно представить как радиус-вектор:
Формула расчета модуля будет выглядить так:
Получается, что модуль комплексного числа z будет равен 10.
В прошлой части я рассказал про две формы записи комплексного числа:
алгебраическую и геометрическую. Есть еще показательная форма записи:
Здесь r — это модуль комплексного числа,
а φ — это arctg(y/x), если x>0
Если x<0,y>0 то
Если x<0,y<0 то
Есть замечательная формула Муавра, которая позволяет возвести комплексное число в
целую степень. Она была открыта французким математиком Абрахом де Муавром в 1707 году.
Выглядит она вот так:
В результате можем возвести число z в степень a:
Если Ваше комплексное число записано в показательном виде, то
можно использовать формулу:
Теперь, зная как находится модуль комплексного числа и формулу Муавра, можем найти
n корень из комплексного числа:
Здесь k это числа от 0 до n-1
Из этого можно сделать вывод, что существует ровно n различных корней n-ой
степени из комплексного числа.
Перейдем к синусу и косинусу.
Расчитать их нам поможет знаменитая формула Эйлера:
Кстати, еще существует тождество Эйлера, которое является частным
случаем формулы Эйлера при x=π:
Получаем формулы для вычисления синуса и косинуса:
Под конец статьи нельзя не упомянуть практическое применение комплексных
чисел, чтобы не возникало вопроса
сдались эти комплексные числа?
Ответ: в некоторых областях науки без них никак.
В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.
Надеюсь, теперь вы умеете оперировать комплексными числами и сможете
применять их на практике.
Если что-то в статье непонятно — пишите в комментариях, отвечу.
Я получил довольно много отзывов о первой части и постарался все их учесть.
В первой части я писал о сложении, вычитании, умножении и делении комплексных чисел.
Если не знаешь это — скорей беги читать первую часть :-)
Статья оформлена в виде шпарлагки, истории здесь крайне мало, в основном формулы.
Приятного чтения!
Итак, перейдем к более интересным и чуть более сложным операциям.
Я расскажу про показательную форму комлексного числа,
возведение в степень, квадратный корень, модуль, а также про синус и
косинус комплексного аргумента.
Думаю, начать стоит с модуля комплексного числа.
Комплексное число можно представить на оси координат.
По x будут расположены вещественные числа, а по y мнимые.
Это называется комплексная плоскость. Любое комплексное число, например
очевидно можно представить как радиус-вектор:
Формула расчета модуля будет выглядить так:
Получается, что модуль комплексного числа z будет равен 10.
В прошлой части я рассказал про две формы записи комплексного числа:
алгебраическую и геометрическую. Есть еще показательная форма записи:
Здесь r — это модуль комплексного числа,
а φ — это arctg(y/x), если x>0
Если x<0,y>0 то
Если x<0,y<0 то
Есть замечательная формула Муавра, которая позволяет возвести комплексное число в
целую степень. Она была открыта французким математиком Абрахом де Муавром в 1707 году.
Выглядит она вот так:
В результате можем возвести число z в степень a:
Если Ваше комплексное число записано в показательном виде, то
можно использовать формулу:
Теперь, зная как находится модуль комплексного числа и формулу Муавра, можем найти
n корень из комплексного числа:
![$\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{r}\;cos{\frac{\phi+2\pi k}{n}}+i*sin{\frac{\phi+2\pi k}{n}}$](https://habrastorage.org/getpro/habr/formulas/958/f58/029/958f5802949dcae957c15fd208142564.svg)
Здесь k это числа от 0 до n-1
Из этого можно сделать вывод, что существует ровно n различных корней n-ой
степени из комплексного числа.
Перейдем к синусу и косинусу.
Расчитать их нам поможет знаменитая формула Эйлера:
Кстати, еще существует тождество Эйлера, которое является частным
случаем формулы Эйлера при x=π:
Получаем формулы для вычисления синуса и косинуса:
Под конец статьи нельзя не упомянуть практическое применение комплексных
чисел, чтобы не возникало вопроса
сдались эти комплексные числа?
Ответ: в некоторых областях науки без них никак.
В физике в квантовой механике есть такое понятие как волновая функция, которая сама по себе комплекснозначна.
В электротехнике комплексные числа нашли себя в качестве удобной замены дифурам, которые неизбежно возникают при решении задач с линейными цепями переменного тока.
В теореме Жуковского (подъемная сила крыла) тоже используются комплексные числа.
А еще в биологии, медицине, экономике и еще много где.
Надеюсь, теперь вы умеете оперировать комплексными числами и сможете
применять их на практике.
Если что-то в статье непонятно — пишите в комментариях, отвечу.