CherryPieHSE 25 окт 2024 в 10:40

Путь к геометрии Лобачевского 1: скалярное произведение и метрика

Средний

3 мин

8.4K

В конце 2023 года я провел семинар по геометрии и рассказал про различные её виды - евклидову, сферическую и гиперболическую, или геометрию Лобачевского. Сюжет оказался интересным, поэтому он был развит - я включил в него дополнительные темы, какие-то из них раскрыл подробнее, поменял акценты и самое главное - добавил трехмерные визуализации.

Семинар был разбит на цикл из шести частей, в которых постепенно, с некоторым количеством формул и выводов, написаных от руки, и большим количеством визуализаций, будет пройден путь от длин кривых в евклидовых пространствах до геометрии Лобачевского.

Главным преимуществом цикла являются визуализации и интуитивная подводка к тому, откуда появляются описываемые объекты. В цикле отсутствует постулирование, вроде "вот такую штуку мы назовем прямой", а объекты выводятся из первых принципов. Приглашаю к прочтению!

(Картинка выше взята отсюда: Hyperboloid of Two Sheet)

Скалярное произведение в евклидовом пространстве

С обычным скалярным произведением векторов и его записью "в координатах", я думаю, все знакомы. В трехмерном пространстве оно равно сумме произведений соответствующих координат. Скалярное произведение порождает норму вектора, равную корню из скалярного произведения вектора с самим собой, такое выражение будет удовлетворять трем аксиомам нормы. Расстояние между векторами тогда можно определить как норму из их разности. Пространство $\mathbb{R}^3$ с таким скалярным произведением называют евклидовым.

$\begin{align} \mathbb{R}^3: & \\ \langle x,y \rangle &= x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3 \\ ||x||&=\sqrt{\langle x,x\rangle} \\ d(x,y)&=||x-y||= distance \end{align}$

Длины кривых в еклидовом пространстве

Касательная к кривой это вектор — Касательная к кривой $\gamma$ это вектор

Для подсчета длины какой-то кривой можно воспользоваться теоремой Пифагора и математическим анализом с первого курса университета. Для плоской кривой заданной параметрически (т.е. каждая координата в пространстве функционально зависит от ) нужно в каждой её точке провести касательную и взять бесконечно малые линейные приращения вдоль горизонтальной и вертикальной осей соответственно, а потом, используя их, найти длину гипотенузы в треугольнике с катетами . На рисунке точкой обозначены производные функций по аргументу . После этого длины гипотенуз нужно просуммировать, то есть проинтегрировать выражение вдоль всей кривой.

$\begin{align} \gamma(t) &= \begin{cases} x = x(t) \\ y=y(t) \end{cases} \\ dx&=x'(t)dt \\dy&=y'(t)dt\end{align}$ $l(\gamma)=\int_\gamma dl=\int_{t_0 }^{t_1}\sqrt{{dx}^2+{dy}^2}$

Такой подход работает в евклидовых пространствах, он соответствует индуцированной норме из скалярного произведения. В тот момент, когда длина была приравнена к $(dx^2 + dy^2)^{1/2}$ - я воспользовался тем, что скалярное произведение индуцирует норму по формулам с первого рисунка. Скалярное произведение и норма могут быть и другими выражениями, но нас пока интересует именно такой их вид.

Индуцированная метрика

Нахождение длины кривой в евклидовом пространстве - это частный случай индуцирования метрики; когда мы ограничиваем метрику (евклидову) на какой-то объект, который в этом пространстве лежит (в примере выше - кривую). Пользуясь свойствами скалярного произведения, можно выписать более общую формулу для квадрата элемента длины кривой $\gamma$ и поверхности $M \subset \mathbb{R}^3$ (выписываем метрику пространства, выписываем параметрическое уравнение кривой, находим дифференциалы , подставляем их в метрику пространства):

$\begin{align} {dl}^2 &= {dx}^2 + {dy}^2 + {dz}^2 \\ \gamma(t) &= (x(t), y(t), z(t)) \\ (dx, dy,dz) &= (x'(t)dt, y'(t)dt,z'(t)dt) \\ f(t) &= (x')^2 + (y')^2 + (z')^2\\ {dl}^2|_\gamma &= (f(t)dt)^2 \end{align}$

Для поверхности аналогично, только нужно посчитать больше производных:

$\begin{align} M(u, v)&= (x(u, v), y(u, v), z(u,v)) \\ dx &= \frac{\partial{x}}{\partial{u}}du + \frac{\partial{x}}{\partial{v}}dv\\ dy&=...; dz=...; \\{dl}^2|_M&=(a(u, v)du + b(u,v) dv)^2 \end{align}$

Конкретные выражения зависят от кривой и поверхности и получаются прямым подсчетом.

Зачем же все это нужно? Чтобы считать скалярное произведение, пользуясь только локальными координатами, не переходя в глобальные. А с помощью скалярного произведения считают углы, длины и площади. Часто бывает проще задать кривую на поверхности через выражения локальных координат как функций от параметра , т.е. , тогда выражение кривой на поверхности в глобальных координатах будет иметь вид . А самое главное - вид метрики дает понять как устроены поверхности или пространства, как они “изгибаются”. Следующим шагом в классической дифференциальной геометрии является определение касательного пространства к поверхности в точке, для этого на поверхности выбирают точку и через нее проводят всевозможные гладкие кривые. После этого находят касательные к ним - векторы, из которых и состоит касательное пространство.

Касательное пространство не существенно для осознания неевклидовых геометрий, по этому в следующей части разберем конкретный пример - метрику (и не только) на сфере.

Теги:

Хабы:

Путь к геометрии Лобачевского 1: скалярное произведение и метрика

Скалярное произведение в евклидовом пространстве

Длины кривых в еклидовом пространстве

Индуцированная метрика

Публикации

Ближайшие события