shevchenko_a_d30 ноя 2024 в 11:37

Интересное равенство с двойными суммами

Средний

1 мин

4.8K

Математика *

Мнение

Комментарии 15

Zenitchik 30 ноя 2024 в 12:08

Тема интересная, но требует хороших знаний свойств суммы. Я, вот, например, забыл (за неиспользованием), по каким правилам суммы меняют местами. А откуда взялась экспонента - вообще не знаю.

Статью может спасти пяток промежуточных стадий преобразования выражений, с пояснениями, какое тождество применяется.

Mingun 30 ноя 2024 в 13:21

В первую очередь статье недостаёт того, а что же, собственно, с чем сравнивается. Вероятно, до ката эта информация есть, но пойди найди этот кат ещё… Особенно потом, когда он с главной уйдёт.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Mingun 30 ноя 2024 в 13:03

Если я правильно считаю, обе суммы равны 1. А раз так, то можно равнять что угодно к чему угодно, пока это что и чему равны одной и той же константе. Давайте проверим формулу справа от знака равенства. n=1 . Элементы суммы по не зависят от , так что можно посчитать слагаемые при каждом возможном , их всего 2:
j=0 : $\frac{x^0}{0!} (-1)^0 = \frac{1}{1} \times 1 = 1$

j=1 : $\frac{x^1}{1!} (-1)^1 = \frac{x}{1} \times (-1) = -x$

При i=0 пробегает от 0 до 1, поэтому нужно сложить оба слагаемых выше, получается: 1+(-x)=1-x
При i=1 пробегает от 0 до 0, поэтому только одно слагаемое: 1

Теперь слагаемые по :
i=0 : $\frac{x^0}{0!} 0^1 \times (1-x) = \frac{1}{1} \times 0 \times (1-x) = 0$
i=1 : $\frac{x^1}{1!} 1^1 \times 1 = \frac{1}{1} \times 1 \times 1 = 1$

...и финальную сумму:
0 + 1 = 1

Еще остается проверить, чему равно сумма при n=2 , если тоже 1, то может даже все и правильно

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Mingun 30 ноя 2024 в 13:37

Хм, и как оно связано? Там про очередной член последовательности, а тут конечная сумма

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Mingun 30 ноя 2024 в 17:28

А, в этом смысле. Но я просто решил проверить, это автор же утверждает, что везде все одинаково получается. А раз так, то смысл сохранять суммы, если можно их посчитать для самого простого случая?

shevchenko_a_d 30 ноя 2024 в 13:33

При будет x. Вообще при любом n будет многочлен n-ой степени. Они даже как-то называются чьим-то именем, но каким не помню.

Вот нашёл Touchard polynomials - Wikipedia

Mingun 30 ноя 2024 в 13:40

Да, действительно. Ошибка в слагаемом i=1 , правильно:
$\frac{x^1}{1!}1^1 \times 1 = \frac{x}{1} \times 1 \times 1 = x$

tarlex2001 1 дек 2024 в 01:42

При n = 1 j имеет единственное значение j = 0 ( при i = 1 ) , так как указано суммирование до " n-1 " . A " n " у нас равно 1 . При i = 0 cчитать вообще ничего не надо , так как 0 получаем слева . Так что результирующая сумма : " х " ...

Думал , что я забыл как правильно считывать суммы , поэтому загнал запись автора в Maple - программа выдает аналогичный результат . И вообще : при произвольном " n " получается многочлен степени " n " ....

elmirius 30 ноя 2024 в 13:53

Вот бы ещё скобки были, чтобы понимать, что под суммой.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Mingun 30 ноя 2024 в 17:29

Но тут как раз зависит (верхний предел суммы). Со скобками было бы понятнее, так как без них действительно может показаться, что не зависит.

НЛО прилетело и опубликовало эту надпись здесь

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий