Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Большая витрина: от крупнейших школ до частных авторов. Сравнивайте по цене, длительности, формату и выбирайте самый подходящий курс!
Хабр доступен 24/7 благодаря поддержке друзей
Комментарии 25
Автору заслуженный плюс. Но, нередко, хорошая, но сложная статья получает мало комментариев — на самом деле трудно что-то добавить тем (многим), для кого материал нов. Спасибо!
Смутное чувство что при описании мозаик Пенроуза перепутаны понятия повторяемость и периодичность.
Кто хочет порисовать плитки сам, вот статья в которой объяснено как это сделать.
Кто хочет пособирать мозаики Пенроуза и квазикристаллы сам — вот конструктор Zometool, который поможет вам сломать мозг.
Клинический профессор математики— норм должность.
А существует ли прикладное применение мозаик Пенроуза в криптографии?
Спасибо! Очень интересно! Сказать спасибо по-другому кармы не хватает, увы.
Спасибо за статью. Совмещение визуализации с изложением математической сути — вот чего мне всегда не хватало при изучении математики. В графическом виде некоторые математические курьезы, интересные явления и абстракции завораживают гораздо больше, чем в численном.
Люди, равнодушные к математике, глухие к ней, всегда казались мне калеками! Они беднее на целый мир — такой мир! Они даже не догадываются, что он существует! Математическое построение — это безмерность, оно ведёт, куда хочет, человек будто создаёт его, а в сущности лишь открывает ниспосланную неведомо откуда платоновскую идею, восторг и бездну, ибо чаще всего она ведёт в никуда…
Станислав Лем
«Формула Лимфатера»
У меня у одного возникло желание иметь такую кафельную плитку в доме?
Спасибо! Теперь буду знать применение пятиосевой симметрии. Очень познавательно. Паркет из таких плиток станет золотым в силу своих пропорций ;)
Жаль, что карма не позволяет плюсануть.
Жаль, что карма не позволяет плюсануть.
1) Углы поворота кратны 36 градусам.
В статье «Тридцать шесть градусов красоты» представлена вся математика десятиугольной симметрии, принцип построения мозаики, все её виды, и текст готовой к запуску JS-программы. А в комментариях ссылки на интерактивные демонстрационные файлы.
3) Мозаика пенроуза повторяет принципы комбинации на различных уровнях масштаба. Причем, переход вниз, на более частный уровень однозначный, а при переходе вверх, на более общий уровень, существуют варианты, связанные с тем, что некоторые локальные комбинации могут входить в различные глобальные.
На удалении положения плиток зависит от того, как они входят в плитку на общем уровне, при последовательном определении каждого общего уровня могут быть варианты.
2) Мозаику пенроуза можно построить симметрично, и центр построить как «левый» центр, или как «правый» центр. В общем смысле это как выбрать число, цифры которого будут выбирать какой вариант построения выбран при расширении. «Правый» и «левый» это как «все цифры после запятой нули» и «все цифры после запятой девятки». Но существуют и промежуточные варианты, и их столько же, сколько самих чисел. И все они не могут быть наложены друг на друга потому, что как любые два различных числа имеют первую цифру с которой они различаются, так и различные мозаики начиная с некоторого уровня масштабирования перестают совпадать.
В статье «Тридцать шесть градусов красоты» представлена вся математика десятиугольной симметрии, принцип построения мозаики, все её виды, и текст готовой к запуску JS-программы. А в комментариях ссылки на интерактивные демонстрационные файлы.
3) Мозаика пенроуза повторяет принципы комбинации на различных уровнях масштаба. Причем, переход вниз, на более частный уровень однозначный, а при переходе вверх, на более общий уровень, существуют варианты, связанные с тем, что некоторые локальные комбинации могут входить в различные глобальные.
На удалении положения плиток зависит от того, как они входят в плитку на общем уровне, при последовательном определении каждого общего уровня могут быть варианты.
2) Мозаику пенроуза можно построить симметрично, и центр построить как «левый» центр, или как «правый» центр. В общем смысле это как выбрать число, цифры которого будут выбирать какой вариант построения выбран при расширении. «Правый» и «левый» это как «все цифры после запятой нули» и «все цифры после запятой девятки». Но существуют и промежуточные варианты, и их столько же, сколько самих чисел. И все они не могут быть наложены друг на друга потому, что как любые два различных числа имеют первую цифру с которой они различаются, так и различные мозаики начиная с некоторого уровня масштабирования перестают совпадать.
Всё вместе непериодично, но попадаются небольшие одинаковые куски.
Вот очень упрощённый пример: ABCDABEFGHI, кусочек AB повторился, но весь текст не периодичен.
Вот очень упрощённый пример: ABCDABEFGHI, кусочек AB повторился, но весь текст не периодичен.
Хм, нет, я показал небольшой кусочек последовательности, а вы её просто повторили. Продолжение же моей последовательности не такое. К примеру, пусть будет ABCDABEFGHIJKLMNZ.
Если на этом примере не понятно, то вот другой. Число пи — иррациональное, с этим, полагаю, вопросов нет. В числе пи последовательность не повторяется и не имеет патерна (иначе бы пи было дробным, а не иррациональным). Но, тем не менее, в числе пи можно найти одинаковые куски. Вот пример:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
44592307816406286208998628034825342117067982148086513282306
64709384460955058223172535940812848111745028410270…
Патерн «59» тут можно найти 3 раза. Можно поискать более длинные повторения и они найдутся. Но пи всё равно остаётся иррациональным, «непериодическим».
Надеюсь, с таким примером понятнее.
Если на этом примере не понятно, то вот другой. Число пи — иррациональное, с этим, полагаю, вопросов нет. В числе пи последовательность не повторяется и не имеет патерна (иначе бы пи было дробным, а не иррациональным). Но, тем не менее, в числе пи можно найти одинаковые куски. Вот пример:
3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749
44592307816406286208998628034825342117067982148086513282306
64709384460955058223172535940812848111745028410270…
Патерн «59» тут можно найти 3 раза. Можно поискать более длинные повторения и они найдутся. Но пи всё равно остаётся иррациональным, «непериодическим».
Надеюсь, с таким примером понятнее.
А вот тупой вопрос — можно ли, используя факт наличия повторяющихся кусков, замкнуть мозаику Пенроуза на торе например?
Нет (если она таки не имеет периода), поскольку если есть способ замкнуть мозаику Пенроуза на торе, то можно развернуть поверхность тора в периодически замощенную плоскость, что противоречит имеющейся информации об отсутствии периода у мозаики Пенроуза. Хотя если строить именно периодические структуры (ромбы из «змеев» и «дротиков» и ими мостить тор), то можно, но это уже не мозаика Пенроуза.
Думаю, можно, но придётся потрудиться. Идея такова: мозайка не имеет периода и повторений (глобально), но локально одинаковые куски можно найти. Значит вероятно можно найти что-то похожее на прямоугольник (с ломаной линией вместо прямых отрезков). Прямоугольник нужен такой чтобы его противоположные отрезки друк к другу подходили.
А тор — это прямоугольник свёрнутый в рубочку, которую потом опять свернули. Не уверен, что без рисунка идея ясна, но как-то так.
Это всё, если тор не бесконечный, конечно.
А тор — это прямоугольник свёрнутый в рубочку, которую потом опять свернули. Не уверен, что без рисунка идея ясна, но как-то так.
Это всё, если тор не бесконечный, конечно.
Целые числа имеют ограниченное количество цифр. Дробные числа могут иметь бесконечность цифр. Место в мозаике описывается некоторым числом. Оно дробное, но мы привыкли, что чем дальше цифра в дроби, тем меньше она влияет, а здесь наоборот: чем дальше цифра (означающее выбор варианта группировки элементов при масштабировании), тем на большем масштабе её влияние. И хорошо, что существуют границы восприятия масштаба и мы можем на некотором этапе остановиться, и изобразить мозаику. При этом совершенно без понятия где находится центр, положением относительно которого должно было бы быть задано место изображаемого фрагмента. Но всё же, положение задано числом, с приемлемой точностью.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Невозможная сковорода и другие победы плиток Пенроуза