alexgoodok 4 апр в 16:12

Солитоны-4. Поверхности постоянной отрицательной кривизны и преобразования Бэклунда

Сложный

37 мин

3.5K

Ретроспектива

К середине XX века выяснилось, что уравнение синус-Гордона ранее было открыто математиками в области дифференциальной геометрии, и ими же были выведены преобразования Бэклунда, позволившие получать различные конфигурации поверхностей с постоянной отрицательной кривизной. Потом преобразования Бэклунда были найдены для других нелинейных уравнений во время "солитонного бума" 1960-1970-х годов. Они позволили не только находить их точные решения: была выявлена их глубокая связь с интегрируемостью уравнений, с заложенными в них внутренними симметриями и удивительной связью одних нелинейных уравнений с другими, в том числе линейными. Поэтому в данной статье перенесемся еще на 100 лет назад и рассмотрим связь между дифференциальной геометрией искривлённых пространств и теорией солитонов.

Предыдущие статьи цикла:

Предисловие

Были отрасли соляристики, в которых специализация зашла так далеко, особенно на протяжении последней четверти столетия, что солярист-кибернетик почти не мог понять соляриста-симметриадолога. "Как можете вы понять океан, если уже не в состоянии понять друг друга?" спросил однажды шутливо Вейбек, который был в мои студенческие годы директором Института. В этой шутке было много правды.
— С. Лем, "Солярис", 1961

При углублении в историю теории солитонов обнаруживается, что она касается многих разделов математики на первый взгляд достаточно далеких. Иногда у исследователей даже возникал вопрос "что происходит?". Почему на солитоноподобных уравнениях работает метод обратной задачи рассеяния, как он связан с квантовой механикой, теорией групп или дифференциальной геометрией, почему на интегрируемых системах работают преобразования Бэклунда, почему солитонные уравнения связаны с оператором Шредингера, как работают псевдодифференциальные операторы, алгебраическая структура гамильтоновых операторов, подходы через гиперэллиптические функции, комбинаторика бинарных полиномов Бела. Дело осложняется тем, что различные области математики не просто используются как готовые инструменты, а на довольно основательном уровне, и нередко приходится их развивать. Иными словами, теория солитонов оказалась сплетением разнородных математических направлений.

Напомним, что в предыдущих статьях нелинейное уравнение синус-Гордона (далее СГ) выводилось из моделей в различных далеких областях физики, поэтому часто возникала ситуация, когда исследователям приходилось решать полученное уравнение практически заново, находя лишь несколько простейших решений или угадывать их с использованием численных расчетов.

В физике начала прошлого века нелинейные задачи почти не играли никакой роли, а при их возникновении они тогда решались в основном методом теории возмущения и линеаризации. Между тем в области дифференциальной геометрии поверхностей ситуация была иной: основные задачи были нелинейными за исключением тривиальных задач на плоскости. И только в середине прошлого века физики обнаружили, что геометры вывели уравнение СГ в XIX веке как описание поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Более того, углубившись в историю вопроса исследователи физических нелинейных уравнений 1950-х годов выяснили, что математики нашли и процедуру получения многосолитонных решений уравнения СГ. Однако эти решения представлялись не в виде привычных волн или солитонов, как в физических моделях, а в виде поверхностей, обладающих постоянной отрицательной кривизной с дополнительными условиями.

Понятие о кривизне важно и тем, что математические аспекты общей теории относительности, как известно, также базируются на кривизне пространства.

На приведенной диаграмме схематично изображена небольшая часть истории теории солитонов:

Ранняя история теории солитонов. Стрелками обозначены моменты обнаружения связи между направлениями. Красным цветом обозначены темы, рассмотренные в предыдущих статьях. Зеленым цветом обозначена тема данной статьи. Схема составлена на основе Markus Heyerhoff 1998. SVG

Вторая линия, она выделена зеленым цветом, может показаться отвлечением от теории солитонов, но заложенные в геометрию концепции важны не только для теории солитонов, поэтому и удостоились отдельной статьи. Она состоит из следующих частей:

Первая часть (о кривизне кривых, поверхностей, основных уравнениях поверхностей) не связана с теорией солитонов напрямую. Она написана скорее как напоминание базовых понятий и в очень сжатом виде. Поэтому её можно пропустить тем, кому удобней прочитать о них в более серьезной литературе, или кто уже имеет представление о кривизне в рамках классической дифференциальной геометрии. В конце статьи даны ссылки на учебные курсы и видео-лекции с подробным изложением.
Далее кратко описано как выводится уравнение синус-Гордона из теории поверхностей. Опять же, более подробные математические выкладки можно уточнить в указанной в литературе.
Преобразования Бэклунда - основное смысловое содержание данной статьи. Подробно оно рассматривается на примере уравнения синус-Гордона. Для других уравнений примеры приведены в виде обзора и таблицы. Кроме того описано, как преобразования Бэклунда связаны с "нелинейной суперпозицией", набором законов сохранения и (косвенно) с квантовой механикой.

По ходу изложения несколько примечаний и формул размещены в виде спойлеров. Их можно пропустить, особенно при первом прочтении. Они, возможно, покажутся интересными тем, кто захочет углубиться в математические детали.

О кривизне

"Как известно, каждое уравнение можно выразить геометрическим языком, построив соответствующую этому уравнению пространственную фигуру. В таком понимании симметриада родственна плоскости Лобачевского и отрицательной Римановой кривизне."
— С. Лем, "Солярис", 1961

При научно-популярном изложении многих сложных тем по физике понятие о кривизне очень часто упоминается лишь вскользь или в виде картинки наподобие:

Аналогия искривления пространства гравитацией. Понятие о кривизне используется при описании таких тем как: гравитационные линзы, реликтовое излучение, Эйнштейновский Крест, обнаружение гравитационных волн, а в математике: кривые и поверхности, геометрия Лобачевского, кривизна графов. Источник: w: General relativity

Но для вывода уравнения СГ всё-таки придется вспомнить некоторые математические формулы. Понятие о кривизне возникло в дифференциальной геометрии высоких размерностей через определение инвариантов, которые до того успешно использовались в обычной алгебре: уравнение разрешимо, если обладает необходимыми свойствами симметрии (теория Галуа). Позже Софус Ли и Феликс Клейн разработали вариант идеи для дифференциальных уравнений. В физических моделях мы можем описать гармонический маятник как дифференциальное уравнение $\partial^2_t y(x)'' = - y$ . При таком описании нам не важно, когда его запускают в работу (в понедельник или в субботу), и где этот маятник расположен. Мы считаем его поведение в принципе одинаковым, а конкретное воплощение решения задается начальными условиями и решением дифференциального уравнения. Далее это вылилось в описание геометрии через инварианты, которые представляют разного рода движения твердого тела без его деформации: скольжение по плоскости, то есть перенос; вращение, отражение.

При изучении геометрических объектов можно выделять основные характеристики, определяющие равные фигуры, инварианты и их связи. Например, треугольник однозначно можно задавать координатами вершин, но можно работать с длинами сторон, и все треугольники с равными сторонами, как следует из теорем геометрии, можно считать совпадающими. Равными считаются такие объекты, которые можно переместить и наложить друг на друга (группа движения). Но при этом на стороны треугольника накладываются определенные условия существования: например, построить треугольник со сторонами 2, 3, 7 в евклидовой геометрии не получится.

Возникла потребность найти аналогичные характеристики для более сложных геометрических объектов: кривых и поверхностей. То есть попытаться их описать через инварианты, выражения, которые остаются неизменяемыми при преобразованиях. В данном случае при преобразованиях движения в пространстве. Для кривых линий на плоскостях характеристикой такого рода является кривизна: зная ее значение, можно восстановить кривую с точностью до положения в пространстве (считая сдвинутые и повернутые кривые равными). Для кривых в трехмерном пространстве таких инвариантов больше: кривизна и кручение. Для поверхностей в трехмерном пространстве характеристики, по которым можно восстановить поверхность, более сложные.

Кривизна кривой

Сначала рассмотрим самые простые случаи. На интуитивном уровне кривизна плоской кривой определяется, насколько сильно она отклоняется от некоторого направления по мере продвижения вдоль кривой. Текущее направление математически определяется направлением касательной. В механической аналогии направление касательной можно представить как вектор мгновенной скорости при движении точки по кривой.

Математически направление касательной в каждой точке кривой определяется через функции, которые задают кривую. В самом общем виде кривую на плоскости (x, y) можно задать через двузначную (то есть векторную) функцию, возвращающую две координаты в зависимости от параметра:

$\mathbf{f}(t) = (x(t), y(t)) \qquad \text(1)$

В таком представлении параметр можно для наглядности представлять как время, при изменении которого изменяется положение точки на кривой. Точка как бы движется по ней, а её координаты в каждый момент времени и задаются данной вектор-функцией. Тогда касательный вектор, который иногда называют вектором скорости, вычисляется через производную этой функции. А кривизну определяют как скорость изменения направления вектора скорости.

Скрытый текст

Когда важна не длина вектора, а именно направление, то его можно привести к единичному вектору разделив на модуль:

$\mathbf{v} = \frac{d}{dt} \mathbf{f}(t) \equiv \mathbf{f}_t$ - вектор скорости,

$\mathbf{\tau} = \frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ - единичный вектор скорости,

где вертикальными скобками $|\dots|$ обозначен модуль вектора.

Можно ввести функцию "пути" и переписать параметризацию через неё. Такая параметризация называется естественной, или натуральной. Через нее и определяется вектор кривизны, как мера изменения направления по мере прохождения пути.

$s(t) = \int\limits_{t_0}^{t} |\mathbf{v}|$ - функция пройденного пути в зависимости от параметра

$\mathbf{n} = \partial_s \mathbf{\tau}$ - вектор кривизны. Здесь и далее частная производная обозначается символом $\partial_s \equiv \frac{\partial}{\partial s}$ или индексом $\partial_s \tau \equiv \tau_s$

$|\mathbf{n}| = \frac{|\mathbf{f}_t \times \mathbf{f}_{tt}|}{|\mathbf{f}_t|^3}$

Вторая производная $\mathbf{f}_{tt}(t)$ не обязательно совпадает с перпендикуляром к касательному направлению.

Касательный вектор (синий цвет) и единичный вектор кривизны (красный) в точке для кривой на плоскости. Также (серый цвет) вектора первой и второй производной функции задающей кривую в параметрическом виде.

Как меняется вектор кривизны в интерактивном виде можно посмотреть здесь (geogebra) .

В механической модели с некоторыми допущениями кривизну можно связать с величиной отклонения руля автомобиля.

Теперь от плоских кривых перейдем к трехмерному пространству. Для кривых на плоскости рассмотренные выше вектора скорости и кривизны, очевидно, лежат в ней. Для кривых в трехмерном пространстве эта пара векторов образует плоскость, которую называют соприкасающейся плоскостью. Перпендикуляр к ней, который можно определить через векторное произведение векторов скорости и нормали, называют бинормалью, а меру его изменения, и значит меру изменения ориентации плоскости, называют кручением.

Вектора в точке кривой: v - касательный, вектор скорости, n - нормаль, на по вектору кривизны, b - бинормаль, построенный как перпендикуляр к векторам v и n

Три вектора, скорость, нормаль и бинормаль, образуют базис Френе.

Кривизна и кручение, как функции от параметра, определяют кривую однозначно с точностью до движений пространства. Это утверждение и есть основная теорема дифференциальной геометрии кривых, доказательство которой технически сводится к обыкновенным дифференциальным уравнением и задаче Коши.

Возвращаясь к примеру с длинами треугольника, на которые накладывалось условие неравенства треугольника. Для кривых эти две функции, кривизна и кручение, могут быть выбраны достаточно произвольно, то есть не связанными между собой, и никаких дополнительных условий их совместимости не требуется. Но, забегая немного вперед, для случая поверхностей, на локальные характеристики поверхностей накладываются условия допустимой совместности.

Примечания

Каждому упомянутому выше понятию на самом деле посвящены часовые видео лекции, учебники и курсы, список на которые дан в конце статьи. Нам было важно понять примечательные особенности описания кривых, инвариантные относительно преобразования движения.

Если изменить параметризацию, подставив, вместо например t^2 , для положительного интервала времени кривая от этого не изменится, изменится скорость движения точки. В том числе для однозначности, не только для упрощения, подобные кривые стараются привести к естественной параметризации через путь.

Кривую можно задать и другими способами, например в неявным виде уравнение определяет множество точек лежащих на окружности. Или в виде графика функции , но только такие кривые, у которых одному значению x соответствует только одно значение y. Такую кривую можно привести к параметрическому виду (1) приравняв t к x.

В курсе дифференциальной геометрии доказывается, что вектор кривизны всегда перпендикулярен вектору скорости. Можно попробовать вывести это свойство в качестве упражнения, продифференцировав модуль единичного вектора касательной.

Модуль скорости связан с первой производной при описании в параметрическом виде. Кривизна по смыслу со с второй производной, но с использованием масштаба скорости.

Формула для вычисления кривизны параметрически заданной кривой однородна по времени

$k = \frac{|\mathbf{f}_t \times \mathbf{f}_{tt}|}{|\mathbf{f}_t|^3}$

в числителе число производных с учетом порядка (1 + 2,) равно порядку производных в выражении стоящем в в знаменателе (1 * 3). Если мы изменим параметризацию, например, $t \rightarrow \lambda t$ , то результат не изменится. Тот же результат можно получить из анализа размерности: размерность кривизны не зависит от размерности t. Тоже самое относится и к формуле вычисления кручения.

Изложенное выше позволит понять более сложное описание поверхностей.

Поверхности

Аналогом описания "скоростных" характеристик поверхностей является первая квадратичная форма.

Через нее вычисляется, например, квадрат длины участка кривой проходящей через точку поверхности:

$I (u_t, v_t) = E u_t^2 + 2 F u_t v_t + G v_t^2 \qquad \qquad (2)$

где коэффициенты первой квадратичной формы выражаются через первые производные

$E(u, v) = \mathbf{f}_u^2, \quad F(u, v) = \mathbf{f}_u \cdot \mathbf{f}_v, \quad G(u, v) = \mathbf{f}_v^2$

Аналоги изгибания для поверхностей тоже сложнее случая с кривыми линиями. Во первых, в точке поверхности можно вычислять кривизны кривых, но через одну точку поверхности их можно провести множество. Поэтому понятие кривизны поверхности в точке каким-то образом должно учитывать весь комплекс этих кривых. Во вторых, в точке поверхности можно описать характеристики именно её, поверхности, а не кривых.

Для этого используется вторая квадратичная форма:

$\mathrm {I\!I}(du, dv) =L du^{2} + 2 M du dv + N dv^{2}$

где L, M , N называются коэффициентами второй квадратичной формы:

$L = (\mathbf{f}_{uu}, \mathbf{n}), \quad M = (\mathbf{f}_{uv}, \mathbf{n}), \quad N = (\mathbf{f}_{vv}, \mathbf{n})$

Квадратичные формы можно рассматривать как некоторую "подпрограмму", когда нужно вычислить свойства нескольких кривых проходящих через одну точку. Один раз вычисляем коэффициенты квадратичной формы, а для множества кривых используем квадратичную форму. Но при этом в других точках поверхности коэффициенты могут отличаться.

Первая квадратичная форма даёт нам информацию о внутренней метрике поверхности: как измерять длины, углы и площади на этой поверхности. Из неё можно вычислить, например, длину дуги кривой на поверхности и элемент площади поверхности.
Вторая квадратичная форма «рассказывает» нам о том, как поверхность локально изгибается относительно своей нормали. Через неё выводятся понятия нормальной кривизны, геодезической и других кривизн на поверхности, а также средняя и гауссова кривизна, о которых изложено чуть ниже.

Сама же поверхность в параметрическом виде задается, в отличии от кривой, уже не одним параметром , а двумя: (u , v) .

$\vec{r} = \mathbf{f}(u , v)$

Параметризация поверхности через функцию от двух параметров. Координатные линии на параметризованной поверхности, которые являются образами отрезков в области (u, v) параллельных осям координат. Они задаются внутренними уравнениями вида и Источник: на основе (Александров 2010, стр. 310) — Параметризация поверхности через функцию от двух параметров. Координатные линии на параметризованной поверхности, которые являются образами отрезков в области (u, v) параллельных осям координат. Они задаются внутренними уравнениями вида $u(t) = t, v(t) = v_0 = \text{const}$ и $u(t) = u_0 = \text{const}, v(t) = t$ Источник: на основе (Александров 2010, стр. 310)

Параметризация поверхности через функцию от двух параметров. Координатные линии на параметризованной поверхности, которые являются образами отрезков в области (u, v) параллельных осям координат. Они задаются внутренними уравнениями вида $u(t) = t, v(t) = v_0 = \text{const}$ и $u(t) = u_0 = \text{const}, v(t) = t$ Источник: на основе (Александров 2010, стр. 310)

Кроме того, зная только коэффициенты первой квадратичной формы в некоторой точке, мы можем вычислять длины кривой на поверхности проходящей через нее, углы между кривыми и площади участков поверхности, при этом полное знание о функции задающей поверхность для этого не нужно.

Поэтому говорят, что она является внутренней метрикой пространства.

Примечания

В обычных прямоугольных координатах работает теорема Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В прямоугольнике длина диагонали тоже зависит только от длин его сторон: квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон примыкающей к ней: $s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2$ .

Но в скошенных (аффинных) или криволинейных координатах вторая степень диагонали предельно малого параллелепипеда в общем случае не равна сумме квадратов его сторон, поэтому для вычисления ее длины добавляется некоторая модификация. Кроме того масштаб $\Delta x$ и $\Delta y$ в общем случае тоже может быть изменен соответственно в $\mathbf{f}_u$ и $\mathbf{f}_v$ раз. Более точно:

$ds^2 = \mathbf{f}_u^2 du^2 + 2 \mathbf{f}_u \cdot \mathbf{f}_v du dv + \mathbf{f}_v^2 dv^2$

где точкой обозначено скалярное произведение, а квадраты векторных функций (обозначены жирным шрифтом) вычисляются как скалярные произведения на самих себя.

Если кривая на поверхности задана через кривую в пространстве параметров (u, v) от одного параметра "времени" , то направление кривой зависит от производных u_t, v_t . Подставляя последние в качестве аргументов в первую квадратичную форму и вычисляется квадрат элементарного пути.

Коэффициенты квадратичной формы не являются константами, В разных точках поверхности они, вообще говоря, могут отличаться. Строго говоря они являются функциями с аргументами внутренних координат , которые подразумеваются, но лишь для краткости не пишутся явно.

