Комментарии 23
Подумал немного. Можно рассмотреть волновое уравнение для вашей цепи с закрепленными концами в невесомости:
Utt = c^2*Uxx
где U(x,t) — вертикальная координата каждой точки цепи, зависящая от горизонтальной координаты x и времени t. c — скорость распространения в ней упругих колебаний (т.е. звука). Utt — вторая частная производная по времени, Uxx — вторая частная производная по координате.
Закрепление цепи даёт граничные условия U(0,t)=0, U(1,t)=0. Задавшись начальным отклонением U(x,0)=f(x), можно решить это уравнение аналитически («методом разделения переменных») и получить решение в виде бесконечного ряда с синусами, коэффициенты при которых соответствуют разложению в ряд Фурье функции f(x).
Для учёта гравитации необходимо ввести в это уравнение константный член:
Utt = c^2*Uxx + g
где g — константа. Уравнение становится неоднородным, но так как неоднородность очень простая, то аналитические решения тоже существуют. Для получения решения следует решить сначала однородное уравнение, приведённое первым по тексту, а далее провести ещё некоторые манипуляции. Рекомендую книгу «Араманович И.Г, Левин В.И. Уравнения математической физики», там всё подробно и понятно рассматривается, и приведены готовые решения для простых случаев, подобного рассматриваемому.
Для пущего реализма нужно будет потом добавить в уравнение ещё и диссипативный (диффузионный) член, чтобы колебания затухали.
UPD: на странице 75, параграф 4, у Арамановича рассматривается пример — нахождение колебаний струны, на которую действует сила тяжести — как раз ваша задача. Приводится общее решение в виде ряда. Можно брать и вычислять.
Похоже, колебания висящей цепи нельзя адекватно описать неоднородным волновым уравнением, которое применимо к струне. Струна всегда натянута, и любое отклонение её формы от прямой есть следствие растяжения. Цепь же можно считать нерастяжимой, а отклонения от прямой обусловлены тем, что цепь длиннее, чем расстояние между точками подвеса.
Сейчас попробую найти или вывести диф. уравнение в частных производных для описания колебаний цепи.
Вспоминается задача по статике №136 из «Сборника задач по общему курсу физики» Стрелкова, Сивухина и др.: "Анализируя результат задачи 135, можно прийти к следующему неожиданному выводу: любой канат можно разорвать сколь угодно малой силой. Действительно, представьте канат натянутым и закрепленным на концах; тогда достаточно приложить к середине каната перпендикулярную к нему небольшую силу, чтобы создать сколь угодно большое натяжение каната. Почему же все-таки канат нельзя разорвать сколь угодно малой силой?" И решение заключается в том, что канат растягивается.
Цепь обязана растягиваться хотя бы немного. Но тогда она, в окрестностях положения равновесия, превращается в струну. Осталось только поставить и решить задачу колебаний струны, которая длиннее, чем расстояние между точками закрепления, и имеет форму цепной линии в положении равновесия.
Так что есть шанс, что колебания нити, подвешенной в двух концах, тоже описываются «обычным» волновым уравнением.
Разве это не просто уравнение параболы через 2 точки, коэффициенты найти используя интеграл по длине ( должна быть равно l)?
Нет, цепная линия — это не парабола.
Сделал небольшой тест — www.youtube.com/watch?v=4XVrHkLQaYk
Если бы такая цепь была в игре, то выглядело бы довольно правдоподобно
Хм. Еще в институте преподаватель рассказывал историю, фабулой которой было производство большого зеркала для телескопа во вращающейся ванне с расплавленным стеклом. Там тоже получалась цепная линия (в сечении) как приближение параболы — и этого хватало астрономам (годах в 70-х). Так вот, если астрономам для исследований хватает цепной линии вместо параболы, то имеет ли смысл для игр заморачиваться с цепной линией вместо параболы?
верт = (ω^2)/g и тем самым ортогонален к вектору инерциальной силы v.
Ртутная вращающаяся ванна — это идеальный телескоп.
Простите, а у вас ртуть имеет одинаковую угловую скорость вращения везде и не зависит от r?
Я, честно говоря и раньше не знал, а сейчас и подавно забыл. Но представляется, что если это условно-сферическая ванна, то угловая скорость ртути должна уменьшаться к центру, возможно отсюда и цепная линия (а вязкость играет роль коэффициента в ней). Ну может и препод ошибся, но он вроде уважаемый математик был...
Безвихревые вихри
Траектории жидких частиц вокруг оси (штриховая линия) идеального безвихревого вихря. (См. Анимацию )
В отсутствие внешних сил вихрь обычно довольно быстро развивается в направлении безвихревой схемы потока [ необходима цитата ], где скорость потока u обратно пропорциональна расстоянию r. Безвихревые вихри также называют свободными вихрями .
en.wikipedia.org/wiki/Vortex
неправильное свисание цепных линий само по себе создаёт эффект «зловещей долины».
Дожили. К чему только не приписывают уже "долину", но к проводам...
Однако все кривые цепных линий похожи, потому что все они являются версиями друг друга с разным масштабомНо это же неправда, и формула (1) это демонстрирует — в противном случае там только один параметр остался бы после сокращения. Это правда только для параболы и прочих xn, т.е. a·(b·x)2 = a·b2·(x2). Разве что только чем меньше множитель в аргументе cosh-а, чем ближе она к параболе.
Цепные линии обладают и ещё одним любопытным свойством. Они являются формой, позволяющей квадратам перемещаться без колебаний их центров (см. анимацию ниже).И это тоже неправда, легко доказывается через формулу квадрата в полярных координатах — там не будет cosh в формуле.
Математика провисающих проводов и цепей в играх