swotix6 июл 2022 в 11:45

Теория чисел. Новый метод анализа распределения чисел, в том числе и простых

6 мин

21K

Математика *

Из песочницы

+34

Комментарии 16

dlinyj 6 июл 2022 в 12:17

Есть замечательная книга по данной тематике: Джон Дербишир «Простая одержимость.
Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике». Крайне рекомендую к прочтению, там подробно изложены все тонкости. Мозг будет иногда течь :).

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Darkness7193 6 июл 2022 в 14:19

f(x) = (a/x)*sin(pi*(a/x))

f(a) = (a/a)*sin(pi*(a/a)) =

f(x) = 1*sin(pi*1) = 0

Ragnar_by 6 июл 2022 в 15:49

На самом деле, строго доказать эти формулы не так уж сложно.
Приведу доказательство для чисел, которые лежат на положительных орбиталях.
Для этого должно выполняться

$\gamma(x)={a\over x}\cdot\sin({a\over x}\pi)>0$ что равносильно $\frac{a}{2n+1}<x<\frac{a}{2n}$ для некоторого целого . Орбиталь числа можно определить из d=min(a-2xn, (2n+1)x-a) . Легко заметить, что $\frac{a}{x}\sin\left(\frac{a}{x}\pi\right)=\frac{a}{x}\sin\left(\frac{d}{x}\pi\right)$

Число, которое "потенциально" может перейти на нулевую орбиталь, должно лежать на орбитали с d=1
Но это значит, что a=2nx+1 или a=(2n+1)x-1
В первом случае
$\frac{a+1}{x}\sin\left(\frac{a+1}{x}\pi\right)=\frac{a+1}{x}\sin\left(\frac{2nx+2}{x}\pi\right)=\frac{a+1}{x}\sin\left(\frac{2}{x}\pi\right)$ , то есть число "перешло" на орбиталь d=2
Во втором $\frac{a+1}{x}\sin\left(\frac{a+1}{x}\pi\right)=\frac{a+1}{x}\sin\left(\frac{(2n+1)x}{x}\pi\right)=0$
Но тогда a+1=(2n+1)x то есть, - это делитель a+1

domix32 6 июл 2022 в 18:41

А можно пояснить как оно говорит о распределении, если мы всё равно на каждом этапе должны искать некоторые делители хоть и другим способом. Из замеченного - количество отмеченных точек пересечения орбиталей с основным графиком для простых чисел равняется прошлому простому числу, но я не очень понял из статьи чем определяются эти точки и каков их смысл в контексте конкретных простых и не очень чисел. Как считать их количество? Являются ли они каким-нибудь простым сомножителем чего-то или чем-то ещё? Можно ли как-то вычислять их наперёд или только использовать как решето?

Refridgerator 7 июл 2022 в 04:29

Эти движения раскладывают на множители любое натуральное число или показывают расположение простого числа

и не раскладывают, и не показывают.

В этом графике вы перепутали причину и следствие. По сути, он перебирает все варианты a/1, a/2, a/3, a/4,..., и если a/x — целое, то синус от него (помноженного на пи) по определению равен нулю. На графике это видно только потому, что все эти значения сканируются визуально.

Того же эффекта можно добиться и другими путями — например, с использованием гамма-функции:

«Орбитали», которые вы видите — появились только потому, что вы сами и умножили синус на гиперболу. На пересечение с нулями в целых числах это совершенно никак не влияет:

Refridgerator 14 июл 2022 в 05:23

Вот тут нашлась более интересная функция

которая принимает 0 если целочисленный аргумент простой и 1, если нет, причём без ограничения верхней границы.

Hlad 8 июл 2022 в 05:15

«Гипотеза о простых числах-близнецах – о бесконечном количестве пар простых чисел, отличающихся друг от друга на 2» — а разве она не доказана? Почему-то в голове крутится текст типа «берём ряд последовательно идущих простых чисел, перемножаем друг на друга, получаем число X, такое, что X+1 и X-1 — простые»

wataru 8 июл 2022 в 08:52

Там же рядом еще 2 гипотезы, а точно ли существует бесконечное количетсво таких простых X+1 и X-1?