Внутренние координаты можно выбирать многими способами, в том числе стремясь "обнулить" часть коэффициентов квадратичной формы, в целях удобства в зависимости от задач. Если координаты выбрать такие, что $F\equiv0$ и $E \equiv G$ , тогда фигуры в пространстве координат $F\equiv0$ будут почти подобны их образам на поверхности, а углы между кривыми сохраняются (конформные). Если выбрать $E \equiv 1, G\equiv 1$ , тогда длины координатных линий не меняются, а равен косинуса угла между координатными линиям. Это так называемые чебышевские координаты, связанные с раскроем ткани, металла для тентов, одежды с изогнутыми формами. Позже именно их мы и будем использовать при выводе уравнения СГ.

В геометрическом смысле E и G представляют собой квадраты масштабов координатных линий - длины малых дуг координатных u- и v-линий примерно в $\sqrt{E}$ и $\sqrt{G}$ раз больше соответствующих дуг в области параметров (u, v). Геометрический смысл коэффициента можно рассмотреть исходя из свойств скалярного произведения: кроме масштаба он отвечает насколько координатные линии близки между собой по направлению, аналогично тому насколько мал угол между углами параллелепипеда, в скалярном произведении за это отвечает косинус угла $F = \mathbf{f}_u \cdot \mathbf{f}_v = |\mathbf{f}_u \cdot \mathbf{f}_v| \cos w$ .

Длина, угол между координатными линиями (косинус - мера близости направления векторов) и площадь параллелограмма (синус - мера максимального отличия направления векторов) натянутого на векторы частных производных $\mathbf{f}_u$ и $\mathbf{f}_v$

$dl = \sqrt{E u_t^2 + 2 F u_t v_t + G v_t^2} dt$ $\cos w = \frac{F}{\sqrt{EG}}$ $S = \sqrt{EG - F^2}$

В первом приближении порядка малости точка будет оставаться в плоскости, во втором приближении отклонение будет задаваться произведением вектора ускорения и единичного вектора нормали.

Таким образом расстояние от касательной поверхности выражается через вторую квадратичную форму:

$(\partial_s^2 \mathbf{f}, \mathbf{n}) = L u_t^2 + 2 M u_t v_t + N v_t^2$

В общем случае соприкасающаяся плоскость кривых не совпадает с нормалью поверхности и может составляет некоторый угол $\theta$ . Теорема Мёнье (1776) связывает кривизну кривой с нормальной кривизной поверхности. А кривизна кривой выражается через отношение квадратичных форм, в аргументы которых подставлены компоненты скорости кривой:

$k = \frac{\text{II}(u_t, v_t)}{\text{I}(u_t, v_t) \cos \theta} \qquad \qquad (5)$

Источник: Тимофеева Н. В. (2017) Дифференциальная геометрия и элементы топологии в задачах, рисунках и комментариях : учеб. пособие.

Как и в случае с обычными кривыми для вычисления значения кривизны поверхности тоже приходится использовать скоростные характеристики связанные с первыми производными, то есть использовать первую квадратичную форму. В чистом же виде вторая квадратичная форма может трактоваться, насколько быстро точка поверхности отдаляется от касательной плоскости по мере ее движения. Поэтому иногда ее называют внешней метрикой. В первом приближении порядка малости точка будет оставаться в плоскости, но во втором приближении отклонение будет задаваться произведением вектора ускорения и единичного вектора нормали.

Отклонение точки от касательной поверхности проведенной в точке . Расстояние между отклоняемой точкой и касательной плоскостью с точностью до второго порядка вычисляется через коэффициенты второй квадратичной формы, но вычисленные в точке . Рисунок модифицирован из: wiki — Отклонение точки от касательной поверхности проведенной в точке . Расстояние между отклоняемой точкой и касательной плоскостью с точностью до второго порядка вычисляется через коэффициенты второй квадратичной формы, но вычисленные в точке .
Рисунок модифицирован из: wiki

Единичную нормаль касательной плоскости можно вычислить, построив перпендикуляр к касательным прямым: можно взять касательные вдоль координатных линий, f_u , f_v и построить к ним перпендикуляр. Алгебраически это выражается через их векторное произведение, для единичности деленное на модули векторов. А величину отклонения вдоль нормали вычисляется через скалярное умножение векторов $\Delta r$ и .

Полная кривизна поверхности

Особый интерес представляют кривые, чья соприкасающаяся плоскость в точке перпендикулярна касательной плоскости к поверхности, то есть когда $\cos \theta = \pm 1$ .
Такие кривые изображены на рисунке справа (б), а слева (а) расположение кривой на плоскости в общем случае, к которому применима рассмотренная чуть выше теорема Мёнье:

a) соприкасающаяся плоскость кривой не перпендикулярна касательной плоскости к поверхности б) кривые, чьи соприкасающиеся плоскости перпендикулярны касательной плоскости. Кривые и проходят через главные направления, их кривизны главные. Кривизна нормальной кривой , зависит от значения главных кривизн и от угла по отношению к первой главной кривой, и вычисляется по формуле Эйлера; Источник: Источник: Bronshtein 2015}Изменяя направления можно найти минимальные и максимальные значения их кривизны, и . Их называют главными кривизнами в точке. Причем эти направления окажутся перпендикулярными другу другу. (с оговоркой, что тривиальном случае сферы значения кривизны кривых одинаковое во всех направлениях). — a) соприкасающаяся плоскость кривой не перпендикулярна касательной плоскости к поверхности
б) кривые, чьи соприкасающиеся плоскости перпендикулярны касательной плоскости. Кривые и проходят через главные направления, их кривизны главные. Кривизна нормальной кривой $C_{\text{н}}$ , зависит от значения главных кривизн и от угла $\alpha$ по отношению к первой главной кривой, и вычисляется по формуле Эйлера; Источник: Источник: Bronshtein 2015}Изменяя направления можно найти минимальные и максимальные значения их кривизны, и . Их называют *главными кривизнами в точке*. Причем эти направления окажутся перпендикулярными другу другу. (с оговоркой, что тривиальном случае сферы значения кривизны кривых одинаковое во всех направлениях).

С_1 — a) соприкасающаяся плоскость кривой не перпендикулярна касательной плоскости к поверхности
б) кривые, чьи соприкасающиеся плоскости перпендикулярны касательной плоскости. Кривые и проходят через главные направления, их кривизны главные. Кривизна нормальной кривой $C_{\text{н}}$ , зависит от значения главных кривизн и от угла $\alpha$ по отношению к первой главной кривой, и вычисляется по формуле Эйлера; Источник: Источник: Bronshtein 2015}Изменяя направления можно найти минимальные и максимальные значения их кривизны, и . Их называют *главными кривизнами в точке*. Причем эти направления окажутся перпендикулярными другу другу. (с оговоркой, что тривиальном случае сферы значения кривизны кривых одинаковое во всех направлениях).

Кривизны таких кривых в промежуточных направлениях разлагаются через компоненты главных кривизн по формула Эйлера $\kappa_{e} = \kappa_{1}\cos^{2}\alpha +\kappa_{2}\sin^{2}\alpha$

Конкретные направления главных кривизн технически можно определить решая задачу оптимизации для выше написанной формулы (5) в зависимости от направления. А сами значения главных кривизн можно определить преобразовав формулу в некоторое квадратное уравнение, коэффициенты которого выражаются через коэффициенты первой и второй квадратичных форм:

(EG - F^2)k^2 + (2 MF - EN - LG) k + (LN - M^2)= 0

Если к нему применить школьную теорему Виета о сумме и произведении корней квадратного уравнения, то выводится симметричная связь между главными кривизнами и коэффициентами квадратичных форм:

$K = k_1 k_2 = \frac{LN-M^2}{EG - F^2} \quad \text{формула Гаусса}$

$2H = k_1 + k_2 = \frac{EN - 2 MF + LG}{EG - F^2}$

Произведение главных кривизн называют полной кривизной поверхности в точке P, или Гауссовой кривизной. А их среднее - средней кривизной поверхности в точке.

В случае кривых, находясь только внутри них, невозможно определить насколько она изогнута. А для поверхностей Гаусс доказал Theorema Egregium о том, что полная кривизна может быть определена путём измерения углов и расстояний внутри самой поверхности и не зависит от конкретной её реализации в трёхмерном евклидовом пространстве. Иными словами, в отличии от случая с кривыми линиями, мы можем не выходя из поверхности узнать ее полную кривизну. Например, измерив углы треугольника и сравнив их сумму со 180 градусами. При этом формулу Гаусса можно выразить только через коэффициенты первой квадратичной формы и их производных. (Формула Бриоски)

Теперь с помощью полной кривизны можно классифицировать точки на поверхности в зависимости от знака полной кривизны. Если один или оба главных радиуса бесконечны (соответствующая кривизна равна нулю), то K=0 , полная кривизна нулевая. Примером поверхностей, которые имеют нулевую кривизну во всех точках, могут быть плоскость, цилиндр, конус. Когда главные радиусы кривизны располагаются с одной стороны поверхности, то K > 0 , полная кривизна положительна. Примеры таких поверхностей: сфера, эллипсоид, параболоид вращения. Если главные радиусы находятся с противоположенных сторон поверхности, то К < 0 , у поверхности в этой точке полная кривизна отрицательна.

