Комментарии 63
Представьте, что изначально у Вас 1 млн дверей. Вы выбрали дверь, и в этот момент отрываются все двери кроме 2-ух (Вашей и еще одной).
Шанс, что Вы изначально выбрали дверь с призом равна 1/млн. Шанс что Вы выбрали дверь без приза 99.9...%. Если Вы меняете дверь - шанс, выиграть увеличивается. У Вас в задаче не 2 двери, а 3. Суть примерно та-же, шансы разные...
Ладно, понятно, я не прав был, как себя заминусовать :)
Хорошо. Но ведь можно рассмотреть эту историю иначе. У вас миллион дверей. Шанс, как вы заметили, 1/1млн.
Теперь открываются все двери, кроме двух.
В этот момент, даже выбирая ту же самую дверь, я делаю свой выбор по второй раз, по сути, нет? И выбираю (пусть даже ту же самую), но уже из двух, разве нет? Почему вероятности не пересчитываются? Почему они не обнуляются после первого хода?
А почему вероятности должны пересчитываться? У вас две двери, на изначально выбранной вероятность 1 на миллион так и остаётся (с чего ей меняться? если там не было приза, от открытия остальных дверей он вдруг за ней не появится), зато все вероятности с открытых ведущим дверей суммируются на вторую дверь. То есть перед вами остаются две двери, но они совсем не одинаковые.
А почему вероятности должны пересчитываться? У вас две двери, на изначально выбранной вероятность 1 на миллион так и остаётся (с чего ей меняться?...
Ну, например, с того, что мы до конца не знаем, есть ли приз за нашей дверью. И открывают третью для нас не потому что мы выбрали пустую, а просто так (как я понял). И вот тут для меня совсем не ясно, почему вероятности приза суммируются в _не нашу_ дверь, а не поровну?
Потому что приз никуда не перемещается. Состояние за уже выбранной дверью не меняется. Там не может появиться приз, если его не было, и исчезнуть, если он там был, даже если остальные двери без приза открыты. Поэтому вероятность найти приз за выбранной дверью остаётся той же самой, какой была с самого начала, один на миллион.
Потому что приз никуда не перемещается. Состояние за уже выбранной дверью не меняется.
Так. Вот тут момент интересный. Есть 3 двери. P(win prize) = 1/3, так? Приз где-то лежит. Мы его не переносим никуда. Выбираем дверь. После фиксации получаем вероятность приза за каждой дверью - 1/3. Еще раз: у каждой двери вероятность - 1/3. Открывается третья дверь. Она без приза, естественно. Итак, почему же в этот момент _у нашей двери_ вероятность остается 1/3, а у соседней - вырастает до 2/3? Из-за чего в этот момент соседняя дверь становится такой особенной?
На примере в 3 двери, возможно понять сложнее.
Представьте что изначально их не 3 а 100 или более. Вы, выбрав дверь одну из 100, имеете шанс в 1 % победы. Как только открываются другие двери, Ваш шанс не меняется т.к. изначальные условия не поменялись.
Грубый пример для наглядности. У Вас 100 попыток, где Вы всегда выбираете дверь с номером 1. После выбора Вашей двери - открываются ВСЕ двери. Их открытие НЕ влияет на повышение шанса, т.к. это происходит после выбора 1к100, соответственно из 100 попыток у Вас будет только одна победа. Соответственно, если после выбора Вашей двери, открываться будут Все кроме двух дверей, на Ваш шанс победы это тоже, никоим образом не скажется. (т.е. будут открываться все двери или будут открываться все двери минус х дверей, не влияет на повышение шанса выигрыша у Вас)
По причине повышения шанса, у другой двери, мне кажется, разжевывать уже не нужно=)
Иначе можно было бы изобрести оригинальный способ практически всегда выигрывать в лотереи -- дожидаемся, пока свои билеты проверят все остальные неудачники и с вероятностью 50 на 50 выигрываем джекпот. ;)
Другое дело, если вам перед вторым выбором стёрли память и вы не знаете, какую дверь первоначально выбрали. Тогда перед вами действительно две одинаковые двери, за одной из которых приз. Но в этом случае и действие "поменять выбор двери" теряет смысл, вместе с сутью самого парадокса. ;)
Теперь открываются все двери, кроме двух.
В этот момент, даже выбирая ту же самую дверь, я делаю свой выбор по второй раз, по сути, нет?
Нет! Именно что нет никакого второго выбора. Выбор "поменять или не поменять дверь" вы для себя сделали перед игрой. И парадокс М-Х именно о той вероятности, которая была вычислена после выбора стратегии, но до начала игры.