Не очевидно, почему X+-1 должно быть простым. Оно точно не делится на простые до какого-то N, но N < sqrt(X) (при чем, чем больше N, тем больше разница), поэтому простота не очевидна.

wataru 8 июл 2022 в 09:41

Более того, вот вам и контрпример: 2357111317-1 = 510509 = 61*8369.
И ни откуда пока не следует, что для всех простых чисел вида X+1 больше M, X-1 не будет вот таким вот составным. Или наоборот.

Hlad 8 июл 2022 в 10:54

Убедительно.
Надо будет освежить память, вспомнить, откуда у меня в голове такой текст.

yeputons 10 июл 2022 в 19:59

Подозреваю, из одного из доказательств бесконечного количества простых чисел: от противного, пусть их конечно, тогда их можно перемножить, прибавить единицу, результат не будет делиться ни на одно из заявленных. А других, как мы предположили нет. Значит, простое. Ой, а мы думали, что таких больше нет. Противоречие.

v__17 8 июл 2022 в 10:47

Нет, не доказана, это до сих пор открытая проблема, причем весьма нетривиальная. Относительно недавно (в 2014 году) был впервые сделан заметный прорыв в решении этой задачи, смогли доказать, что существует бесконечно много пар простых чисел, разница между которыми не превосходит 246, но с тех пор особого прогресса достичь не удалось

gres_84 8 июл 2022 в 15:38

Это не так. 2*3*5*7*11*13 = 30030

30031 = 59*509

michael_v89 8 июл 2022 в 05:43

И нет тех, кто занял бы ось нулей.

Ну то есть нам надо проверить каждое и посчитать, не заняло ли оно ось нулей? Это ничем не отличается от обычного перебора делителей.

realbtr 29 апр в 03:33

Тавтология это такая штука, которая более менее неплохо маскирует как заложенный в архитектуру вывод какое то время незаметен.

Предсказание простых тем, что делители превращают аргумент синуса в кратный пи - это увлекательное исследование того, как тот же перебор делителей работает и без синуса.

Продуктивная гипотеза должна не перебирать делители, а регуляризировать их. Ни Эйлеру, ни Риману это не удалось, это пока просто переупаковка все того же экспоненциального перебора. Да, выглядит завораживающе, но новых представлений не дает.

А вот ABC гипотеза охотится (как отдельный артефакт более глубоких теорий) за некоторой перспективой кластеризации. Обычно в колесах используется сложение праймориала и взаимнопростых с праймориалом чисел. Вроде 6i±1 или 30i±{1,7,11,13}. Однако, можно складывать кофакторы праймориалов. Например 2*3*5*7±1 расширяется на 2*3*7+5 или 3*7-5*2. Пока слагаемых (или вычитаемых) ровно два, результат не может делиться на что то отличающееся от их общих делителей. И если они взаимно просты, то и делители результата будут другими.

Можно намеренно пропускать делители, повышая вероятность их появления в результате. Для 2 это работает всегда - сумма двух нечетных обязательно четная. А вот что то вроде 2*5*11+7 делится на 3, и тогда 2*5*11-7 на 3 не делится и вообще - простое. Логика управления вычетами хорошо сводится к факторизации соседних чисел. Например, найти все модули по которым 107=5 mod x легко, разложив 107-5=102=2*3*17 на делители. Тогда 107=5 mod {2,3,17,102}. И вообще, расширение гипотезы ABC на представление km+rs=pq дает взаимные модульные сравнения. И гипотеза с радикалом ABC становится лишь не самым важным и глубоким артефактом. Хотя доказательство конечности троек в бесконечном пространстве - это очень сильно.

Так или иначе, я смотрю на то, как числа ведут себя в окрестности, это интереснее, чем одно любое самое невероятное число, простое оно или составное. И тема с арифметическими прогрессиями лишь один, но очень продуктивный аспект. Я смотрю на то, как всего лишь структура 6i±1 самоподобно задает итерирование решетки по этажам, но интригуют меня идеи, что в окрестность четырех простых чисел задает их взаимное происхождение пости как штрих-код.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий