Анализ распределения простых чисел. Часть 1

Аннотация

В этой части статьи основой демонстрируется авторский функционально-математический инструментарий для сравнительного анализа определённых степенных последовательностей, включая последовательность простых чисел. Особое внимание уделяется выявлению рекуррентно значимого формульного приближения для определения последующих значений в последовательности простых чисел.

История

Верхний палеолит (около 20,000 года до н.э.): Кость Ишанго, найденная в Африке, содержит зарубки, которые могут свидетельствовать о раннем понимании простых чисел.

около 2000 года до н.э.: Египетские математики записывают знания о простых числах в папирусе Райнда, который содержит задачи на разложение чисел на множители.

VI-V века до н.э.: Пифагорейцы изучают числа, включая простые, и их свойства, обнаруживая их важность в различных областях, таких как музыка и астрономия.

III век до н.э.: Евклид в “Началах” доказывает бесконечность простых чисел и вводит понятие совершенных чисел, связанных с простыми числами Мерсенна.

320 год до н.э.: Эратосфен изобретает решето Эратосфена, первый известный алгоритм для нахождения простых чисел.

1472 год: Впервые высказана Гольдбахова гипотеза, предполагающая, что каждое чётное число больше двух можно выразить суммой двух простых чисел.

1644 год: Марен Мерсенн открывает простые числа Мерсенна для

и

.

1732 год: Леонард Эйлер показывает, что пятая степень числа Ферма не является простым числом, опровергая гипотезу Ферма о том, что все числа Ферма являются простыми.

1750 год: Леонард Эйлер открывает 31-е простое число Мерсенна.

1852 год: Пафнутий Чебышёв доказывает постулат Бертрана, утверждающий, что между любым числом

и его удвоенным значением

всегда найдётся простое число.

1896 год: Жак Адамар и Шарль Жан де ла Валле-Пуссен доказывают теорему о распределении простых чисел, известную как теорема о простых числах.

1996 год: Начинается проект Великого Интернетного Поиска Простых Чисел Мерсенна (GIMPS), целью которого является поиск больших простых чисел Мерсенна с помощью распределённых вычислений.

Практическое применение

Криптография: Простые числа являются основой для создания ключей в алгоритмах шифрования, таких как RSA. Сложность задачи факторизации больших чисел, состоящих из двух простых множителей, обеспечивает безопасность данных в интернете.

Интернет-безопасность: Простые числа используются для создания безопасных интернет-соединений, где они служат основой для генерации ключей шифрования и криптографических протоколов.

Радиология / Медицинская визуализация: В медицинской визуализации простые числа могут использоваться для улучшения качества изображений, например, при МРТ или КТ, позволяя более точно идентифицировать патологии.

Математические исследования: Простые числа имеют богатую область изучения в математике с многочисленными приложениями и последствиями.

Обнаружение и исправление ошибок: В телекоммуникациях простые числа используются для генерации кодов коррекции ошибок, которые обеспечивают точную передачу сообщений с автоматическим исправлением возможных ошибок.

Эти примеры могут указывать на универсальность и важность простых чисел в современном мире.

Ввод инструментария

Вводится некоторый аналитический аппарат для некоторого определения сложностей тех или иных последовательностей, с фундаментальным значением. Вводятся всевозможные лимитные значения, количеством ограниченные комбинаторными законами перестановок, и приводятся значимые последовательности для каждой из возможных значений от лимитной функции вида:

i/Lim x →0, x, ∞/ Lim n →∞ = F_δ,η = 0_δ,η, X_δ,η, ∞_δ,η

Тут, x – задаётся произвольно и от некоторого интервала как будет показано ниже в соответствующих, и в элементарных примерах - как определителей, устремляется к одному из заданных значений,
n – Является индексно-фиксированным значением и или же не зависим от значений x:

i/ Lim x →0 / Lim n→∞ = F_1,1 = 0₁

_{[1/1/1=1, 0.5/0.5/2=0.5, 0.(3)/0.(3)/3=0.3, 0.25/0.25/4=0.25…)}

i/ Lim x →x = 1 / Lim n→∞ = F_1,2 = 0₂

_{[1/1/1=1, 1/1/2=0.5, 1/1/3=0.3, 1/1/4=0.25…)}

i/ Lim x →∞ / Lim n→∞ = F_1,3 = 0₃

_{[1/1/1=1, 1/2/2=0.25, 1/3/3=0.1, 1/4/4=0.0625…)}

Была выявлена первая группа нулевых значений F по δ, с приведением особых численно-последовательных примеров, также играющих роль в доказательстве некоторой возможности данных пределов. Как видно из числовых примеров, мы подбираем значения i таким образом, чтобы F с некоторого значения, стремилась к нулю, где x → 0 или x или ∞…

i/ Lim x →0 / Lim n→∞ = F_2,1 = X₄

_{[1/1/1=1, 1/0.5/2=1, 1/0.(3)/3=1, 1/0.25/4=1…)}

i/ Lim x → x = 1 / Lim n→∞ = F_2,2 = X₅

_{[1/1/1=1, 2/1/2=1, 3/1/3=1, 4/1/4=1…)}

i/ Lim x →∞ / Lim n→∞ = F_2,2 = X₆

_{[1/1/1=1, 4/2/2=1, 9/3/3=1, 16/4/4=1…)}

Была выявлена вторая группа ненулевых конечных F значений по δ.