Типы точек на поверхности соответствующие а) эллиптическая точка, радиусы главных кривизн имеют одинаковый знак, и каждая точка поверхности в ближайшей окрестности расположена по одну сторону от касательной плоскости, б) гиперболическая точка , радиусы главных кривизн направлены разные стороны относительно поверхности в) параболическая точка, , один из радиусов главных кривизн стремится к бесконечности. Источник: Bronshtein 2015

K = LN - M^2 — Типы точек на поверхности соответствующие а) эллиптическая точка, радиусы главных кривизн имеют одинаковый знак, и каждая точка поверхности в ближайшей окрестности расположена по одну сторону от касательной плоскости, б) гиперболическая точка , радиусы главных кривизн направлены разные стороны относительно поверхности в) параболическая точка, , один из радиусов главных кривизн стремится к бесконечности. Источник: Bronshtein 2015

В общем случае не обязательно, что поверхность имеет точки только с одним типом кривизны. Например, точки тора могут иметь разную полную кривизну, как отрицательную (ближе к его оси), так и положительную (дальше от оси, внешние).

Примечания

Первую квадратичную форму можно записать как записать матрицу

$\mathcal{B} = \left( \begin{matrix}E & F \\ F & G\end{matrix} \right)$

и использовать ее как матрицу скалярного произведения в базисе $\mathbf{f}_u, \mathbf{f}_v$ : $V^T \mathcal{B} V$ . На главной диагонали коэффициенты соответствуют главным производным, вне диагонали коэффициенты соответствуют смешанной производной.

Из определения положительности длины пути следует, что матрица первой квадратичной формы положительно определена: оба собственных значения положительны, как следствие их произведение и определитель матрицы тоже больше нуля.

Вторую квадратичную форму тоже можно записать как матрицу

$\mathcal{H} = \left( \begin{matrix}L & M \\ M & N\end{matrix} \right)$

Возможно, записи через матрицу могут помочь более глубокому анализу смысла коэффициентов, значения формул или их запоминанию, если понимать наработанные математиками значения, в том числе геометрическими, связанными с матрицами, детерминантами, собственным векторами и собственными значениями, различными операциями, в том числе билинейными, тензорными.
Например, Гауссова кривизна выражается просто как отношение определителей матриц:

$K = \frac{\operatorname{det} \mathcal{H}}{\operatorname{det} \mathcal{B}}$

Детерминант матрицы из коэффициентов первой квадратичной формы косвенно связан с Якобианом, обобщением первой производной функции многих переменных.

Детерминант матрицы из коэффициентов второй квадратичной формы косвенно связан с Гессианом, описывающий поведение функции во втором порядке малости.

Деривационные уравнения и условия совместности

Зная коэффициенты первой и второй квадратичной формы можно восстановить поверхность. Об этом утверждает теорема Боннэ. Математически поверхность восстанавливается с помощью написанных чуть ниже деривационных уравнений. Они через коэффициенты квадратичных форм задают радиус-вектор и вектор единичной нормали поверхности и таким образом окончательно определяют поверхность в пространстве.

Но в отличии от кривой в трехмерном пространстве, когда функции кривизны и кручения могли быть произвольными, на коэффициенты первой и второй квадратичной формы накладываются ограничения. Они не должны противоречить друг другу, то есть быть совместными. В теории поверхностей условия совместности называются уравнения Петерсона-Кодацци или Гаусса-Кодацци.

Основные уравнения поверхностей

Уравнение Петерсона-Кодацци

$\begin{aligned}L_v +\Gamma _{11}^{1}M + \Gamma _{11}^{2} N &= M_u +\Gamma _{12}^{1}L + \Gamma _{12}^{2}M \\M_v +\Gamma _{12}^{1}M + \Gamma _{12}^{2} N &= N_u +\Gamma _{22}^{1}L + \Gamma _{22}^{2}M\end{aligned} \qquad(6)$

где используются символы Кристоффеля, зависящие от коэффициентов первой квадратичной формы а также их производных.

Уравнения Гаусса, выраженное через символы Кристоффеля:

$K = \frac{LN-M^2}{EG - F^2} ={\frac {1}{F}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{1}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{1}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right) \quad (7)$

Деривационные формулы,

$\begin{aligned} \mathbf {r} _{uu}&={\Gamma ^{1}}_{11}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{11}\mathbf {r} _{v}+L\mathbf {n} \\ \mathbf {r} _{uv}&={\Gamma ^{1}}_{12}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{12}\mathbf {r} _{v}+M\mathbf {n} \qquad (8)\\ \mathbf {r} _{vv}&={\Gamma ^{1}}_{22}\mathbf {r} _{u}+{\Gamma ^{2}}_{22}\mathbf {r} _{v}+N\mathbf {n}\end{aligned}$

Из условия совместности которых

$\left(\mathbf {r} _{uu}\right)_{v}=\left(\mathbf {r} _{uv}\right)_u$

и следуют уравнения Петерсона-Кодацци.

Стоит отметить, что похожие концепции связанные с условием совместности уравнений встречаются в других областях под другими концепциями или именами.
Как оказалось, нелинейные уравнения, которые обладают солитонными свойствами, можно представить как условие совместности пары Лакса, удобном виде для дальнейшего анализа их свойств.

Ситуация следующая: уравнение (8) в общем виде можно записать как:

$\begin{aligned}\left( \begin{matrix}a \\ b \\ n \end{matrix} \right)_{t_1} &= A_1 \left( \begin{matrix}a \\ b \\ n \end{matrix} \right) \\\left( \begin{matrix}a \\ b \\ n \end{matrix} \right)_{t_2} &= A_2 \left( \begin{matrix}a \\ b \\ n \end{matrix} \right) \\\end{aligned}$

где A_1, A_2 матрицы или операторы, а в левой части индексом обозначены частные производные по некоторым параметрам t_1 , t_2
В контексте теории поверхностей, как следует из уравнения (8), A_i являются матрицами 3x3 составленные из символов Кристоффеля и L, M, N , а параметры u, v

Из условия совместности, равенства частных производных, следует, что должно выполняться

$\frac{\partial}{t_1}A_2 - \frac{\partial}{t_2}A_1 = A_1 A_2 - A_2 A_1 = [A_1, A_2]$

где квадратными скобками обозначен коммутатор.

В более общем случае, в том числе когда матриц A_i несколько, их в некотором контексте называют калибровочным полем, а выражение

$R_{i, k} = \frac{\partial}{t_i}A_k - \frac{\partial}{t_k}A_i - [A_i, A_k]$

кривизной калибровочного поля.

В теории интегрируемых систем условие совместности, иногда называют условием интегрируемости или условием нулевой кривизны, имея в виду нулевую кривизну не самой поверхности, а "плоскость" некоторой функции относительно изменения параметров.

Вывод уравнения СГ

Рассмотрим поверхность имеющую всюду постоянную отрицательную кривизну K. Раз главные кривизны имеют разный знак, то в каждой точке можно найти направления линий, кривизна которых равна нулю. Их называют асимптотическими линиями. Если вся поверхность целиком имеет отрицательную кривизну, мы можем использовать систему асимптотических линий и как внутренние координаты на поверхности. Ее называют чебышевской сетью. Первая фундаментальная форма имеет вид

$\boldsymbol{\mathbf{I}} (du, dv) = a^2 (du^2 + 2 \cos \varphi du dv + dv^2)$

где $\varphi$ - угол между асимптотическими линиями, сетевой угол.

Из условия совместности линейного деривационного уравнения (8) получаем нелинейное уравнение Петерсона-Кодацци (6) и уравнение Гаусса (7). Задавая полную кривизну поверхности постоянной и отрицательной , получаем:

Получаем, что функция должна удовлетворять уравнению

$\varphi_{uv} = \sin \varphi$

Таким образом, мы получили само уравнение синус-Гордона, выведенное из геометрических предпосылок, записанное в координатах светового конуса.

Примеры поверхностей

С точки зрения внутренних свойств пространств с постоянной отрицательной кривизной (ПОК) они эквивалентны, но их реализация (математики используют слово "погружение") в виде поверхностей в пространстве может отличаться.

Ранее неевклидовы геометрии (Лобачевского) моделировались на умозрительных моделях, в которых расстояние высчитывались по формулам включающие логарифмы, прямые понимались как кратчайшие, понятие параллельности прямых включало в себя только их не пересечение (в обычной геометрии еще и равное расстояние между ними).

Модели: Пуанкаре в верхней полуплоскости, диск Пуанкаре, Псевдосфера, диск Клейна. Источник: timhutton.github.io

М. К. Эшер. Предел круга IV (рай и ад), 1960 г.

Картина демонстрирует один из видов неевклидова пространства, описанный Анри Пуанкаре: теоретически находящийся в этом пространстве "ангел" не будет чувствовать ничего необычного, "размеры" и "расстояния" до них одинаковые, но он не сможет нарисовать прямоугольники с четырьмя прямыми углами.

Подробней о таких геометриях рассказывается серия статей на Хабре: Путь к геометрии Лобачевского 6: финал.

А поверхности ПОК погруженные в обычное евклидово пространство позволили более наглядно изучить реализацию геометрии Лобачевского, их называют псевдосферическими поверхностями, подчеркивая основное их отличие от сферы имеющей постоянную кривизну, но положительную. Но при этом нужно учесть, что в отличии от вышеприведенных моделей геометрии Лобачевского они ограничены: хотя уравнения СГ имеет множество глобальных решений определенных на $\mathbb{R}^2$ , соответствующие поверхности всегда имеют сингулярности. Гильберт доказал, что не существует полной погруженной поверхности в $\mathbb{R}^3$ с кривизной -1. То есть настоящие математические гиперболические модели (например, бесконечная модель Лобачевского) нельзя без искажения полностью реализовать в обычном трёхмерном пространстве.

