Когда-то при начале программирования мне часто требовалось изобразить линию известной длины под углом. А чтобы рассчитать координаты, использовались функции, которые принимают аргументы в радианах. Помнится, в той среде программирования не было предопределённых констант, без запоминания числа пи было не обойтись.
Число пи очень подходит чтобы запомнить какие-нибудь цифры. Оно достаточно известно, имеет практический смысл (хотя на практике достаточно дроби 355/113), и достаточно непредсказуемый порядок, чтобы именно помнить, а не выводить. И оно никогда не изменится.
И вот мы запомнили пару-тройку десятков цифр. Однако, что делать, если нам надо срочно себя проверить, а рядом компьютер без интернета, но с офисными программами? Сотня цифр просто так нигде не хранится.
Но оказывается, можно построить такую таблицу, которая рассчитает любое количество цифр (я проверял до тысячи). И это достаточно просто. В общем, теперь важнее запомнить как сделать такую таблицу, вместо того чтобы запоминать сами цифры.
О том, что такие расчеты возможны и примерную схему расчетов я узнал из статьи «Краник», или алгоритм для поиска цифр числа Пи. Ещё статья Вычисление N-го знака числа Пи без вычисления предыдущих по теме.
Берём количество нужных нам цифр и умножаем на 3,5, получим сколько строк данных нам надо использовать. Почему умножаем на 3,5? Просто, четвёрки хватит, а тройки нет. В статье «Краник» коэффициент 10/3.
Используется формула
В каждой строке есть числитель, есть знаменатель, и оперирование через этот числитель и знаменатель остатками с других строк, с формированием новых остатков. Зависимость и вертикальная и горизонтальная. На верхушке получается цифра. Сколько нам надо цифр, столько будет и колонок. Цифру которая получится, нужно будет ещё обработать, так как она может быть больше 9, и тогда нужно перенести разряд вперёд. Соответственно, и принять разряд из следующей колонки тоже нужно.
Будем делать в экселе. Функции используются очень простые: «ОСТАТ» для остатка деления и «ЦЕЛОЕ» для округления. Сначала вручную пишется формульное ядро на две строки, шесть столбиков. Потом формулы растягиваются на требуемое количество строк, затем переставляем некоторые блоки из одних столбцов в другие, и затем один столбец растягиваем вширь. Читаем цифры.
Итак, со��тавляем ядро.
Первые пять строк будут использоваться для оформления цифр. Дальше две строчки ядра мы заполним вручную. Первая из них как бы завершает расчёты для данной цифры, а вторая может быть «растянута» на все остальные.
В шестой строке пишем начальные числитель и знаменатель: A6:«0», B6:«1». Я для себя ещё и в серый цвет их крашу. В колонке D вводим начальный остаток, который у нас 2. D6:«2», D7:«2». Первоначальный остаток я тоже крашу в серый. Теперь надо посчитать сумму. С6:"=D6*10+F6". И тут же её остаток от деления на десять. E6:"=ОСТАТ(C6;10)".
Прежде чем заполнить последнюю колонку ядра, нужно всё таки заполнить числитель и знаменатель второй строки. Числитель растёт на 1, а знаменатель растёт на 2. A7:"=A6+1". B7:"=B6+2". Числитель и знаменатель я покрасил сиреневым. В C7 просто копируем из C6. Понятно, что не текст формулы, а значение ячейки. Тогда ссылочные кординаты пересчитаются. С7:"=D7*10+F7". В ячейке E7 будет считаться остаток, но не по модулю 10, а по модулю знаменателя, который B7. E7:"=ОСТАТ(C7;$B7)".
Здесь надо очень внимательно отнестись к знаку $. Когда формулы «растягиваются» на диапазон, то все её ссылки для смещённых ячеек тоже сдвигаются. А если нам надо при сдвиге обращаться в ту же колонку что и первоначальная колонка? Тогда знак $ фиксирует координату. Знаменатель у нас будет всегда в колонке B, поэтому она и зафиксирована. Когда редактируешь формулу удобно фиксировать координаты по F4, можно несколько раз нажимать, чтобы не всю ячейку фиксировать, а только строку или колонку.
Ну вот, а теперь основная формула. F6:"=ЦЕЛОЕ(C7/$B7)*$A7".
Здесь сумма предыдущей строки делится на знаменатель предыдущей строки, округляется, и умножается на числитель предыдущей строки. «Предыдущей» — здесь имеется ввиду предыдущей по порядку расчёта, значит, та которая ниже. Колонки для числителя и знаменателя фиксированы, это обязательно. И эту формулу можно перенести на вторую строку. F7:"=ЦЕЛОЕ(C8/$B8)*$A8".
На данном этапе основное ядро уже есть, но при расчётах оно делит на ноль, поэтому для временного удобства надо поставить в B8 единицу.
Итак, посчитаем первую цифру числа Пи. С5:"=ЦЕЛОЕ(C6/10)". Первая цифра числа Пи — «2»! Не стоит удивляться. Просто, не расширенное ядро имеет слегка более низкую точность, чем можно было ожидать. В строке 4 у нас будет признак переноса, поэтому пересчитаем нашу цифру уже с переносом из следующей цифры. С3:"=C5+D4". И посчитаем новый перенос. С4:"=ЦЕЛОЕ(C3/10)".
Останется сделать нумерацию цифр. С2:"=B2+1". И саму цифру. C1:"=C3-10*C4".
Теперь можно выбирать сколько цифр получить и расширять ядро. Пусть будет 100 цифр. Значит, нам надо расширить числитель до 350, а лучше до 352. Растягиваю строку 7. Делаю так: ставлю курсор на A7. Shift+Ctrl+Right, Ctrl+Insert, Home, Shift+PageDown 9 раз, Enter!
Чтоб не было деления на ноль, в ячейке F358 ставим 0. Ctrl+End, «0», Enter. Ctrl+Home.
Теперь надо пару раз перенести блоки.
Блок D6:F358 надо перенести левее и ниже, левой колонкой в колонку B. (B359:D711). Начиная с ячейки D6: Shift+Ctrl+End, Shift+Del(или Ctrl+X), Ctrl+Down, Left, Left, Down, Shift+Ins(или Ctrl+V).
Раз.
Блок D359:D711 в колонку С. (C712:C1064) Right, Right, Ctrl+Shift+Down, Shift+Del(или Ctrl+X), Ctrl+Down, Left, Down, Shift+Ins(или Ctrl+V).
Два.
Теперь колонку C надо растянуть на столько колонок, сколько нужно цифр. Во второй строке как раз есть счётчик. После растягивания до колонки CX в первой строке будет сто цифр числа пи. Получилось.
Число пи очень подходит чтобы запомнить какие-нибудь цифры. Оно достаточно известно, имеет практический смысл (хотя на практике достаточно дроби 355/113), и достаточно непредсказуемый порядок, чтобы именно помнить, а не выводить. И оно никогда не изменится.
И вот мы запомнили пару-тройку десятков цифр. Однако, что делать, если нам надо срочно себя проверить, а рядом компьютер без интернета, но с офисными программами? Сотня цифр просто так нигде не хранится.
Но оказывается, можно построить такую таблицу, которая рассчитает любое количество цифр (я проверял до тысячи). И это достаточно просто. В общем, теперь важнее запомнить как сделать такую таблицу, вместо того чтобы запоминать сами цифры.
О том, что такие расчеты возможны и примерную схему расчетов я узнал из статьи «Краник», или алгоритм для поиска цифр числа Пи. Ещё статья Вычисление N-го знака числа Пи без вычисления предыдущих по теме.
Берём количество нужных нам цифр и умножаем на 3,5, получим сколько строк данных нам надо использовать. Почему умножаем на 3,5? Просто, четвёрки хватит, а тройки нет. В статье «Краник» коэффициент 10/3.
Используется формула
В каждой строке есть числитель, есть знаменатель, и оперирование через этот числитель и знаменатель остатками с других строк, с формированием новых остатков. Зависимость и вертикальная и горизонтальная. На верхушке получается цифра. Сколько нам надо цифр, столько будет и колонок. Цифру которая получится, нужно будет ещё обработать, так как она может быть больше 9, и тогда нужно перенести разряд вперёд. Соответственно, и принять разряд из следующей колонки тоже нужно.
Будем делать в экселе. Функции используются очень простые: «ОСТАТ» для остатка деления и «ЦЕЛОЕ» для округления. Сначала вручную пишется формульное ядро на две строки, шесть столбиков. Потом формулы растягиваются на требуемое количество строк, затем переставляем некоторые блоки из одних столбцов в другие, и затем один столбец растягиваем вширь. Читаем цифры.
Итак, со��тавляем ядро.
Первые пять строк будут использоваться для оформления цифр. Дальше две строчки ядра мы заполним вручную. Первая из них как бы завершает расчёты для данной цифры, а вторая может быть «растянута» на все остальные.
В шестой строке пишем начальные числитель и знаменатель: A6:«0», B6:«1». Я для себя ещё и в серый цвет их крашу. В колонке D вводим начальный остаток, который у нас 2. D6:«2», D7:«2». Первоначальный остаток я тоже крашу в серый. Теперь надо посчитать сумму. С6:"=D6*10+F6". И тут же её остаток от деления на десять. E6:"=ОСТАТ(C6;10)".
Прежде чем заполнить последнюю колонку ядра, нужно всё таки заполнить числитель и знаменатель второй строки. Числитель растёт на 1, а знаменатель растёт на 2. A7:"=A6+1". B7:"=B6+2". Числитель и знаменатель я покрасил сиреневым. В C7 просто копируем из C6. Понятно, что не текст формулы, а значение ячейки. Тогда ссылочные кординаты пересчитаются. С7:"=D7*10+F7". В ячейке E7 будет считаться остаток, но не по модулю 10, а по модулю знаменателя, который B7. E7:"=ОСТАТ(C7;$B7)".
Здесь надо очень внимательно отнестись к знаку $. Когда формулы «растягиваются» на диапазон, то все её ссылки для смещённых ячеек тоже сдвигаются. А если нам надо при сдвиге обращаться в ту же колонку что и первоначальная колонка? Тогда знак $ фиксирует координату. Знаменатель у нас будет всегда в колонке B, поэтому она и зафиксирована. Когда редактируешь формулу удобно фиксировать координаты по F4, можно несколько раз нажимать, чтобы не всю ячейку фиксировать, а только строку или колонку.
Ну вот, а теперь основная формула. F6:"=ЦЕЛОЕ(C7/$B7)*$A7".
Здесь сумма предыдущей строки делится на знаменатель предыдущей строки, округляется, и умножается на числитель предыдущей строки. «Предыдущей» — здесь имеется ввиду предыдущей по порядку расчёта, значит, та которая ниже. Колонки для числителя и знаменателя фиксированы, это обязательно. И эту формулу можно перенести на вторую строку. F7:"=ЦЕЛОЕ(C8/$B8)*$A8".
На данном этапе основное ядро уже есть, но при расчётах оно делит на ноль, поэтому для временного удобства надо поставить в B8 единицу.
Итак, посчитаем первую цифру числа Пи. С5:"=ЦЕЛОЕ(C6/10)". Первая цифра числа Пи — «2»! Не стоит удивляться. Просто, не расширенное ядро имеет слегка более низкую точность, чем можно было ожидать. В строке 4 у нас будет признак переноса, поэтому пересчитаем нашу цифру уже с переносом из следующей цифры. С3:"=C5+D4". И посчитаем новый перенос. С4:"=ЦЕЛОЕ(C3/10)".
Останется сделать нумерацию цифр. С2:"=B2+1". И саму цифру. C1:"=C3-10*C4".
Теперь можно выбирать сколько цифр получить и расширять ядро. Пусть будет 100 цифр. Значит, нам надо расширить числитель до 350, а лучше до 352. Растягиваю строку 7. Делаю так: ставлю курсор на A7. Shift+Ctrl+Right, Ctrl+Insert, Home, Shift+PageDown 9 раз, Enter!
Чтоб не было деления на ноль, в ячейке F358 ставим 0. Ctrl+End, «0», Enter. Ctrl+Home.
Теперь надо пару раз перенести блоки.
Блок D6:F358 надо перенести левее и ниже, левой колонкой в колонку B. (B359:D711). Начиная с ячейки D6: Shift+Ctrl+End, Shift+Del(или Ctrl+X), Ctrl+Down, Left, Left, Down, Shift+Ins(или Ctrl+V).
Раз.
Блок D359:D711 в колонку С. (C712:C1064) Right, Right, Ctrl+Shift+Down, Shift+Del(или Ctrl+X), Ctrl+Down, Left, Down, Shift+Ins(или Ctrl+V).
Два.
Теперь колонку C надо растянуть на столько колонок, сколько нужно цифр. Во второй строке как раз есть счётчик. После растягивания до колонки CX в первой строке будет сто цифр числа пи. Получилось.