Кажется попахивает нобелевской премией.
Изначально в задаче спрашивается, есть ли разница в вероятности при смене двери или нет, т.е. мы говорим об условной вероятности. Поскольку вы в первом эксперименте это условие разыгрываете с вероятностью 50%, то и на выходе у вас результат неправильный. А вот на втором изображении как раз "реальный результат" - поскольку мы обычно расцениваем вероятности с точки зрения того, что произойдёт, если игрок всегда будет придерживаться целевой стратегии.
Если взять, например, рулетку, то вероятность выиграть при ставке на красное чуть меньше 50%. С вашим подходом игрок бы случайным образом ставил на позиции по всему полю, и вероятность выигрыша была бы существенно меньше.
Выбирая одну дверь из трех вероятность угадать дверь с призом равна 1/3. Если выбрана дверь с призом, то после смены получим дверь без приза. Если в двух оставшихся случаях выбрана одна из дверей без приза, то она поменяется на дверь с призом, что дает уже вероятность равную 2/3.
Вместо «Если он поменяет дверь, то с вероятностью 2/3 выиграет» нужно говорить: «Если он выиграл, то с вероятность 2/3 менял дверь». Чувствуете разницу? — она диаметрально противоположная.
Не чувствую. Как, например, я могу сказать что выиграл или нет, если я еще не выбрал дверь.
Выбранная мной дверь с вероятностью 2/3 пустая, потому что я выбирал из трёх. В этот момент было бы здорово переключиться на противоположный вариант, но я не могу этого сделать, потому что альтернативных вариантов два. Затем ведущий убирает неправильный вариант и теперь я могу гарантированно поменять результат и выбрать выигрышный вариант с той же вероятностью 2/3.
Выбрав дверь с призом ничего кроме дверей без приза не остается, а выбрав дверь без приза остается только дверь с призом, т.к. вторую дверь без приза открывают.
А вот нет же.
предположим, вы выбрали дверь из трёх и за вашей дверью приз. Одна беда: вы этого не знаете. И тут ведущий говорит: «что ж, повременим с решением, май френд. я открываю третью рандомную». Значит ли это, что за вашей тоже пусто? Или что за вашей приз? Да вот хрен знает. Он просто открыл третью дверь. Глобально приз как лежал за вашей, так и лежит.
Ну или да, ткните, где я не прав в рассуждениях.
Ведущий не открывает рандомную дверь, он открывает дверь без приза из-за чего вероятность выбора неправильной двери уменьшается.
да, естественно рандомную, но такую что она а/ не наша и б/ без приза. Либо открыть все, которые попадают под условие выше. Просто можно же растянуть задачу на N дверей же и открыть после нашего выбора не 1 дверь (при выборе из трех), а N-минус 2 двери. Но и тогда я не понимаю, почему вероятность всех дверей суммируется в одну неоткрытую и не нашу дверь, а не делится поровну.
Когда вы выбираете дверь, всё множество в n дверей делится на два множества - вашу дверь и остальные двери в количестве n-1. Вероятность приза за вашей дверью 1/n, за остальными дверями (n-1)/n. Открывая двери, ведущий начинает уменьшать второе множество, при этом общая вероятность приза в этом множестве не меняется (потому что приз не перемещается, он уже либо у вас за дверью, либо в этом множестве - но с исходными вероятностями!). Сократив второе множество до одной двери, вы получаете, что вероятность приза за ней (n-1)/n против вероятности 1/n за вашей дверью. Ситуации "50 на 50" вообще не возникает ни на каком этапе (при n >= 3), это чистая иллюзия.
а, вот. Вот так (уменьшение множества) становится более ясно про "концентрацию" вероятностей в другие двери, кроме моей. Спасибо вам.
Кстати, сегодня я узнал о существовании другого парадокса, про конверты, и вот для него у меня самого уже нет ясного понимания, в чём подвох, даже с приведённым объяснением. Всё-таки вероятности — это сложно и контринтуитивно...
Там суть в том, что невозможно иметь какую-то равномерную вероятность на бесконечном интервале. На конечном отрезке - можно. Парадокс возникает, когда предполагается, что такая вероятность на бесконечном интервале есть.
вот тут на Хабре читал статью про чистку данных и там интересно про резервуарный семплинг - это то, о чем вы говорите? Ну и да, а если отрезок - это часть бесконечного интервала, но сам отрезок бесконечно большой? Или вы хотите сказать, что когда он большой, но конечный, то все ок, а когда именно что бесконечный - то начинаются проблемы?
Вы не знаете, лежит ли за вашей дверью приз или нет. Вы знаете только вероятность, что он там лежит. И эта вероятность фиксируется в момент первого выбора. После этого, какие бы манипуляции с дверьми ни проводились (кроме открытия вашей), эта вероятность остаётся той же.
> Глобально приз как лежал за вашей, так и лежит.
Глобально он там лежит с вероятностью 1 к общему количеству дверей. То есть если при миллионе дверей он там скорее всего не лежит (если, конечно, игра не проводится на Плоском мире, где, как известно, шанс "один на миллион" выпадает в 9 случаях из 10 ;), то при исключении лишних дверей он там вряд ли появится, чтобы его можно было забрать с вероятностью 50 на 50.
ну то есть, довольно занятная картина: моя вероятность - 1/3, а для человека, который только что подошел и тупит на две двери вместо трех - 1/2. Хотя глобально ситуация вообще не менялась.
Ваша вероятность 2/3, если вы поменяете выбор. А у только что подошедшего всего лишь 1/2. У вас больше шансов, не находите? ;)
это если поменяю... ))
Ну и да, ок, поменял. Теперь мы вдвоем таращимся на одну и ту же дверь. При этом моя вероятность - 2/3, а его - 1/2. А дверь одна и та же.
Можно расширить эту ситуацию:
Представим, что было сто дверей и сто игроков каждый со своей дверью. Только у этих ста чуток иные правила: они видят только свою дверь. И вот вы таращитесь втроем - каждый со своей вероятностью)
В этой ситуации у тебя больше всего информации, у одного из сотни меньше всего.
Но вы-то знаете, что двери на самом деле разные, а он не знает, для него они одинаковые. Для него шанс будет "50 на 50", для вас 1/3 на 2/3. У вас есть дополнительная информация, которую подогнал добрый ведущий, исключив лишние двери.
Вместо "Если он поменяет дверь, то с вероятностью 2/3 выиграет" нужно говорить: "Если он выиграл, то с вероятность 2/3 менял дверь". Чувствуете разницу? - она диаметрально противоположная. И вы можете менять дверь или не менять - суть заключается в том, что шансы на победу составляют 50 на 50.
Полагаю, лучше сформулировать так: сначала игрок решает для себя, будет ли он менять дверь. И решив, что будет, он на момент старта игры (до честного рандомного размещения приза) имеет шанс 2/3 на победу.
По-моему, самое интуитивно понятное (для меня точно) объяснение такое: в игре 10 дверей и на втором шаге ведущий открывает 8, оставляя всё тот же выбор из 2 дверей, направляя мысли играющего на выбор "50 на 50". Но шанс на выигрышную дверь в первоначальном выборе будет 1 к 10, и он никак не поменяется после открытия остальных дверей. Поэтому поменяв выбор двери, мы меняем этот шанс с 10% на 90%.
> А если изначально будет миллион дверей
Тогда ведущий должен открыть 999998 дверей, тем самым сведя выбор якобы к тем же самым 50 на 50. Но тут уже очевидно, что первоначальный выбор был выигрышным с шансом всего один на миллион, и поменяв дверь, мы практически гарантированно выигрываем.
Если уж играться с табличками, то не обязательно при этом использовать тысячи рандомных игр - достаточно просто заполнить её всеми возможными комбинациями - тогда сразу увидим, какова вероятность выигрыша в случае замены и не-замены двери.
С этим надо быть аккуратнее, потому что в такой табличке все варианты (строки) должны быть независимы друг от друга, иначе получится вовсе не то, что вы хотите. А определить независимость событий - не такой простой вопрос, как кажется.
Каждая строчка в таблице представляет собой уникальное начальное условие (где был приз и какую дверь выбрали) и два варианта исхода в зависимости от решения о смене двери. Для наглядности и экономии места я не стал делать отдельную строку для каждого исхода, а расположил их в колонках. Как мне кажется - строки вполне независимы друг от друга. Если объясните поподробнее, в чем я ошибся - буду крайне признателен.
Можно вообще не менять положение приза, т.к. это ни на что в итоге не влияет. Т.е. достаточно рассмотреть первые три строки из вашей таблицы.
Мне вот такое наглядное объяснение помогло в свое время. Представте, что вы играете в эту игру с другом. Вы никогда не меняете дверь, а друг меняет всегда. Тогда вы выиграете в 33% случаем (вы выбираете одну дверь из 3х, и больше ничего не влияет на ваш выбор), и проигрываете в 66%. Но когда вы проигрываете, ваш друг выигрывает.
