Как стать автором
Обновить

Математика и физика для простой и результативной учёбы(Серия: Сельскому учителю в помощь). Часть III. Диалекты математики

Уровень сложностиПростой
Время на прочтение23 мин
Количество просмотров9.7K

ЧАСТЬ I: ВСТУПЛЕНИЕ
ЧАСТЬ II: ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ
ЧАСТЬ III: ДИАЛЕКТЫ МАТЕМАТИКИ

ВСТУПЛЕНИЕ
1. О ДВУХ МАТЕМАТИКАХ
2. «ПОНЯТЬ ФИЗИКУ»
3. ЗНАКОВЫЕ СИСТЕМЫ
4. ДИАЛЕКТЫ МАТЕМАТИКИ
5. ОВЛАДЕТЬ ДИАЛЕКТАМИ МАТЕМАТИКИ
6. ОВЛАДЕТЬ АППАРАТАМИ МАТЕМАТИКИ
7. УЧЕБА МАТЕМАТИКЕ
8. ОТБОР КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ
9. ЯДРО МАТЕМАТИКИ
10. ЭЛЕМЕНТЫ И ДИАЛЕКТЫ ЯДРА МАТЕМАТИКИ
10.1 ДИАЛЕКТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ
10.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬННАЯ ГЕОМЕТРИЯ
10.3 ДИАЛЕКТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ. ГРАДИЕНТ
10.4 ДИАЛЕКТ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ (ОТРЕЗКОВ)
10.5 ДИАЛЕКТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ
10.6 ДИАЛЕКТ ДЕТЕРМИНАНТОВ
10.7 ДИАЛЕКТ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
10.8 ЯЗЫКИ ГЕОМЕТРИЙ
11. КАЛЕЙДОСКОП
ЛИТЕРАТУРА

Постоянная ссылка: https://github.com/myfoundation/EvolutionaryEngineering

ВСТУПЛЕНИЕ

Лазар Карно в битве при Ваттиньи. Моро де Тура., 1793 / Сади Карно. Луи-Леопольд Буальи., 1813 [1]
Лазар Карно в битве при Ваттиньи. Моро де Тура., 1793 / Сади Карно. Луи-Леопольд Буальи., 1813 [1]

Предыдущая часть лекций знакомила с предметом математики, эта посвящена её символьному языку, то есть диалектам: принципам их смешения и деления.
Важный вклад в прогресс человека, после давших философию Греции и Китая, сделала Франция XVIII-XIX веков. История математики во многом написана её военными инженерами. Победы Наполеона удивительны, но закономерны, ведь ядро управления государством и армией составили «одетые в погоны математики, физики и инженеры» [2]. При этом они были немного романтиками и философами, и попытка строить первую в мире утопию так же принадлежит и им. Неспроста эпоха их жизни названа «эпохой просвещения», но это тема уже другой истории.

За знаками на карте полководец видит географию земной поверхности, род, количество, расположение, связь, логику и историю действий групп войск, географ – природные и искусственные объекты с генезисами разных масштабов, так и математик за формульным языком видит предметы. В чтении математики нет ничего сложного либо непостижимого: зная части предмета, инженер находит соответствующие им части формульного описания, и наоборот: разделив предмет на части, математик устанавливает их взаимное расположение в покое и движении и отображает это формулами.

Встретив объёмные книги на непривычных формульных диалектах, новичок теряется. Хотя понять математику столетней давности может каждый, эта лекция покажет, насколько серьёзно необходимо подходить к этому делу, и, надеюсь, подскажет, а может и заставит задуматься, кому и в каких пропорциях следует её учить.

1. О ДВУХ МАТЕМАТИКАХ

«Бруклэндс». Теренс Кунео., 1930
«Бруклэндс». Теренс Кунео., 1930

«Математика, сделавшись Аналитикой, пошла столь быстрыми шагами вперед, что оставила далеко за собой то учение, без которого могла уже обходиться и которое с тем вместе перестало обращать на себя внимание, какое прежде заслуживало. Евклидовы начала, таким образом, несмотря на глубокую древность их, несмотря на все блистательные успехи наши в Математике, сохранили до сих пор первобытные свои недостатки. В самом деле, кто не согласится, что никакая Математическая наука не должна бы начинаться с таких темных понятий, с каких, повторяя Евклида, начинаем мы Геометрию.

Первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами, врожденным – не должно верить.» (Н.И. Лобачевский, 1829) [3]

Математику делят на две неравнозначные части: на «элементарную», выстроенную на алгебре и анализе до 1680 гг., и «высшую» – выработанную в 1680-1950 гг.

С геометрией то же. К одной относят «построения линейкой и циркулем» с алгеброй треугольника и простыми формулами, к другой – алгебру векторов (отрезков), геометрию многоместных функций и систем их уравнений, дифференциальную геометрию.

Трата времени на элементарную математику не разумна и даст мало эффекта: с 1800 гг. ей неразрешимы задачи науки и инженерии. И физику несколько столетий дают на диалектах «математики ХХ века». Далее под «математикой» понимаем лишь её.

2. «ПОНЯТЬ ФИЗИКУ»

Alan Fearnley
Alan Fearnley

Математику берут из физики предметов, и через инженерию она «уходит» (реализуется) обратно в них.

Математикой, особенно геометрией, овладевают, выполняя работы физика. «Понять физику предмета» значит отобразить его математически. Первично строят взаимно однозначные соответствия между объектами природы и образами геометрии: линиями, поверхностями, полями. Далее геометрия диктует выбор «базисов» – образцов или вспомогательных фигур, посредством которых предмет отобразят количественными и векторными величинами.

Начинайте учёбу с наглядной математики, а именно с отображения предметов векторными полями и уравнениями движения над пространством состояний предмета. Польза видна уже на простом примере: график движения тела, брошенного под углом к горизонту, – есть отображение пространства состояний тела, помещённого в поле сил; каждая точка графика отображает состояние тела в данный момент времени. Справедливо и обратное: «выход» в объекты природной среды – оконцовка любой математики.

[*]

Связь и гармоничное смешение математики разных разделов идет при приложении её к объектам физики. Первой не овладеть в отрыве от второй; это единая наука вплоть до 1950 гг. Например, вычисление количества жидкости, текущей через участок поверхности произвольной формы, требует сцепки аппаратов поля, геометрии и интегрирования. Скорость жидкости отобразят векторным полем, её объём вычислят интегралом второго рода по геометрической поверхности. Тепловые и электрические поля вычисляют так же.

3. ЗНАКОВЫЕ СИСТЕМЫ

Jacob Christian Poen de Wijs., 1948
Jacob Christian Poen de Wijs., 1948

«Язык целиком состоит из знаков, и те знаки лучшие, какие выполняют свое назначение с наибольшей точностью и быстротой. Так, для всех обычных целей применяются слышимые знаки, называемые словами. Как осязаемые построения представляют единственный способ донесения геометрии до слепых, так и зримая система не менее приспособлена к нуждам глухих и немых». [4]

«Для сохранения накопленных знаний и идей в разных областях науки и техники, для возможности обмена ими было придумано множество систем условных, символических обозначений.

Алфавит, к которому мы все так привыкли, тоже является такой системой условных обозначений. При помощи букв можно запечатлеть любое слово, а словами человек может выразить все, что угодно в любой сфере своей деятельности.

Но язык слов не всегда удобен. Попробуйте записать какое-нибудь математическое действие, даже самое простое, одними словами, не прибегая к помощи цифр и специальных знаков. Получится очень длинно, не наглядно и не понятно. И как ясно и понятно будет выглядеть то же самое, изложенное языком цифр и математических знаков, – специальной системой символов.

Таких, специальных систем условных обозначений существует очень много. Музыкант запечатлевает рождающуюся мелодию нотами, химик пользуется своими обозначениями, техника немыслима без языка чертежей и условных графических обозначений.

В подавляющем большинстве случаев специальные системы символов являются международными, что очень облегчает научное и техническое общение между странами. Те небольшие различия в начертании условных обозначений, которые существуют в разных странах, не препятствуют сколько-нибудь существенно их пониманию.

К примеру, радиотехника является разделом техники, где условные обозначения играют исключительно важную роль. Поэтому каждый радист должен знать принятые в радиотехнике условные схематические обозначения и уметь разбираться в их соединениях, т.е. должен уметь читать схемы. Весь комплекс условных обозначений, применяющихся в радиотехнике, велик. Чтобы разбираться в радиоаппаратуре, надо хорошо его знать. Без этого нельзя читать радиотехническую литературу и вообще невозможно изучать радиотехнику.» [5]

«Системы символов применяют во многих отраслях науки, техники и культуры, Так, в химии символами обозначают химические элементы и связи между ними в молекулах, в географии – населенные пункты, порты, дороги, государственные границы и многое другое, в музыке – звуки, их характер и т.д.» [6]

Хотя языками отображены предметы и изложены мысли, «каждый слышит лишь то, что понимает» (Гёте).

Диалект – система передачи информации со своим словарём и грамматикой.

4. ДИАЛЕКТЫ МАТЕМАТИКИ

Jacob Christian Poen de Wijs., 1948
Jacob Christian Poen de Wijs., 1948

Математика изложена на языке? Безусловно, он предназначен для описаний в её предметной области. Это «человеческий» язык? Конечно, нет. Ведь в разных предметных областях разные базовые понятия. Математика описывает собственный «идеальный» мир, пересекающийся с реальным частично. Её формульные диалекты схожи с языками программирования.

Диалекты теории множеств, интегрального исчисления, исчисления тензоров кардинально отличны. Числовые и алгебраические выражения пишут на диалекте элементарной алгебры. Геометрию излагают на всех диалектах.

Та же функция расчёта объёма параллелепипеда записана на диалекте алгебры векторов, определителей, элементарной математики, интегрального исчисления.

В термины и уравнения математики переводят «обычный» язык, – и обратно.

Что сын просил у папы подарком в день рождения.

[ответ]
(самокат)
(самокат)

Куда математик пригласил друзей?

[ответ]
(на пляж)
(на пляж)

5. ОВЛАДЕТЬ ДИАЛЕКТАМИ МАТЕМАТИКИ

Paul F Bennett
Paul F Bennett

«Владеть математикой» значит излагать и читать мысли на её диалектах. Не путайте диалекты и аппараты математики: первые – это знаки для составления схем машин, вторые – детали «конструктора» для их сборки.

Все языки учат одинаково: вырабатывают автоматизм чтения и письма, и навык немедленно отображать языком окружающие предметы. После этого ученик думает уже не о буквах (символах), а об излагаемом предмете. Этим достигают скорость чтения и ясность понимания диалекта.

Сначала учат строить взаимно однозначные соответствия (биекции) над предметами быта (и природы) и их символьной записью (затем – отображать изоморфизмы).

Диалекты учат поочерёдно. Порядок овладения ими важен, ибо одни элементы математики включают своими частями – другие.

Записи математики сложно воспринять, но стоящие за ними идеи просты и наглядны. Хороший автор помогает читателю, начав с краткого, в несколько абзацев, изложения идеи и схемы дальнейшей её формульной реализации. Таковы «Лекции по динамике» Якоби (русское издание 1936 г.) и учебники Клейна. Читайте формулы в «понятийной» манере: улавливайте скрытый за ними смысл и их наглядное значение.

Если тему сложно понять, читайте её в разных книгах. Авторы описывают предметы слегка с другого ракурса, дополняя друг друга; этим идёт накопление и обобщение случаев по теме.

Свобода владения языком приходит с начиткой объёмов (часов) текста. Не пользуемый язык забывается, поэтому думайте, какие диалекты и зачем вам учить.

Читайте математику высокой эстетики, и вы привыкнете к её языку. Визуально сравнивайте формулы из разных разделов математики, и вы научитесь опознавать и различать диалекты.

Для чтения математики нужно знать минимум 12 диалектов, рассмотренных в §10 и §11. Чтение книг 2 года по 2 дня в неделю, даст понимание математики.

6. ОВЛАДЕТЬ АППАРАТАМИ МАТЕМАТИКИ

Paul F Bennett
Paul F Bennett

Совокупность логически увязанных функций, структур и алгоритмов для вычислений и анализа называют «аппаратом». Это историческая дань механическим вычислителям – первым машинам, реализовавшим математику в XVII веке. К аппарату «прикреплен» собственный диалект, на другие не похожий.

Конкретный «аппарат» заучивают вместе с границами и случаями его применения. Пример: алгебра кватернионов, приспособленная для перемещения объектов в Евклидовом пространстве.

Берите краткие, ключевые идеи аппарата и немногие его, часто пользуемые элементы. Ухватывайте и совершенствуйте главное, затем, если нужно, – детали.

[*]

Всякий предмет пользуют многообразно, необычно или вам незнакомо. Формула математики обычно имеет несколько смыслов и применений. Взять тот же «вектор»: в одном случае его считают n-местным контейнером для размещения других объектов (например, чисел) – в другом отрезком в пространстве. Часто и обратное: тот же объект, зависимо от смыслового контекста (наклонения), носит разные имена. Взять функцию, оператор, функционал. Всё это «отображения». Но у первой на «входе» и «выходе» произвольные элементы (часто – числа), у второго – вход-выход только функции, у третьего: вход – функция, выход – число.

7. УЧЕБА МАТЕМАТИКЕ

Теренс Кунео
Теренс Кунео

Первичной математикой берут завершенные, зрелые её разделы из наук и промышленной инженерии. Идущий иначе, ударяется в частное, в мелочи, и не достигает успеха.

Не начинают учебу, штудируя элементарную математику (геометрию и алгебру): можно увязнуть в этом деле, и потерять всякий интерес к предмету.

Началом кладут лёгкие для понимания идеи теоретической механики – учения о пространстве состояний предметов. Сперва учат отображать состояния предметов поверхностями, кривыми и полями, а далее, переводить эту геометрию в формулы. Этим показывают место элементарной математики в ремесле наук, развивают фантазию и изобретательность в её применении.

От сложных формул на диалекте элементарной алгебры следует уходить: те же объекты отображают системами и совокупностями более ясных и наглядных уравнений в иных аксиомах. Объемные книги по элементарной геометрии более вредны, чем полезны: они нагружают мозговую активность частными случаями низкой сложности, но небольшого смысла.

[*]

С XIX века математику рационально упрощают алгебрами матриц и векторов. Их формульные диалекты стали общепринятыми: где раньше писали формулу, теперь стоит матрица. Такую запись не понять, не зная соответствующего диалекта.

В специализированные (или доменные) геометрии первичными кладут более сложные объекты, обобщающие случаи и упрощающие вычисления. Примеров достаточно: сферическими и цилиндрическими координатами сокращают и упрощают вычисления при движениях вращения.

Много знаний и аппаратов специализует математиков: редкий знаток геометрии полно владеет обсчётом численными методами. Последние также специализованы, от того многообразны. Не часто встретишь математика-универсала, и едва ли это возможно.

«Алгебраистикой» назовем изложение диалектом элементарных множеств. Вероятно, всё можно отобразить ими, и иногда это необходимо (примером служит криптография). Алгебраистика – удел немногих математиков, сфокусированных только на этом предмете: она объёмна и трудоёмка, сильно грузит память и мышление. Для большинства задач подбирают аксиоматику и аппараты, покрывающие задачу минимальными формами, и дают решение в них.

8. ОТБОР КНИГ ПО МАТЕМАТИКЕ

Alan Fearnley
Alan Fearnley

С 1960 гг. количество и разнообразие книг по естествознанию растёт, а качество их падает, что коррелирует с упадком обществ, начало которого положено в те годы. Наблюдается выхолащивание и упрощение (примитивизация) учебников, с одновременным ростом многосложных частных описаний (вместо обобщения и упрощения, что предписано методом науки). Это учитывают, и при выборе книг внимательно и осторожно знакомятся с литературой, вышедшей с 1960 гг. Многие книги 1970-1980 гг. и позднее слабы, многословны и не годны к чтению; часть их – требует переработки.

Прорывные работы в математике выполнены в 1800-1950 гг. Наиболее удачны по наполнению и слогу книги тех лет. Язык научных школ того исторического периода сразу узнаваем: мысли изложены кратко, ясно, полно, вдумчиво, с иллюстрациями, с привязкой к физике. Это лучшие книги для чтения. Такова часть книг 1930-1960 гг.

Отсутствие краткости и ясности – верный признак бесполезного либо требующего обработки материала. Даже сложный предмет, действительно понимающий его талант, а тем более знаток, – изложит эталонно. И такие книги есть.

В обучении детей избегайте книг с обеднённой (примитивной, слишком простой) математикой. Некоторые из них написаны талантливо, занимательно, и вредны тем, что отворачивают читателя от подлинной математики, забивая его память и мозг малополезной алгебраистикой в манере математики средних веков.

[*]

Эталонная книга науки ясна и кратка в изложении, охватывает многое малым количеством образцов отобранных селекцией; не вязнет в частном. «Философской композицией» называют насыщенную «прекрасным», не устаревающую, долговечную литературу. О ней говорят: «изложено языком Аристотеля» или греческих философов. Читайте эталонные книги; иное портит обучающегося, «разжижая» его мозг.

Эталон книги по математике необходимо включает элементы физики, ибо много математики пришло из физики и для ее обслуживания. Сложно понять и освоить математический аппарат без предмета его приложения. Мало иллюстрированные книги, особенно по геометрии, – неудачны.

«Высшая математика» – это свободное изложение мыслей искусными смесями диалектов математики XII-XX веков (а не элементы этих аппаратов). Пример – книга Феликса Клейна «Высшая геометрия» от 1939 г. Она сочетает математику с гармонично вплетёнными в литературную ткань историческими генезисами предметов (тем) рассмотрения. В этой манере пишет и Стивен Вольфрам[10]. Можно не понимать или опускать формулы в его работах: научные идеи с историей их развития донесены там столь просто и увлекательно, что удовольствие и легкость чтения сравнимы с хорошей художественной литературой.

Иллюстрируем сказанное тремя сортами книг по «аналитической геометрии», собирающими под одной обложкой элементы алгебр матриц и векторов, и элементарной геометрии. В первых авторы берут один аппарат и учат отображать им геометрию формульно и обратно, что есть подлинная аналитическая геометрия. Вторые книги содержат множество разрозненных аппаратов и деталей. Они неудачны, если там нет специализации и вдумчивости в раскрытии каждой темы; особенно, когда математика дана в отрыве от поля и физики. Цель книг третьего сорта, – замена элементарной математики аппаратами ХХ века во всех науках. Такие книги редки, но легко узнаваемы: они сокращают и упрощают (а не усложняют) математику; их пишут одаренные и досконально знающие тему люди.
Книг по теоретической механике, теории упругости, методу конечных элементов немного. Обычно они удачны, за исключением алгебраистики, ибо их пишут знатоки.

9. ЯДРО МАТЕМАТИКИ

Производственная компания, локомотив без соединённой пассажирской части, Манчестер, штат Нью-Гэмпшир
Производственная компания, локомотив без соединённой пассажирской части, Манчестер, штат Нью-Гэмпшир

Математикой «разбирают» и «собирают» предметы разных масштабов и назначений. «Понимать записи на языках наук», это значит знать ключевые аппараты и, соответственно, диалекты математики, и уметь установить соответствие между формулами и объектами их применения (природной средой).

Аппараты группируют в «разделы» математики. Физика и химия – это математика с разными формулами.

Назовём «ядром» математику, которая вносит единообразие (унифицирует), сближает и пронизывает многие науки и предметы их приложения. Ядро пришло из механики твердых, упругих и жидких сред, электродинамики, физики энергетического обмена.

Ознакомимся с диалектами ядра, в мере достаточной для понимания их назначения в записях математики.

10. ЭЛЕМЕНТЫ И ДИАЛЕКТЫ ЯДРА МАТЕМАТИКИ

10.1 ДИАЛЕКТ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

Чернихов Я.Г., 1933. Архитектурная композиционная надуманность из многоразличных составляющих. Усложненная комбинация различных объемов сооружений с явной цветовой декоративностью. [11]
Чернихов Я.Г., 1933. Архитектурная композиционная надуманность из многоразличных составляющих. Усложненная комбинация различных объемов сооружений с явной цветовой декоративностью. [11]

«Аналитическая геометрия» или геометрия элементарной математики, – это элементарная математика, прошедшая неоднократный и тщательный отбор. Ключевая идея: оставить немногую элементарную математику, эффективную для расчётов и анализа, указать случаи её применения, и опустить иное.
Не вошедшие в «аналитическую геометрию» задачи решать аппаратом элементарной математики затратно и неразумно. Это зрелая математика на связках из элементарной алгебры и геометрии (тригонометрии). Первая, решаемая ей задача – отображение границ предметов формулами – и обратно. Она заключает и геометрические примитивы, оборачиваемые далее «оболочками» алгебры векторов и дифференциальной геометрии.
Построим над поверхностями второго порядка алгебру, добавив к ним операции объединение, пересечение, исключение. Ей можно приближать (аппроксимировать) любой объект, наделённый геометрией. Так и поступают в физике, технике и инженерии.
Диалекты аналитической геометрии: формульный язык элементарной математики, графические диалекты алгебры отрезков, алгебры графиков и поверхностей второго порядка.

[7]

«Изучение многих явлений природы сводится к изучению движения, и если геометрия этого движения не исчерпывает всего явления, то чаще всего это – его простейшая сторона, на которую мы прежде всего обращаем свое внимание.
Вся современная техника строится на точном расчете. Для каждого механизма мы должны рассчитать форму и движения его отдельных частей по линиям или поверхностям, т. е. мы должны рассчитать положения, формы геометрических образов и их сочетаний.

В аналитической геометрии решение тех или иных геометрических задач всегда приводится к вычислениям в широком смысле слова, действиям над числами или буквенными выражениями.

Точки, прямые, плоскости, линии, поверхности или какие-либо их сочетания называются в геометрии, вообще, геометрическими образами. Когда положение некоторых геометрических образов считается известным, то положение других образов относительно первых может быть определено числами (координатами). Этот способ определять относительное положение образа числами характерен для аналитической геометрии и называется методом координат.

Если мы желаем решить какой-либо вопрос относительно этих геометрических образов или их сочетаний, нам придется провести те или иные вычисления над их координатами. Системы координат могут быть весьма разнообразны.

Геометрия древних исследовала геометрические образы весьма ограниченпого круга своеобразными приемами, присущими часто одному выбранному геометрическому образу; в силу отсутствия общих методов ей приходилось рассматривать в отдельности множество частных расположений. Аналитическая геометрия в своих аналитических приемах имеет общие методы для исследования любых геометрических образов и их сочетаний во всем их многообразии, какое может представиться при изучении движений; при этом исследования каждой отдельной задачи могут быть приведены к числовым результатам, имеющим непосредственное применение на практике.» [7]

10.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬННАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Чернихов Я.Г., 1933. Композиционное измышление сложнейшего сочетания объемов в линеарном отображении. Сильно-выраженная пространственность. Теплая гамма раскраски
Чернихов Я.Г., 1933. Композиционное измышление сложнейшего сочетания объемов в линеарном отображении. Сильно-выраженная пространственность. Теплая гамма раскраски

Покажем ключевую идею геометрии дифференциалов. Отобразим на декартовой плоскости операцию дифференцирования df/dx геометрически. Построим график произвольной функции, и отложим на нём приращения аргумента и функции (Δx и Δf) соответственно отрезками по осям х и y. При этом гладкая функция, превратилась в «ступенчатую». Построим треугольники, соединив углы соседних «ступенек» прямыми линиями. Получено «линеаризованное», то есть выложенное прямыми, отображение функции. Но главное – алгебра прямоугольного треугольника связала все стороны и углы каждого из них (ведь tg, ctg, sin, cos – это измерение (мера) угла, сделанное измерением сторон треугольника).

Что это даёт? Во первых, можно с требуемой точностью вычислить длину любого участка графика функции, суммируя гипотенузы треугольников. Ведь Δx можно брать сколь угодно малыми, добиваясь точности вычислений (то есть устремлять величины Δx к нулю, а их количество – к бесконечности). Во вторых, наглядно видно, что df/dx – соответствует Δy/Δx, что есть тангенс угла треугольника. В третьих, просто, уравнением y-y1=-1/a(x-x1) строится перпендикуляр (нормаль) к гипотенузе треугольника в точке, что очень полезно. Например, можно рассчитать освещение поверхности, поделив её на элементарные (малые) площадки, и «пустив» луч на каждую из них. Из физики известно, что углы падения и отражения света равны, а мерять их удобно от нормали. Похожим образом считают потоки жидкости или электромагнитного поля через поверхность произвольной формы.

Диалект геометрии дифференциалов похож на диалект элементарной математики, с той лишь разницей, что в формулах перед буквами часты значки дифференциала. Ведь большая часть этой геометрии – это та же аналитическая геометрия, переписанная с применением дифференциалов (отрезков). Поэтому сперва проходят специально отобранный курс геометрии аналитической, затем – фактически повторяют его средствами геометрии дифференциальной.
С геометрией дифференциалов гармонично соединяют алгебру векторов (отрезков), ведь работать в ней с отрезками просто и удобно. Отсюда, два этих диалекта идут в смеси.
Для дифференциальной геометрии типично отобразить участки фигуры дифференциалами (отрезками); разложить отрезок по линейному базису; построить плоскость либо нормаль к точке поверхности; «порезать» поверхность плоскостями и рассмотреть полученные разрезы. Она – часть аппарата «теории поверхностей», исследующей поверхности в целом.

[8]

«Как известно, аналитическая геометрия основана на сопоставлении: каждой точке пространства – трех чисел (координат); каждой поверхности – уравнения, связывающего текущие координаты; каждой кривой – двух таких уравнений. Благодаря этому геометрические факты могут быть переведены на язык алгебры, геометрические задачи могут быть решены приемами алгебры, после чего результат при помощи обратного перехода вновь истолковывается на геометрическом языке. Основная идея здесь, очевидно, заключается в том, чтобы заставить сильный и действенный алгорифм алгебры регулярным образом работать для геометрических целей. При этом прогресс выражается не только и не столько в том, что старые задачи решаются более совершенным аналитическим методом, сколько в возможности неизмеримо расширить самый круг геометрических проблем по сравнению с проблемами, доступными элементарному подходу.

