Комбинаторная и вычислительная математика в силу решения на компьютерах последних поколений задач с большой точностью должны идти вместе.
Автор, однако, преподавая комбинаторную теорию сталкивался с тем, что общая красота как вычислительной математики, так и комбинаторики не находит себе место в одном каком-либо учебнике.
От монографий по вычислительным методам веет фундаментальностью и доказуемостью результатов, а от учебников типа Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. - Задачи и упражнения по дискретной математике - веет как раз формулами, доказательство которых хоть и просто, но, чаще всего, не рассматривается вообще.
Теорема о количестве сюръективных отображений между конечными непустыми множествами.
Пусть X,Y - конечные непустые множества. Обозначим через - множество сюръективных отображений, а через - количество элементов в соответствующих множествах. Тогда имеет место отношение:
Рассмотрим формулу:
Если рассмотреть формулу Стирлинга в виде ряда:
Введем следующие обозначения:
Получаем формулу:
Посчитаем формулу (**), допустим для n=20.
При этом точное значение: 20!=2432902008176640000
Формула вида (**) показывает отношение между рядом Стирлинга и рядом из n слагаемых из правой части формулы (*).
Если же учесть, что
где - количество перестановок из n элементов с m циклами, каждый из которых имеет длину не менее 3.
Comtet L. Advanced Combinatorics: The Art of Finite and Infinite Expansions. - D. Reidel Publishing Company, 1974. - 267 p.
Получается замечательное соотношение между конечного числа слагаемых, содержащих биномиальные коэффициенты и рядом (***).