i/ Lim x →0 / Lim n→∞ = F_3,1 = ∞₇

_{[1/1/1=1, 1/0.25/2=2, 1/0.(1)/3=3, 1/0.625/4=4…)}

i/ Lim x →x = 1 / Lim n→∞ = F_3,2 = ∞₈

_{[1/1/1=1, 4/1/2=2, 9/1/3=3, 16/1/4=4…)}

i/ Lim x →∞ / Lim n→∞ = F_3,3 = ∞₉

_{[1/1/1=1, 8/2/2=2, 27/3/3=3, 64/4/4=4…)}

Выявлена третья группа бесконечных значений F по δ.

Из выявленного полезно составить следующию таблицу:

Таблица 0

Видно, что статичные i(F_δ,η) расположены в 0₂, 0₃, X₄ и ∞₇, а в остальных случаях, i требуется инкрементировать для соблюдения условий своего предела. В 0₁, i приходиться инкрементировать к нулю, а в X₅, X₆, ∞₈, ∞₉, i инкрементируется в бесконечность…

...

Для лучшего понимания "сложностей" тех или иных последовательностей, стоит ввести некоторые эталонные значения, составленные при помощи приведенной таблицы 0, для ряда натуральных N, квадратичных N², и простых чисел Π:

Начнем с простых:

Определим к каким именно из приведенных функциональных пределов принадлежит последовательность простых чисел. Так как n является индексно фиксированным значением, будет соотноситься и далее анализироваться, когда П_n= i.

где П - простое число, а n определяет рядовой номер простого числа в последовательности, где первым простым числом является 2 - т.е. 2₁

Для корректного соотношения потребуется теорема о законе асимптотического распределения простых чисел(ТЗРП) – утверждается, что для любого произвольного натурального числа n> 3, между числами n и 2n содержится хотя бы одно простое число. И, индексно лимитное теорема о пределе распределения простых чисел(ИЛТП) – П_n/n =∞ , что является очевидным следствием ТЗРП:

Соотносится распределения простых чисел по трем возможным пределам, виду i = П_n:

Соотносится последовательность простых чисел для перового предела;

i = П_n/Lim x →0/Lim n →∞

_{Удовлетворяющее данному пределу последовательность чисел принимает следующие значения:}

_{[2/1/1=2, 3/0.5/2=3,5/0.3/3=5,7/0.25/4=7,11/0.2/5=11…)}

отсюда ясно, по теореме Евклида, что

i = П_n/Lim x →0/Lim n →∞ =∞₇

Соотносится последовательность простых чисел для второго предела;

i = П_n/Lim x → x = 1/Lim n →∞

_{Удовлетворяющее данному пределу последовательность чисел принимает следующие значения:}

_{[2/1/1=2,3/1/2=1.5,5/1/3=1.(6),7/1/4=1.75,11/1/5=2.2…)}

следовательно от ИЛТП

i = П_n/Lim x → x = 1/Lim n →∞ = ∞₈

Соотносится последовательность простых чисел для последнего предела;

i = П_n/Lim x → ∞/Lim n →∞

_{Удовлетворяющее данному пределу последовательность чисел принимает следующие значения:}

_{[2/1/1=2, 3/2/2=0.75, 5/3/3=0.5, 7/4/4=0.4375, 11/5/5=0.4, 13/6/6=0.361, 17/7/7=0.34, 19/8/8=0.29, 23/9/9=0.28, 29/10/10=0.29, 31/11/11=0.25 …)}

От ТЗРП, следует, что

i = Пn/Lim x → ∞/Lim n →∞ = 0₃

Для полученных предельных значений по виду i = П_n так же составим таблицу и выделим черточкой полученные значения:

Таблица 1

Тем же образом, составим таблицы для натуральных, и квадратичных распределений чисел:

Таблица 2

Таблица 3

Так, из сравнения табличных соотношений становится совершенно ясно, что;

n^1<Ψ<2 = Π_n

И действительно, в этом можно убедиться взглянув на следующие значения;

Таблица 4

Составим теперь предельную таблицу для последовательности чисел N^1.5

Таблица 5

Видно, что предельные значение распределение чисел N^1.5, аналогичны предельным значениям распределение простых чисел… Сравнив со значениями таблицы 4, можно ясно прийти к тому, что;

n^1<Ψ<1.5 = Π_n

От автора:

7 лет исследований в теории простых чисел.

Самоучка.

21 век.

Ожидайте следующие части

Ваш хейт необъективен.