Дифференциальная геометрия означает дальнейшее развитие этого метода путем использования в геометрических целях аппарата дифференциального исчисления. При этом снова центр тяжести лежит в создании новой области геометрического исследования, куда позволяет проникнуть применение нового алгорифма.

Само создание анализа бесконечно малых стало возможным только потому, что материальные процессы имеют тенденцию в малых размерах приобретать равномерный характер (пока, разумеется, не начинает сказываться атомное строение вещества). Эту тенденцию в абстрактной форме и отражает дифференциальное исчисление.

Эта же идея лежит в основе всех приложений дифференциального исчисления: сложные зависимости становятся в бесконечно малом линейными, неравномерные процессы – равномерными и т. д., если пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Мы получаем возможность изучать интересующие нас зависимости в чрезвычайно упрощенном виде, правда, лишь в бесконечно малом. Но, во-первых, это и само по себе бывает важно (в указанном примере мы пришли к вычислению мгновенной скорости путем дифференцирования пути по времени), во-вторых, интегральное исчисление дает нам возможность вернуться, где это нужно, к оценке процесса в целом.

Другими словами, геометрические объекты – линии и поверхности – будут изучаться нами с точки зрения их строения в бесконечно малых кусках. И это «микроскопическое исследование» обнаружит нам ряд стройных закономерностей, не видимых простым глазом и обнаруживающихся лишь в бесконечно малом. Возникает новый мощный метод исследования геометрических объектов, более отчетливое представление о котором мы получим при изучении его по существу.» [8]

10.3 ДИАЛЕКТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ. ГРАДИЕНТ

Чернихов Я.Г., 1933. Аксонометрическое изображение надуманного соцгорода в комбинации упрощенных объемов и магистралей движения. Сочетание раз личной величины зданий в некоторой предумышленной расстановке. / Аксонометрическое изображение фантастического комбината-завода с надуманной магистралью. Теплая гамма тонов (красн., желт., сер.)
Чернихов Я.Г., 1933. Аксонометрическое изображение надуманного соцгорода в комбинации упрощенных объемов и магистралей движения. Сочетание раз личной величины зданий в некоторой предумышленной расстановке. / Аксонометрическое изображение фантастического комбината-завода с надуманной магистралью. Теплая гамма тонов (красн., желт., сер.)

Операторы со свойствами операции дифференцирования, называют «дифференциальными».

Оператор «набла» ∇ – это запись вектора, компоненты которого содержат знак частной производной. Такой «вектор» смысла не имеет, это инструкция: «взять частные производные функции и разместить их в компонентах вектора», что чрезвычайно полезно.

Векторная и компонентная формы записи набла и применение набла к функции (градиент)
Векторная и компонентная формы записи набла и применение набла к функции (градиент)

Если применить ∇ к функции нескольких переменных f(x1,x2,...), то ∇ отобразит функцию, разложив её по базису её переменных величин. Это не разложение вектора по базису, к которому многие привыкли, а отображение функции оператором дифференцирования, что не меняет сути разложения. Результат применения ∇ к функции называют «градиентом».

Пусть f(x,y) отображает гористую местность (поверхность), по которой катится тело, например, мяч. Знание градиента поверхности, силового поля гравитации, начальной скорости и массы мяча, делает простым вычисление траектории его движения элементарными действиями алгебры векторов.

Набла можно считать обычным вектором и подставлять в операции алгебры векторов (там, где это не бессмысленно).

Комбинирование скалярных и векторных произведений даёт 7 полезных вариантов для анализа векторных полей и иных математических расчетов. Ими выявляют истоки-стоки (дивергенцию), вихри (ротор) векторного поля и прочее.

«операторы второго порядка»(см. https://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_набла )
«операторы второго порядка»
(см. https://ru.wikipedia.org/wiki/Оператор_набла )

Дифференциальные операторы идут в смеси с другими диалектами: с алгебрами матриц, векторов, итд.

10.4 ДИАЛЕКТ АЛГЕБРЫ ВЕКТОРОВ (ОТРЕЗКОВ)

Чернихов Я.Г., 1933. Показательная демонстрация перспективного изображения скомплектованных сооружений с помощью линеарного изображения
Чернихов Я.Г., 1933. Показательная демонстрация перспективного изображения скомплектованных сооружений с помощью линеарного изображения

Знаки диалекта алгебры векторов: +,-,•,×, и шаблоны для отображения предметов по образцу векторной и компонентной форм: Ai+Bj+Ck и{ A,B,C } соответственно.

10.5 ДИАЛЕКТ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

Мастера тортов, Яновская (Ряжская) О. Д., 1937-1938
Мастера тортов, Яновская (Ряжская) О. Д., 1937-1938

Производную любой функций получают оператором «предельного перехода» или «дифференцирования» y=lim Δf(x)/Δx, при Δx→0. Идея его проста и легко объяснима геометрически, однако в школах учат брать производные действиями над буквами простых формул. Для этого заучивают справочную таблицу обращения знаков в знаки, что не даёт понимания математики дифференциального исчисления.

Производную функции многих переменных вычисляет оператор «частная производная». Пояснить его лучше на геометрии. «Привяжем» торт к декартовой системе координат и разрежем пополам вдоль оси x. Если поверхность торта это функция двух переменных f(x,y), то верхняя кривая на профиле разреза это уже функция одной переменой f(x). Проведём соломинкой по кривой так, чтобы наклон соломинки повторил её изгибы. При этом будем замерять угол наклона соломинки, и отображать на графике тангенс этого угла. Это и будет графиком частной производной f(x,y) по переменной величине x, но лишь для линии разреза торта (то есть при постоянном y). Теперь у нас есть всё для построения всей частной производной. Порежем торт вдоль х длинными полосами, и вычислим изложенным методом производные их профилей. Полученная совокупность графиков и есть частная производная функции f(x,y) по параметру x. Повторим то же, порезав торт вдоль оси y. Этим вычислим частную производную функции f(x,y) по параметру y. Теперь положим числовые величины частных производных в каждой точке поверхности торта, длиной векторов, исходящих их этих точек, и направленных соответственно, вдоль осей x и y. Сложив эти вектора, получим градиент поверхности торта в каждой его точке.

Вычисление производной двуместной функции
Вычисление производной двуместной функции

Дифференциал функции одного переменного обозначают d, а в частных производных – ∂ наклонной.

10.6 ДИАЛЕКТ ДЕТЕРМИНАНТОВ

Чернихов Я.Г., 1933. Фантастическая композиция организации пространства сложных по форме и сочетанию элементов сооружения. Выразительная концентрация составляющих и показательная де монстрация своеобразных сочетаний масс сооружения. Сильно выраженная динамичность
Чернихов Я.Г., 1933. Фантастическая композиция организации пространства сложных по форме и сочетанию элементов сооружения. Выразительная концентрация составляющих и показательная де монстрация своеобразных сочетаний масс сооружения. Сильно выраженная динамичность

Изложение диалектом детерминантов прочно вошло в математику в начале ХХ века. Обратимся к книге от 1907 года для разъяснения сути вопроса.

«Обширный применение теории детерминантов в различных отделах высшей математики делают знакомство с этой теорией обязательным для каждого, кто только в занятиях математикой переходит за пределы элементарного курса. Употребление детерминантов там, где оно уместно, сокращает вычисления, обобщает приемы и придает результатам вычислений симметричные выражения, удобные для запоминания.

Иностранная литература содержит обширный ряд сочинений по теории детерминантов, начиная с самых элементарных, небольших статеек и кончая объемистыми, специальными курсами.»[9]

[9]

«Литература русская с этой стороны бедна совершенно; в ней почти нет сочинений, которые бы трактовали о детерминантах, и вовсе нет такого, которое могло бы служить простыми, но довольно обстоятельным руководством.
Книга, составленная нами, содержит краткое изложение оснований теории детерминантов. Из всего матерела, представляемого теорией, мы озаботились выбрать то, что можно считать наиболее существенным. Усвоив это существенное, читатель не затруднится при встрече с детерминантами в каком-либо из современных общих курсов по другим отделам математики. Тот же запас сведений откроет доступ к специальным курсам по детерминантам, вроде сочинений Достора, Бриоски, Бальтцера.

Мы старались, где можно, упрощать обычное изложение. Важнейшие отступления от общепринятых приемов, которые принадлежат лично нам, указаны в выносках.» [9]

10.7 ДИАЛЕКТ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Чернихов Я.Г., 1933. Динамика вертикали и горизонтали. Демонстрация устремленности и величественности. Композиция из круговых линейных колец, кривых и прямых линий.
Чернихов Я.Г., 1933. Динамика вертикали и горизонтали. Демонстрация устремленности и величественности. Композиция из круговых линейных колец, кривых и прямых линий.

Суть любого «исчисления» – отображать подходящие объекты предметом (аппаратом) данного исчисления, и проводить вычисления над такими образами. «Интегральное исчисление» – отображает произвольные предметы интегралами, а далее, когда это необходимо – числами.

Идея интеграла: делим предмет на произвольные непересекающиеся части, и вычисляем искомую величину, как сумму величин от этих частей. Объекты, для которых такое возможно, называют «аддитивными», это углы, объемы, площади фигур, итд.

Точность повышают, дробя объект на мелкие части, устремляя этим их величины к «нулю» (на самом деле к конечным, но малым значениям), а количество – к «бесконечности». Действительно, площадь произвольной формы можно замостить галькой, либо песчинками, площади которых мы знаем, что уточнит вычисление.

Традиционно интегралом умножают две величины: одну данную числом, а другую – функцией в заданных пределах. Такой интеграл соответствует обычному алгебраическому умножению, а дифференцирование, как обратная ему функция, – делению.

[*]

Вычислить объём воды в бассейне, текущей туда с переменной либо постоянной скоростью можно интегралом. В последнем случае интегрируемая функция будет числом (постоянной), а график её – прямая. (Поэтому, суровые математики, будучи в кассе магазина, считают стоимость покупок вместо умножения – интегралами.)

«Мерой» называют «аддитивую» функцию, отображающую некоторое множество из данного их семейства, в неотрицательное число. («Аддитивная», – значит мера объединения непересекающихся множеств равна сумме их мер.) По счастливому стечению обстоятельств, интеграл является мерой (интеграл в смысле Лебега). Отсюда популярность интегралов по геометрическим областям для измерений площадей, объемов и иных, распределённых в пространстве величин («кратных интегралов»).

Виды, как и смысловые наклонения применения интегралов, разнообразны. Так, определённый интеграл – считают числом, интеграл с переменным пределом – числовой функцией, а неопределённый интеграл рассматривают как оператор, отображающий функцию в её первообразную (тоже функция).

Отличительная черта диалекта интегрального исчисления: знаки ∫ и ∑ при вычислении непрерывных величин и суммировании дискретных соответственно.

10.8 ЯЗЫКИ ГЕОМЕТРИЙ

Чернихов Я.Г., 1933. Город гигантов-небоскребов в композиции, выраженной по вертикали. Цветовая гамма в теплых оранжево-желтых тонах. Условно-графическая фоновая обработка.
Чернихов Я.Г., 1933. Город гигантов-небоскребов в композиции, выраженной по вертикали. Цветовая гамма в теплых оранжево-желтых тонах. Условно-графическая фоновая обработка.

Геометрия состоит из пространственных образов и операций над ними.

С 19-го века популярно создание специализованной математики. Интересны и оригинальны начала геометрии Лобачевского. Это красивая, простая, наглядная геометрия нагружена философским смыслом. Она развивает пространственное мышление и идеально подходит для начинающих. ( см. «Часть 2. §10 Геометрические языки.» )

11. КАЛЕЙДОСКОП

Чернихов Я.Г., 1933. Усложненная комбинация конструктивно-сочлененных ребристых элементов с выраженной пространственностью и динамикой. Теплая цветовая окраска
Чернихов Я.Г., 1933. Усложненная комбинация конструктивно-сочлененных ребристых элементов с выраженной пространственностью и динамикой. Теплая цветовая окраска

Диалект алгебры векторов «прячет» элементарную математику. Его «прячут» матрицы и детерминанты. Их «прячет» диалект тензоров. Получается своеобразная матрёшка: не овладев предыдущими аппаратами, не постигнуть последующие.

Теорию поля пишут на помеси диалектов «ядра» математики, с преобладанием некоторых из них. Например, и в электродинамике и в теоретической механике есть математика дифференциальной геометрии и уравнений движения. Но их записи спутать невозможно: в одной преобладает диалект кратных интегралов, в другой взаимное положение точек твёрдых тел задают формулами аналитической геометрии.

[*]

Аппарат теории множеств – элементарные операции и формулы над множествами, графами, комбинациями, вероятностями. Не следует сильно погружаться в алгебраистику этой теории: в практике из неё берут не много. Диалект её столь же прост, как и общеизвестен: {⋃,⋂,,→,|,∅,∈,∉,⊂,⊆,⊃,⊇}.

Основные знаки диалекта математической логики: ∀,∃,⇒,⇔:=,∧,∨,¬,=. Ими сокращают текст, и приближают его к компьютерным алгоритмическим языкам, что упрощает перевод на них записей математики.

Диалект тензоров построен на буквах с множеством индексов; он трудоёмок в освоении.

ЧАСТЬ I: ВСТУПЛЕНИЕ

ЛИТЕРАТУРА

[1] Лазар Карно – французский государственный и военный деятель, инженер и учёный. Окончив курс в Мезьерской школе военных инженеров, служил инженером в Кале. Известные работы: «Размышления о метафизике исчисления бесконечно малых», «О соотношении геометрических фигур», «Геометрия положения», «Трактат о защите крепостей» (по поручению Наполеона). Исследования по построению тепловой машины с наибольшим к.п.д. продолжил его сын, Сади Карно, предложивший цикл с наибольшей эффективностью, названный его именем.

[2] См. Военные инженеры Франции, https://ru.wikipedia.org/wiki/Категория:Военные_инженеры_Франции

[3] Норден А.П. (ред.) Об основаниях геометрии, 1956, с.27-33. Лобачевский Н.И. О началах геометрии. 1829

[4] Брин О. Шесть книг Начал Евклида, 1847. перевод Слюсарев С. с.5

[5] Массовая радио-библиотека. Выпуск 0259. Кубаркин Л.В. Азбука радиосхем. 1957, с.3-4

[6] Массовая радио-библиотека. Выпуск 0859. Фролов В.В. Язык радиосхем. 1974, с.3

[7] Бюшгенс С.С. Аналитическая геометрия. Часть 1. 1939, с.7

[8] Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. 1956, с.7-8

[9] Шапошников Н.А. Основания теории детерминантов. 1907, с.3

[10] Стивен Вольфрам – британский физик, математик, программист и писатель. Автор систем компьютерной алгебры Mathematica и извлечения знаний WolframAlpha.

[11] Чернихов Я.Г. Архитектурные фантазии. 101 композиция в красках, 1933

Теги:
Хабы:
Всего голосов 21: ↑16 и ↓5+16
Комментарии16

Публикации

Истории

Ближайшие события

12 – 13 июля
Геймтон DatsDefense
Онлайн
14 июля
Фестиваль Selectel Day Off
Санкт-ПетербургОнлайн
19 сентября
CDI Conf 2024
Москва
24 сентября
Конференция Fin.Bot 2024
МоскваОнлайн