Если конкретнее, то функционально полно вычитание с плавающей точкой по IEEE-754 . Это значит, что можно создать любую двоичную схему на одном только вычитании с плавающей запятой.
Чтобы понять, как это сделать, нужно начать снизу. Цитата из раздела 6.3 стандарта IEEE 754-2019:
6.3 Бит знака
[…] Когда ни входные данные, ни результат не являются NaN, […]; знак суммы или разности x−y, рассматриваемой как сумма x+(−y), знаком отличается максимум от одного из слагаемых; […]. Эти правила должны применяться, даже когда операнды или результаты равны нулю или бесконечности.
Когда сумма двух операндов с противоположными знаками (или разность двух операндов с одинаковыми знаками) равна нулю, знак этой суммы (или разности) должен быть +0 при всех атрибутах направления округления, за исключением
roundTowardNegative; при этом атрибуте знак нулевой суммы (или разности) должен быть −0.
Давайте разберём это.
Вычитание x−y рассматривается как сумма x+(−y).
Ноль может иметь знак, −0 и 0 — это разные сущности (хотя при сравнении с помощью
==они считаются равными).Если оба слагаемых имеют одинаковый знак, то результат должен иметь этот знак. Однако для x−y это означает, что если x и y имеют разные знаки, результат должен иметь знак x.
Если x и y имеют одинаковый знак, а x−y равно нулю, то результатом будет +0 для всех режимов округления, за исключением
roundTowardNegative, при котором он будет −0.
Так как практически в каждом контексте по умолчанию используется режим округления roundTiesToEven, мы будем считать, что применяется он. Однако всё работает аналогично даже для roundTowardNegative.
Таблица истинности
Так что же это даёт нам при вычитании нулей?
-0 - -0 = +0 # Одинаковый знак, должен быть +0. -0 - +0 = -0 # Разные знаки, знак от первого аргумента. +0 - -0 = +0 # Разные знаки, знак от первого аргумента. +0 - +0 = +0 # Одинаковый знак, должен быть +0.
Интересно… А если мы обозначим −0 как false, а +0 как true?
A B | O ----+-- 0 0 | 1 0 1 | 0 1 0 | 1 1 1 | 1
Получившаяся таблица истинности будет эквивалентом A∨¬B, или B→A (также известного как вентиль «импликация» (IMPLY), только с перестановленными аргументами). Оказывается, наша таблица истинности функционально полна, то есть при помощи одного этого вентиля можно создавать произвольные схемы.
Схемы вычитания
Давайте напишем демо на Python. Сначала определим константы и подготовим их красивый вывод:
Хотя это отдельные сущности, по правилам плавающей запятой в IEEE 754 +0 и −0 при сравнении считаются равными. То есть чтобы различать их, нам перед сравнением с 0 нужно извлечь знак.
import math f_false = -0.0 f_true = 0.0 f_repr = lambda x: True if math.copysign(1, x) > 0 else False
Теперь мы можем создать вентиль NOT, воспользовавшись тем, что −0−x обращает знак нулевого x:
f_not = lambda x: f_false - x
Протестируем это:
>>> f_repr(f_not(f_false)) True >>> f_repr(f_not(f_true)) False
Отлично! Мы также можем создать вентиль OR, обратив внимание, что если мы перед вычитанием обращаем знак второго аргумента, то всегда получаем +0 (true), если только оба аргумента не равны −0 (false):
f_or = lambda a, b: a - f_not(b)
Протестируем это:
>>> f_repr(f_or(f_false, f_false)) False >>> f_repr(f_or(f_true, f_false)) True >>> f_repr(f_or(f_false, f_true)) True >>> f_repr(f_or(f_true, f_true)) True
Теперь, когда у нас есть OR и NOT, можно изготовить все остальные вентили, например:
f_and = lambda a, b: f_not(f_or(f_not(a), f_not(b))) f_xor = lambda a, b: f_or(f_and(f_not(a), b), f_and(a, f_not(b)))
>>> f_repr(f_and(f_false, f_false)) False >>> f_repr(f_and(f_true, f_false)) False >>> f_repr(f_and(f_false, f_true)) False >>> f_repr(f_and(f_true, f_true)) True >>> f_repr(f_xor(f_false, f_false)) False >>> f_repr(f_xor(f_true, f_false)) True >>> f_repr(f_xor(f_false, f_true)) True >>> f_repr(f_xor(f_true, f_true)) False
Программные целые числа
Возможно, вы слышали о soft-float — программных реализациях плавающей точки при помощи целых чисел. Давайте сделаем наоборот: создадим программную реализацию целых чисел при помощи одних операций с плавающей запятой. Реализуем её на Rust, чтобы можно было взглянуть на готовый ассемблерный код и убедиться в его ужасной тормознутости великолепии.
type Bit = f32; const ZERO: Bit = -0.0; const ONE: Bit = 0.0; fn not(x: Bit) -> Bit { ZERO - x } fn or(a: Bit, b: Bit) -> Bit { a - not(b) } fn and(a: Bit, b: Bit) -> Bit { not(or(not(a), not(b))) } fn xor(a: Bit, b: Bit) -> Bit { or(and(not(a), b), and(a, not(b))) } fn adder(a: Bit, b: Bit, c: Bit) -> (Bit, Bit) { let s = xor(xor(a, b), c); let c = or(and(xor(a, b), c), and(a, b)); (s, c) } type SoftU8 = [Bit; 8]; pub fn softu8_add(a: SoftU8, b: SoftU8) -> SoftU8 { let (s0, c) = adder(a[0], b[0], ZERO); let (s1, c) = adder(a[1], b[1], c); let (s2, c) = adder(a[2], b[2], c); let (s3, c) = adder(a[3], b[3], c); let (s4, c) = adder(a[4], b[4], c); let (s5, c) = adder(a[5], b[5], c); let (s6, c) = adder(a[6], b[6], c); let (s7, _) = adder(a[7], b[7], c); [s0, s1, s2, s3, s4, s5, s6, s7] } // Хм? u8? Что это? Тс-с-с-с.... pub fn to_softu8(x: u8) -> SoftU8 { std::array::from_fn(|i| if (x >> i) & 1 == 1 { ONE } else { ZERO }) } pub fn from_softu8(x: SoftU8) -> u8 { (0..8).filter(|i| x[*i].signum() > 0.0).map(|i| 1 << i).sum() } fn main() { let a = to_softu8(23); let b = to_softu8(19); println!("{}", from_softu8(softu8_add(a, b))); }
Это ужасно, но работает и правильно выводит 42. И для сложения двух 8-битных целых чисел нужно всего ≈120 команд с плавающей запятой:
На x86-64 нет команды отрицания с плавающей запятой, вместо неё компилятор просто генерирует XOR с маской, переключающий старший бит, то есть бит знака числа с плавающей запятой IEEE-754.
example::softu8_add: mov rax, rdi movups xmm2, xmmword ptr [rsi] movups xmm0, xmmword ptr [rdx] movaps xmm3, xmm2 subps xmm3, xmm0 movaps xmm4, xmm0 subps xmm4, xmm2 movaps xmm1, xmmword ptr [rip + .LCPI0_0] xorps xmm4, xmm1 subps xmm4, xmm3 xorps xmm3, xmm3 subss xmm3, xmm4 movaps xmm6, xmm0 xorps xmm6, xmm1 subss xmm6, xmm2 xorps xmm6, xmm1 subss xmm6, xmm3 movaps xmm3, xmm4 shufps xmm3, xmm4, 85 movaps xmm5, xmm6 subss xmm5, xmm3 xorps xmm5, xmm1 movaps xmm10, xmm6 xorps xmm10, xmm1 subss xmm10, xmm3 movaps xmm7, xmm0 shufps xmm7, xmm0, 85 xorps xmm7, xmm1 movaps xmm3, xmm2 shufps xmm3, xmm2, 85 subss xmm7, xmm3 xorps xmm7, xmm1 movaps xmm8, xmm4 unpckhpd xmm8, xmm4 movaps xmm3, xmm0 unpckhpd xmm3, xmm0 xorps xmm3, xmm1 movaps xmm9, xmm2 unpckhpd xmm9, xmm2 subss xmm3, xmm9 xorps xmm3, xmm1 xorps xmm11, xmm11 movaps xmm9, xmm4 shufps xmm9, xmm4, 255 subss xmm7, xmm10 movaps xmm10, xmm7 xorps xmm10, xmm1 subss xmm10, xmm8 subss xmm3, xmm10 unpcklps xmm7, xmm3 shufps xmm6, xmm7, 64 addps xmm11, xmm4 movlhps xmm5, xmm4 subps xmm4, xmm6 movss xmm4, xmm11 subps xmm7, xmm8 xorps xmm7, xmm1 shufps xmm5, xmm7, 66 subps xmm5, xmm4 xorps xmm3, xmm1 subss xmm3, xmm9 shufps xmm0, xmm0, 255 xorps xmm0, xmm1 shufps xmm2, xmm2, 255 subss xmm0, xmm2 xorps xmm0, xmm1 movups xmmword ptr [rdi], xmm5 movups xmm2, xmmword ptr [rdx + 16] movaps xmm5, xmm2 xorps xmm5, xmm1 movups xmm7, xmmword ptr [rsi + 16] subss xmm5, xmm7 xorps xmm5, xmm1 movaps xmm4, xmm2 shufps xmm4, xmm2, 85 xorps xmm4, xmm1 movaps xmm6, xmm2 movaps xmm8, xmm7 movaps xmm9, xmm7 subps xmm9, xmm2 subps xmm2, xmm7 shufps xmm7, xmm7, 85 subss xmm4, xmm7 xorps xmm4, xmm1 movhlps xmm6, xmm6 xorps xmm6, xmm1 movhlps xmm8, xmm8 subss xmm6, xmm8 xorps xmm6, xmm1 xorps xmm2, xmm1 subps xmm2, xmm9 subss xmm0, xmm3 movaps xmm3, xmm0 xorps xmm3, xmm1 subss xmm3, xmm2 subss xmm5, xmm3 unpcklps xmm0, xmm5 xorps xmm5, xmm1 movaps xmm3, xmm2 shufps xmm3, xmm2, 85 subss xmm5, xmm3 subss xmm4, xmm5 movaps xmm3, xmm4 xorps xmm3, xmm1 movaps xmm5, xmm2 unpckhpd xmm5, xmm2 subss xmm3, xmm5 subss xmm6, xmm3 unpcklps xmm4, xmm6 movlhps xmm0, xmm4 movaps xmm3, xmm2 subps xmm3, xmm0 subps xmm0, xmm2 xorps xmm0, xmm1 subps xmm0, xmm3 movups xmmword ptr [rdi + 16], xmm0 ret