"Представьте, что ведущий предлагает на выбор 2 двери, только за одной из которых находится приз. Очевидно, что вероятность выбрать правильную дверь составляет 50%? А теперь ведущий внезапно открывает 3-ю дверь, за которой нет никакого приза. Неужели вы думаете, что из-за этого у вас станет меньше шансов на победу? Да пусть он откроет хоть 100 дверей, шансы от этого не поменяются."
Автор, в том то и дело, что после первичного выбора шанс на победу не меняется. У Вас было 50% победы и остальные двери на это не влияют. Единственный вариант, когда Ваш шанс на победу вырастет, если ведущий откроет вторую дверь, тогда станет понятно что именно за вашей дверью приз.
Приведу самую понятную аналогию изначальной проблемы - мне очень помогла. Дверей 10^10^10^10. Вы выбираете одну. Ваш шанс на выигрыш исчезающе мал, фактически 0. Далее ведущий открывает все остальные двери кроме одной. Так как Вы абсолютно уверены, что за вашей дверью ничего нет, то за той, которую оставил ведущий практически 100% будет приз. Если же пришёл Агент Джей и стёр вашу память, то шансы вновь 50% на 50%, потому что у Вас нет подсказки от ведущего. Дополню ещё, что та дверь которую Вы изначально выбрали особая - она не участвует в исключающем процессе со стороны ведущего.
P.S. Автор, признайтесь, Вы решили потроллить хабр?
Получаемые 50% есть ни что иное как вероятность получения определённого (например, единицы) значения в колонке "Поменяли дверь". Попробуйте для эксперимента сделать там не равновероятное значение 0/1 - и общая вероятность выигрыша тоже начнёт ползать за устанавливаемым процентом вероятности.
Прекрасная иллюстрация к эффекту Даннинга-Крюгера! :-)
Оказывается я настолько стар, что появляются темы про которые уже давно все разобрались и железно доказали как оно работает, а главное обьяснили даже самым тупым. Видимо следущее поколение подросло и решило пошатнуть основы, снова :D
Да что ж такое, всю жизнь работал парадокс, теперь не работает. Куда катится этот мир?
Собственно, чтобы понять парадокс нужно было понять только один факт: ведущий знает, где приз и всегда откроет только ту дверь, за которой приза нет. Это и есть условие, которое меняет вероятность, а вовсе не количество закрытых дверей. Это важно.
Представьте, что ведущий предлагает на выбор 2 двери, только за одной из которых находится приз. Очевидно, что вероятность выбрать правильную дверь составляет 50%? А теперь ведущий внезапно открывает 3-ю дверь, за которой нет никакого приза. Неужели вы думаете, что из-за этого у вас станет меньше шансов на победу? Да пусть он откроет хоть 100 дверей, шансы от этого не поменяются.
А вот это уже непонимание теоремы Байеса.
Я уловил суть. Автор молодец! Парадокс в том, что нам кажется, что события зависят друг от друга. Но формально, как бы нам не хотелось, события независимы: второй выбор никак не зависит от первого, и в конце мы выбираем между двумя дверями. Наш первый выбор никак не влияет на ситуацию. После первого выбора (ответа), что бы мы не сказали, даже если мы скажем "крокодил", произойдет то же самое событие, если бы мы сказали "слон" (ну или мы скажем "первая/вторая/третья дверь). Никакого влияния наш первый выбор не произведет. Следовательно, в конечном счете основной выбор - это согласиться с нашим первым выбором двери или нет, что равнозначно выбору из двух дверей. И поэтому формулировка решает все. Шанс выиграть в эту игру 50%, что показывает отчет на рисунке автора (Рис. Суммы для всевозможных сочетаний событий). Поэтому это не вероятность, а статистика. Средняя зарплата граждан X. А математическое ожидание?
«Цифры обманчивы, особенно когда я сам ими занимаюсь;по этому поводу справедливо высказывание, приписываемое Дизраэли:"Существует три вида лжи: ложь, наглая ложь и статистика".»
Марк Твен
Парадокс Монти Холла, на самом деле объясняется гораздо проще.
Представим, что у нас два игрока: первый не меняет свой выбор после открытия двери, а второй всегда меняет. И если Вы поставите вопрос о том, в каких случаях выигрывает первый игрок, а в каких - второй, то с легкостью придете к выводу: первый выигрывает, когда изначально выбирает правильную дверь, а второй выигрывает, когда изначально выбирает неправильную дверь.
Парадокс Монти Холла не работает