Ниже даны примеры поверхностей.

Поверхность Бельтрами. Источник: virtualmathmuseum.org

Поверхность Бельтрами. Соответствует решению уравнения СГ, описывающего солитон в покое. Здесь параметризация связана с лабораторными координатами. Линии, которые образовывают окружность соответствуют времени.

Поверхность Бельтрами с параметризацией через асимптотические линии.

Псевдосфера является поверхностью вращения, образована вращением кривой под названием трактрисса

Поверхность Дини. Соответствует решению уравнения СГ, описывающего движущийся солитон. Её можно рассматривать как псевдосферу, закрученную винтом"

Поверхность Куэна. Двухсолитонное решение.

Другие версии её изображения и описаний: virtualmathmuseum.org и mathworld.wolfram.com

Бризер.

Другие версии: uni-tuebingen.de, virtualmathmuseum.org

Другие примеры поверхностей соответствующие двух-солитонным, трех-солитонным, бризерным решениям можно посмотреть на сайте virtualmathmuseum.org.

Преобразования Бэклунда

Для более глубокого понимания, что и с чем связано кратко опишем исторический контекст.

Первую серию поверхностей, в том числе псевдосферу, в 1838 году сконструировал Ф. Г. Миндинг рассматривая поверхности вращения. На связь с геометрией Лобачевского тогда практически не обратили внимание.

Поверхности вращения постоянной отрица тельной кривизны: а – волчок Миндинга, б – катушка Миндинга, в – псевдосфера. Источник: Фоменко, В. Т. (1999). «Поверхности отрицательной кривизны». Смотрите также: Позняк, Э. Г. и Е. В. Шикин (1974). «Поверхности отрицательной кривизны».

Позже (1953) его ученик К. М. Петерсон вывел деривационные уравнения, вновь открытые Майнарди и Кодацци (1867). Бельтрами подробно изучил псевдосферу в 1868 году. Им было установлено, что для всякой теоремы в геометрии Лобачевского имеет место соответствующее утверждение на псевдосфере при допущении, что точкам и прямым на конечной области плоскости Лобачевского в соответствие поставлены точки и кратчайшие линии на псевдосфере, а их движению в плоскости Лобачевского поставлено в соответствие перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием. В том же году Бур вывел пример одного из уравнений, описывающих поверхности ПОК, называемые сегодня уравнением синус-Гордона.

В 1879 году Бьянки, принимая во внимание преобразования нерастяжимого изгибания поверхностей изучаемые ранее Петерсоном и Гауссом, математически описал способ конструирования псевдосферических поверхностей. В 1882 году Бэклунд описал преобразования позволяющие конструировать поверхности итеративно с дополнительным ключевым параметром. В следующем году Софус Ли показал, что преобразования Бэклунда (далее ПБ) можно представить как декомпозицию, то есть через разложение преобразования Бьянки и преобразование Ли. Спустя некоторое время Бьянки показал, что можно использовать коммутативность преобразований, чтобы избежать квадратур, теорему перестановочности.

К 1910 году Клэрэн разработал методику, как попытаться получить ПБ для нелинейных уравнений, если они, конечно, вообще возможны для конкретного уравнения. Таким образом появился мощный метод конструирования не только поверхностей, но и способ нахождения точных решений нелинейных уравнений.

В середине прошлого века ПБ и теорему перестановочности Бьянки применили для решения многих нелинейных уравнений: уравнений СГ, Кадомцева-Петвиашвили, Кортеверга-де Фриза, их расширений, нелинейной сигма-модели, модели Борна-Инфельда, вариантов теорий Янга-Милса, нелинейной версии уравнения Шредингера. В 1978 Гаррисон впервые вывел ПБ для уравнения Эрнста, используемое для получения точных решений уравнений Эйнштейна в общей теории относительности. При этом Преобразования Бэклунда работают не только для преобразования поверхностей с постоянной отрицательной кривизной; они также могут работать для поверхностей с постоянной нулевой средней кривизной (их называют минимальные поверхности). Небольшая часть перечисленных уравнений рассматривалась в предыдущих статьях цикла, а с подробным рассмотрением ПБ для других уравнений можно ознакомиться в списке литературы приведенном в конце статьи.

Теперь подробней рассмотрим преобразования Бэклунда на примере уравнения СГ:

$\left\{ \begin{aligned} \left(\frac{u + v}{2}\right)_{\xi} & = \lambda \sin \left(\frac{u - v}{2}\right) \\ \left(\frac{u - v}{2}\right)_{\tau} & = \frac{1}{\lambda} \sin \left(\frac{u + v}{2}\right) \end{aligned} \right.$

где и две функции от $\xi$ и $\tau$ (асимптотические линии на поверхности), $\lambda$ произвольный параметр, а нижние индексы обозначают частные производные.

Для функции от двух переменных перекрестное дифференцирование должно приводить к одинаковому результату: $u_{\xi \tau} = u_{\tau \xi}$ , иначе бы она не смогла быть функцией от этих переменных. Воспользуемся этим продифференцировав первое равенство по $\tau$ а второе по $\xi$ , затем сложим получившиеся результаты и в итоге придем к уравнению СГ для функции . Если же после перекрестного дифференцирования не сложить, а вычесть одно выражение из другого, то получится уравнение СГ уже для функции . В итоге получается пара уравнений:

$\left[ \begin{aligned} u_{\xi\tau} = \sin u \\ v_{\xi\tau} = \sin v \end{aligned} \right.$

Таким образом мы доказали, что если эти функции связаны ПБ, то они обе (разные) удовлетворяют уравнению СГ.
Как оно поможет нам найти решение?

Ведь ничего удивительного в связи двух решений нет. Например, нам уже известно, что уравнение СГ Лоренц-инвариантно. Также оно инвариантно относительно трансляции по времени или трансляции в пространстве. То есть мы можем взять решение статичного солитона и преобразовать его в движущийся с помощью преобразования Лоренца. Или просто переместить его во времени или пространстве: полученная таким образом функция тоже будет удовлетворять уравнению. Но она по прежнему будет описывать всё тот же солитон, пусть и немного измененный: перемещенный или повернутый в гиперболическом пространстве.

Так вот, преобразование Бэклунда от выше перечисленных отличается тем, что оно порождает новые более богатые решения. Чтобы это продемонстрировать, мы воспользуемся тем, что одно тривиальное решение нам уже известно, это так называемое вакуумное или нулевое решение v=0 . Сейчас увидим, как из ничего рождается новое.

Подставляя вакуумное решение в ПБ получаем, что должна удовлетворять системе

$\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{2} u_{\xi} & = \lambda \sin \frac{u}{2}\\ \frac{1}{2} u_{\tau} & = \frac{1}{\lambda} \sin \frac{u}{2}\\ \end{aligned} \right.$

Интегрируя сначала первое уравнение, найдем зависимость функции от , а интегрируя второе найдется зависимость от , причем в процессе интегрирования появляются константы, которые превращаются в параметры решения, связанные со скоростью и начальным положением.

Таким образом получим окончательное решение:

$u(x, t) = 4 \operatorname{arctg} \exp \left(- \frac{\lambda}{2}(x - x_0) - - \frac{1}{2 \lambda}(t - t_0) \right)$

Двухсолитонное и многосолитонные решения тоже можно получать применяя ПБ последовательно. Но при таком подходе существует одна проблема: на каждом шаге приходится использовать интегрирование.
К счастью, существует и другой способ использования ПБ, который известен как теорема перестановочности, открытый Бьянки (1892). Он основан на том, что можно составить несколько ПБ, которые разными путями могут описывать одно, и из записанных соотношений вывести результат алгебраически.

Сначала к вакуумному состоянию добавим один солитон с параметром $\lambda_1$ , отвечающим за скорость, потом второй, но с другим параметром. Они описываются с помощью двух преобразований Бэклунда с соответствующими параметрами. В результате получим решение u_3 . Теперь попробуем пойти другим способом: к вакуумному состоянию добавим сначала второй солитон, а потом первый, получив решение u_4 . Для его получения нам потребуется два других ПБ. Схематично эти преобразования изображены на диаграмме:

Диаграмма получения двухсолитонного решения двумя путями.

Возникает вопрос: будут ли эти два способа давать одинаковое решение. Теорема Бианки о перестановочности, доказывает что, да. "Для любых решений 1 и 2 константы интегрирования в преобразованиях Бэклунда, которые генерируют 3 и 4 решения, можно установить такими, чтобы результат оказался равным".

Для каждого из них составим одно из уравнений входящих в ПБ, но с перекрестным параметром $\lambda$ . Это позволит нам связать третье решение одновременно с первым и вторым.

$\begin{aligned} \frac{1}{2} \partial_{\xi} (u_1 - u_0) &= \lambda_1 \sin \frac{u_1 + u_0}{2} \\ \frac{1}{2} \partial_{\xi} (u_2 - u_0) &= \lambda_2 \sin \frac{u_2 + u_0}{2} \\ \frac{1}{2} \partial_{\xi} (u_3 - u_1) &= \lambda_1 \sin \frac{u_3 + u_2}{2} \\ \frac{1}{2} \partial_{\xi} (u_3 - u_2) &= \lambda_2 \sin \frac{u_3 + u_2}{2} \\ \end{aligned}$

Подставив теперь вакуумное решение и два известных односолитонных решения, теперь можно выразить решение u_3 алгебраически. Можно убедиться, что тот же самый результат получится, если взять части ПБ соответствующие дифференцированию по $\tau$ .

Геометрическая иллюстрация преобразования Бэклунада, соответствия точек и базисных векторов, Преобразование связывает поверхности Белтрами, статическое односолитонное решение уравнения синус-Гордона (черно белая поверхность) и поверхность Куэна, двусолитонное решение уравнения СГ (обозначена красным цветом). Источник: Mansouri, Abdelmagid, Tošić, Orszt, Elshafei (2023). «Corresponding Principal and Asymptotic Patches for Negatively-Curved Gridshell Designs», Advances in Architectural Geometry — Геометрическая иллюстрация преобразования Бэклунада, соответствия точек и базисных векторов, Преобразование связывает поверхности Белтрами, статическое односолитонное решение уравнения синус-Гордона (черно белая поверхность) и поверхность Куэна, двусолитонное решение уравнения СГ (обозначена красным цветом). *Источник: Mansouri, Abdelmagid, Tošić, Orszt, Elshafei (2023). «Corresponding Principal and Asymptotic Patches for Negatively-Curved Gridshell Designs», Advances in Architectural Geometry*

Во время солитонного бума 1960-1970-х годов было обнаружено, что преобразования Бэклунда подходят ко многим другим нелинейным уравнениям. Причем ПБ могут связывать разные решения не только удовлетворяющие одному уравнению, но и между двумя разными. Классическим примером является пара уравнений: уравнение Кортевега-де Фриза (КдФ):

$u_t + 6uu_x + u_{xxx} = 0$

и другое, но похожее на него, отличающиеся только степенью 2 в середине, называемое модифицированное уравнение Кортевега-де Фриза (далее мКдФ):

$v_t - 6v^2v_x + v_{xxx} = 0$

Миура (1968) выяснил, что преобразование $u = \pm v_x - v^2$ переводит одно решение уравнения мКдФ в решение уравнения КдФ. Эта часть преобразования Бэклунда исторически получила особенное название: преобразование Миуры. Другую половину ПБ можно получить исключая все производные функции по используя подстановки преобразования Миуры в уравнение мКдФ. Позже было установлено, что ПБ не существует для уравнений аналогичного вида с другими степенями вместо 2 или 1, при этом они и не имеют солитонных решений, и не интегрируемы, что наводит на мысль о некой связи ПБ с интегрируемостью. Вскоре были найдены ПБ для других интегрируемых уравнений, и не только солитонных. Ниже в таблице приведен очень краткий список ПБ и соответствующих им уравнений.

Преобразования Бэклунда (ПБ) и связанные с ними уравнения. Как солитонные так и простые. В списке литературы даны ссылки на дополнительные подробности, их вывод, а также ПБ для других уравнений.

Когда ПБ связывают два решения одного и того же уравнения, то в таблице они записываются почти одинаковыми и отличаются только переменной, для которой проверялось условие совместности преобразований. Такие преобразования иногда называют авто-преобразованием Бэклунда (АПБ).

Связь ПБ с квантовой механикой

Любопытно, что из АПБ уравнения СГ можно получить связь с квантовой механикой. Исключая из ПБ с помощью преобразования

$w = \tan \frac{1}{4}(u - v)$

Получаем:

После подстановки получается система уравнений:

$\begin{aligned} w_{\xi} &= - \mu w + \frac{1}{2}u_{\xi}(1 + w^2) \\ w_{\tau} &= - \frac{1}{2\mu} (1 - w^2) \sin u - \frac{1}{2\mu} w \cos u\end{aligned}$

в которые теперь входит только одна производная и квадратичная нелинейность. Такие уравнения называются уравнениями Риккати. Они всегда разрешимы: введем две функции $\psi_1$ и $\psi_2$ удовлетворяющие $w = \frac{\psi_1}{\psi_2}$ , тогда уравнение примет вид

$\psi_2 \psi_{1, \xi} - \psi_1 \psi_{2, \xi} = \lambda \psi_1 \psi_2 + \frac{1}{2} \phi_{\xi} (\psi_1^2 + \psi_2^2)$

Которое можно расщепить на два линейных уравнения:

$\begin{aligned}\psi_{1, \xi} + \frac{1}{2} \mu \psi_{1} &= \frac{1}{2} \phi_{\xi} \psi_{2} \\\psi_{2, \xi} + \frac{1}{2} \mu \psi_{2} &= - \frac{1}{2} \phi_{\xi} \psi_{1}\end{aligned}$

Для приведения в более знакомый вид, продифференцируем их по $\xi$ и положим $\lambda = \mu / (2i)$ , при этом первые производные можно будет исключить, и тогда оно запишется:

$\left( \frac{\partial ^2}{\partial \xi^2} + \lambda^2\right)\left( \begin{matrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{matrix}\right) = - \frac{1}{4}\left(\begin{matrix} u_{\xi}^2 & - 2 u_{\xi\xi} \\ 2 u_{\xi\xi} & u_{\xi}^2 \end{matrix}\right)\left( \begin{matrix} \psi_1 \\ \psi_2 \end{matrix}\right)$

двухканальное (векторное) квантовое уравнение Шредингера, где $\lambda$ - собственное значение, а входящая в уравнение матрица - матрица рассевающего потенциала, а $(\psi_1, \psi_{2})^T$ вектор-столбец волновых функций.

Другой подход к преобразованиям Бэклунда связан с известным ещё в начале 20-го века методом из теории обыкновенных дифференциальных уравнений, факторизацией, то есть разложением на множители линейных операторов. Для этого из нелинейного уравнения сначала вычленяют линейную часть. Например, чтобы уравнение Шредингера было факторизуемо, одномерный оператор Шредингера пробуют разложить на множители:

$\partial^2_x + \frac{1}{6}\alpha q = (\partial_x + u)(\partial_x + v)$

что возможно при u=-v, v_x - v^2 = q/6 , которое оказывается преобразованием Миуры. При допустимой перестановке факторизации и функции , такой что

$\partial^2_x + \frac{1}{6}\alpha Q = (\partial_x v)(\partial_x + u)$

приводит уже к АПБ для уравнения КдФ.

Законы сохранения и преобразования Бэклунда

С помощью ПБ для нелинейных уравнений можно вывести бесконечный набор законов сохранения.

О законах сохранения

В теоретической физике для обыкновенных дифференциальных уравнениях законы сохранения играют важную роль, помогают решать уравнения и связаны с симметриями.

Вспомним, что для конечных систем из N частиц в фазовом пространстве размерности 2N (обобщенная координата + скорость) она считается полностью интегрируемой, когда можно найти N независимых коммутирующих гамильтанианов (симметрий). По теореме Арнольда-Лиувилля, такие системы имеют переменные "угол-действие", которые линеаризуют поток, и их можно разрешить, то есть найти решения с помощью квадратур. Связанная с этим принципом теорема Нётер (о которой совсем недавно на Хабре опубликован небольшой очерк) утверждает, что в каждой дифференцируемой симметрии действия для физической системы с консервативными силами соответствует закон сохранения, например:

Преобразование	Инвариантность	Закон сохранения (з. с.)
трансляция времени	однородность времени	з. с. энергии
трансляция пространства	однородность пространства	з. с. импульса
вращение пространства	изотропность пространства	з. с. момента импульса
калибровочное преобразование	калибровочная инвариантность	з. с. заряда
... и другие

С оговорками принцип распространяется на некоторые уравнения в частных производных, которые могут быть интерпретированы как бесконечномерные гамильтоновые системы имеющие бесконечное количество законов сохранения, и, следовательно, по аналогии с конечномерным случаем, являющиеся интегрируемыми.

При этом нужно принять во внимание, что универсального определения интегрируемости всё таки нет. Есть несколько подходов, критериев или тестов, считать ли нелинейные уравнения интегрируемыми. Например, существует ли для них, представление в виде пары Лакса, преобразование Бэклунда и Дарбу, многосолитонные решение, бесконечное число законов сохранения и связанных с ними симметрий, приведение к трансцендентам Пенлеве, многомерная согласованность, алгебраическая энтропия для дискретных моделей.

При подходе вытекающем из теоремы Нетер может возникнуть вопрос, где же бесконечное число частиц в нелинейных уравнениях в частных произвродных. Один их вариантов ответа, что бесконечное число частиц ассоциируют с бесконечным числом разбиений непрерывной функции в пределе, например, с бесконечным числом маятников в модели Скотта рассмотренной в предыдущей статье цикла. Каждый маятник имеет два параметра : отклонение + скорость. Для магнитных скирмионов (также рассмотренных в предыдущей статье) 2k параметра в зависимости от числа степеней свободы k каждого элемента системы. Двойка, напомним, связана с тем, что для каждого элемента имеется обобщенная координата и обобщенный импульс, и система уравнений Гамильтона для классической механики соответственно состоит из двух уравнений для каждого элемента.

Для одномерных уравнений закон сохранения можно записать в виде

$\frac{\partial}{\partial t} \rho + \frac{\partial}{\partial x} F = 0$

где $\rho(x, t)$ сохраняющаяся плотность, F(x, t) - поток (flux).

Схематично плотности, потоки и смысл данного уравнения можно представить рассмотрев простейшую модель: цепочку бесконечно малых резервуаров расположенных вдоль оси соединенных между собой микротрубками. Тогда функция сохраняющейся плотности $\rho(x, t)$ будет соответствовать уровню жидкости в каждом резервуаре, а функцию потока F(x, t) можно ассоциировать со скоростью движения жидкости по трубам. Дальше как в школьной задаче "в одну трубу вливается, в другую выливается": Для каждого бассейна разность скоростей вливания и выливания равна пространственной производной $- \partial_x F$ , а изменение уровня жидкости в бассейне по времени выражается через производную $\partial_t \rho$ .

В солитонных уравнения таких плотностей и соответствующих им потоков множество, и чтоб различать, их нумеруют присваивая им соответствующий индекс. Все пронумерованные таким образом интегралы движения можно вычислить разными способами. Один из них, хотя исторически и не первый, базируется на использовании ПБ.

Вывод законов сохранения для нелинейных уравнений с помощью ПБ

Трюк заключается в следующем. При обычном использовании ПБ для получения нового решения из старого возникал параметр $\lambda$ , в котором был закодирован параметр решения отвечающий за скорость "добавленного" солитона. Но можно рассмотреть бесконечно малое (инфинитезимальное) преобразования Бэклунда относительно этого параметра, при этом, как и в вариационном методе, разложив решение в ряд по этому параметру. То есть вместо того, чтобы через систему ПБ проводить отдельную переменную описывающее новое и старое решение целиком, как единый объект, мы как бы разложим этот объект на спектр, словно световой поток по частотам. Но так как ряд степенной, то и спектр будет дискретным. Другое важное отличие от аналогии, что в обычной оптике волны разных частот распространяются независимо, то есть не влияя друг на друга, в системе нелинейных уравнений может появится связь между дискретными составляющими "спектра". Технически процедура выглядит таким образом. Разложим в бесконечный ряд по параметру, который стремиться к нулю:

$u (\xi, \tau, \lambda) \approx \sum\limits_{j=0}^{\infty} u_j (\xi, \tau \lambda^j), \quad \lambda \rightarrow 0$

подставим его в ПБ для уравнения СГ, а затем приравняем выражения при одинаковых степенях $\lambda^j$ .

$\begin{aligned} u_0 &= v \\ u_1 &= 2v_{\tau} \\ u_2 &= 2 v_{\tau\tau} \\ u_3 &= 2 v_{\tau\tau\tau} + v_\tau^3/3 \\ \dots\end{aligned}$

При этом уравнению СГ в конусных переменных соответствует плотность Лагранжиана $\mathcal{L} \frac{1}{2}v_{\xi} v_{\tau} + (1 - \cos v)$ . Видно, что при применении к последнему уравнений Эйлера-Лагранжа можно вывести уравнение СГ. Формула лагранжиана подразумевает закон сохранения энергии в виде:

$\frac{1}{2}(u_{\xi}^2)_{\tau} + (\cos u - 1)_{\xi} = 0$

в добавок к которому можно выписать также симметричное выражение, в силу симметричности лагранжиана относительно $\xi$ и $\tau$ . Подставляя в него выражения u_j из списка выше, получается набор сохраняющихся плотностей поскольку $\lambda$ произвольно. Некоторые из них:

$\begin{aligned} T_0 &= \frac{1}{2}v_\xi^2 \\ T_1 &= 2 v_{\tau\tau\tau \xi}v_\xi + 4 v_{\tau\tau \xi}v_{\tau \xi} + v_\tau^2v_{\tau \xi}v_\xi \\ \dots\end{aligned}$

Данная последовательность законов сохранения впервые была получена Крускалом и Вилеем, но другим способом. В другой форме она получена Крускалом, Лэмом и Шарнаком. Соответствующие статьи указаны в списке литературы.

Для уравнения КдФ (записанного с необычными коэффициентами) $u_t + uu_x + u_{xxx}$ плотности сохраняющихся величин следующие:

$\begin{aligned} T_1 &= u \\ T_2 &= \frac{1}{2}u^2\\ T_3 &= \frac{1}{3}u^3 - u_x^2\\ T_4 &= \frac{1}{4}u^4 - 3 uu_x^2 + \frac{9}{5}u_{xx}^2\\ \dots\end{aligned}$

Они были открыты Гарднером, Крускалом и Миурой в 1968.

Системы компьютерной алгебры (СКА) даже того времени позволяют продолжить список символических выражений для законов сохранения более высокого порядка. СКА также используются для непосредственного программирования преобразований Бэклунда (с учетом теоремы о перстановочности) для получения выражений многосолитонных решений.

Оказалось, что бесконечное число законов, солитонноподобные свойства, преобразования Бэклунда и интегрируемость уравнений внутренне как-то связанны, но при этом, напомним, ПБ, как и интегрируемость, могут иметь место не только для солитонных уравнений.

Поэтому кроме поиска ПБ для уже известных нелинейных уравнений проводились исследования, можно ли построить именно такие уравнения, для которых преобразования Бэклунда точно будут работать. Например, рассмотрев нелинейные обобщения линейного уравнения Клейна-Гордона (далее КГ), играющего важную роль в физике, так как оно является релятивистской версией уравнения Шредингера. Напомним, что уравнение СГ, уравнения Лиувилля, уравнения фи-4 также являются нелинейными версиями уравнения КГ, а в случае тождественному равенству нулю правой части вырождается в простое волновое уравнение, подходящее для описание безмассовых скалярных и векторных полей.

$u_{xt} = F(u)$

Учитывая важность перечисленных вариантов уравнения КГ и возник вопрос, а для каких функций , кроме уже известного уравнения СГ, возможны ПБ и солитоны. Частично ответ на этот вопрос был дан, но только для ПБ некоторого типа. В этом случае они работают, если а) F(u) является линейной функцией, в том числе когда к уравнению добавляются производные порядка u_x, u_t б) . Любопытно, что такое же условие возникло у Крускула при изучении существования бесконечного число законов сохранения для этого же уравнения обобщенного вида уравнения КГ.

Скрытый текст

Впрочем позже были приведены примеры и других, более сложных уравнений типа КГ. Примеры приведены в «примечания к корректуре» (Буллаф и Кодри 1983, стр. 159 и стр. 126 ) редактора С. П. Новикова. Они соответствуют операторам большего размера, а в начале для основных солитонных уравнений использовался оператор в виде матрицы размером 2x2

Об исследования вида нелинейной функции в обобщенном КГ (David W. McLaughlin и Alwyn C. Scott 1973 ), (Додд и др. 1988, с. 28 ), (Dodd и R. K. Bullough 1976 )

Заключение

История солитонов интересна тем, что она связана со многими далекими разделами математики с неожиданной стороны. Понадобилось вспомнить о геометрических понятиях. Было описано, как солитонные уравнения в частных производных связаны с поверхностями отрицательной кривизны (ПОК).

Геометрический подход полезен тем, что он тоже развивается и может быть расширен, например, от поверхностей к многомерным объектам, от квадратичных форм к формам более высокого порядка. Кроме того не обязательно связываться со "статическими" поверхностями, было обнаружено что нерастяжимые кривые с постоянной кривизной или постоянным кручением, но извивающимися во времени, тоже связанны с солитонными уравнениями.

Если вдаваться в технические детали опущенные в данной статье, то кроме дифференциальной геометрии под капотом были использованы такие методы как разложение в ряд, универсальная тригонометрическая подстановка, свойство тригонометрических функций связанных с преобразованием сложения в произведение, однородные выражения, а также кажущееся школьным или даже "игрушечным" преобразование от лабораторных координат к координатам светового конуса: один результат получить сложением, другой результат получить вычитанием. Сложение и вычитание использовались также и в выражениях ПБ для уравнения СГ и будут ещё часто встречаться в дальнейшем.

Развитие преобразований Бэклунда продолжилось и после "солитонного бума". В то время как Бэклунд в конце 19 века исследовал поверхности, а Софус Ли формировал теорию групп, Дарбу изучал другие преобразования для спектральной задачи обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. В конце 1970-х годов В. Б. Матвеев обнаружил, что метод предложенный Дарбу может быть распространен на некоторые важные солитонные уравнения. Около 1990 года было осознано, что этот метод достаточно эффективен для многих уравнений в частных производных.

В некотором роде ПБ можно воспринимать как некоторый аналог процедуры (оператора) рождения частицы. Также стоит отметить, что сама рекурсия заложенная в ПБ, тоже может быть связанна интегрируемостью. В том числе в дискретной дифференциальной геометрии. Позже, кроме чисто алгебраических подходов, были разработаны комбинаторные представления, связанные с полиномами Шура, производящими функциями, а на рубеже веков с бинарными полиномами Белла, приводящих, возможно, в глубь основ математики, казалось бы давно изученных областей.

"Надеюсь, однажды все эти вопросительные знаки в таблице будут заменены галочками." (Chau 1983). Некоторые уравнения рассматриваемые в 1983 году Ling-Lie Chau. и наличие у них: преобразования Бэклунда (BT), Законов сохранения (Conservation laws), применимость метода обратного рассеяния (Inverse scattering) и матрицы рассеяния (S-Matrix)

Тем временем открытие бесконечных законов сохранения для многих интегрируемых нелинейных уравнений в 1960-1970, взаимосвязанных бесконечных потоков, связи с оператором Шредингера, преобразованием Бэклунда привело к обнаружению иерархий множества нелинейных солитонных уравнений, а также метода обратной задачи рассеяния. Об этом в следующей статье.

Список литературы

Дифференциальная геометрия

Учебники и справочники:

Список учебников доступных в онлайне на сайте eqworld.ipmnet.ru

а также можно найти:
Позняк, Э. Г. и Е. В. Шикин (1990). Дифференциальная геометрия, Первое знакомство
Александров, А. Д. и Н. Ю. Нецветаев (2010). Геометрия, Учебник. 2- е изд. СПб.:БХВ-Петербург, с. 624. isbn: 978-5-9775-0419-5
Бронштейн, И. Н. и К. А. Семендяев (1986). Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд. М.: Наука,
Новиков, Сергей Петрович и Искандер Асанович Тайманов (2005). Современные геометрические структуры и поля. МЦНМО
Eisenhart, L. P. (1909). A Treatise on the Differential Geometry of Curves and Surfaces

Видео лекции МГУ:

Основные структуры дифференциальной геометрии для физиков Григорьев Максим Анатольевич, Овчинников Сергей Германович
Классическая дифференциальная геометрия Дынников Иван Алексеевич
Классическая дифференциальная геометрия Иванов Александр Олегович
Классическая дифференциальная геометрия Пенской Алексей Викторович
Классическая дифференциальная геометрия Фоменко Анатолий Тимофеевич
Классическая дифференциальная геометрия Шафаревич Андрей Игоревич

Статьи Хабр:

Путь к геометрии Лобачевского 4: псевдосфера (цикл статей)

Уравнение СГ и поверхности

Попов, А. Г. (2005). «Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики».
Санюк, В. И. и Л. В. Хорунжая (2004). «Псевдосферические поверхности и уравнение синус-Гордона».
Позняк, Э. Г. и А. Г. Попов (1991). «Геометрия уравнения sin-Гордона»
Новокшенов, В. Ю. (2002). Введение в теорию солитонов. Учебное пособие.
Terng, Chuu-Lian (дек. 2002). «Geometries and symmetries of soliton equations and integrable elliptic equations». arxiv.org

Заметки профессора Nicholas Wheeler

Ранняя история солитонов

Heyerhoff, Markus (1998). Mathematikgeschichte und Unterricht I. Mathematik im Wandel. под ред. Michael Tiepell. Hildesheim, http://solitons.de/theme_de.htm
Браун, О. М. и Ю. С. Кившарь (2008). Модель Френкеля-Конторовой: концепции, методы, приложения. Москва : Физматлит, с. 536. isbn: 978-5-9221-0973-4 (Приложение)
Cogliati, Alberto (июнь 2020). «Luigi Bianchi’s early investigations on pseudospherical surfaces»

Преобразованиях Бэклунда

Достаточно подробным описанием ПБ для различных уравнений является 400-х страничная монография авторов Rogers С. и Schief W. K. (2002, первая в списке) под редакцией Ablowitz, Mark J. and Davis, S. H. and Hinch, E. J. and Iserles, A. and Ockendon, J. and Olver, P. J.

Rogers С. и Schief W. K. (2002). Bäcklund and Darboux Transformations. Geometry and Modern Applications in Soliton Theory. ISBN: 9780511157905
Буллаф, Р. и Ф. Кодри (1983). Солитоны. Мир,
Додд, Р. и др. (1988). Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, ISBN: 5-03-000732-6, с. 29
Лэм, Д. Л. (1983). Введение в теорию солитонов
Новокшенов, В. Ю. (2002). Введение в теорию солитонов.
Лекционные подробные заметки (на английском): Cremonesi, Stefano и Charlotte Sleight (2022). «Solitons III Lecture notes». unpublished.
Dodd, R. K. и R. K. Bullough (дек. 1976). «Backlund Transformations for the Sine-Gordon Equations». doi: 10.1098/rspa.1976.0154
Lamb, G. L. (дек. 1974). «Bäcklund transformations for certain nonlinear evolution equations». в: Journal of Mathematical Physics 15.12, с. 2157-2165. issn: 1089-7658. doi: 10.1063/1.1666595
Lund, Fernando (1978). «Solitons and Geometry». в: Nonlinear Equations in Physics and Mathematics. Springer Netherlands, с. 143—175. isbn: 9789400998919. doi: 10.1007/978-94-009-9891-9_6
Mansouri, Mohammad и др. (сент. 2023). «Corresponding Principal and Asymptotic Patches for Negatively-Curved Gridshell Designs». в: Advances in Architectural Geometry 2023. De Gruyter, с. 55—68. isbn: 9783111162683.
doi: 10.1515/9783111162683-005
Scott, A. C., F. Y. F. Chu и D. W. McLaughlin (1973). «The soliton: A new concept in applied science». в: Proceedings of the IEEE 61.10, с. 1443—1483. doi: 10.1109/proc.1973.9296

Исторические:
Bianchi, L. (1892). «Sulla trasformazione di Bäcklund per le superficie pseudosferiche.» в: Rend. Ac. Naz. dei Lincei 5, с. 3—12
Bianchi, L. (1879). «Ricerche sulle superficie a curvatura constante e sulle elicoidi. Tesidi Abilitazione».
Bäcklund, Albert Victor (1883). «Om ytor med konstant negativ krökning.» в: Lunds Universitets Årsskrift

Преобразование Бэклунда и законы сохранения

Для уравнения СГ подробности можно посмотреть в
- Scott, A. C., F. Y. F. Chu и D. W. McLaughlin (1973). «The soliton: A new concept in applied science». в: Proceedings of the IEEE 61.10, с. 1443—1483. doi: 10.1109/proc.1973.9296
- Lamb, G. L., M. O. Scully и F. A. Hopf (нояб. 1972). «Higher Conservation Laws for Coherent Optical Pulse Propagation in an Inhomogeneously Broadened Medium». в: Applied Optics 11.11, с. 2572. issn: 1539-4522. doi: 10.1364/ao.11.002572
- Schnack, D. D. и G. L. Lamb (1973). «Higher Conservation Laws and Coherent Pulse Propagation». в: Coherence and Quantum Optics. Springer US, с. 23—33. isbn: 9781468420340. doi: 10.1007/978-1-4684-2034-0_4
- McLaughlin, David W. и Alwyn C. Scott (дек. 1973). «A restricted Bäcklund transformation». в: Journal of Mathematical Physics 14.12, с. 1817—1828.
  issn: 1089-7658. doi: 10.1063/1.1666254
- Буллаф, Р. и Ф. Кодри (1983). Солитоны. Мир, стр. 29
Для КдФ:
- Miura, Robert M., Clifford S. Gardner и Martin D. Kruskal (авг. 1968). «Korteweg-de Vries Equation and Generalizations. II. Existence of Conservation Laws and Constants of Motion». в: Journal of Mathematical Physics 9.8, с. 1204—1209. doi: 10.1063/1.1664701
- Scott, A. C., F. Y. F. Chu и D. W. McLaughlin (1973). «The soliton: A new concept in applied science». в: Proceedings of the IEEE 61.10, с. 1443—1483. doi: 10.1109/proc.1973.9296
- Подробно вывод сохраняющихся плотностей из ПБ для КдФ разобран в Лекции №7 А. П. Исаева "Введение в теорию интегрируемых систем"
Chau, Ling-Lie (1983). «Bianchi-Bäcklund Transformations, Conservation Laws, and Linearization of Various Field Theories». в: The High-Energy Limit. Springer US, с. 249—280. isbn: 9781461335061. doi: 10.1007/978-1-4613-3506-1_8
McLaughlin, David W. и Alwyn C. Scott (дек. 1973). «A restricted Bäcklund transformation». в: Journal of Mathematical Physics 14.12, с. 1817—1828.
issn: 1089-7658. doi: 10.1063/1.1666254
Satsuma, J. (окт. 1974). «Higher Conservation Laws for the Korteweg-de Vries
Equation through Backlund Transformation» doi: 10.1143/ptp.52.1396
Gardner, Clifford S. (авг. 1971). «Korteweg-de Vries Equation and Generalizations. IV. The Korteweg-de Vries Equation as a Hamiltonian System». в: Journal of Mathematical Physics 12.8, с. 1548—1551. issn: 1089-7658. doi: 10.1063/1.1665772
Kruskal, Martin D. и др. (март 1970). «Korteweg-de Vries Equation and Generalizations. V. Uniqueness and Nonexistence of Polynomial Conservation Laws». в: Journal of Mathematical Physics 11.3, с. 952—960. issn: 1089-7658. doi: 10.1063/1.1665232
Тахтаджян, Л. А. и Л. Д. Фаддеев (1986). Гамильтонов подход к теории солитонов.

Связь с квантовой механикой.

Додд, Р. и др. (1988). Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, (с. 49. с. 181),
Также Burchnall, J. L. и T. W. Chaundy (апр. 1928). «Commutative Ordinary Differential Operators» doi: 10.1098/rspa.1928.0069

Кривые с постоянной кривизной или кручением

Lamb, G. L. «Solitons on moving space curves». в: Journal of Mathematical Physics 18.8, с. 1654—1661. issn: 1089-7658. doi: 10.1063/1.523453
Monterde, J. (2009). «Salkowski curves revisited: A family of curves with constant curvature and non-constant torsion». в: Computer Aided Geometric Design 26.3, с. 271—278. issn: 0167-8396. doi: 10.1016/j.cagd.2008.10.002
Hasimoto, Hidenori (1972). «A soliton on a vortex filament». в: Journal of Fluid Mechanics 51.3, с. 477—485. issn: 1469-7645. doi:10.1017/s0022112072002307

Хабы:

Солитоны-4. Поверхности постоянной отрицательной кривизны и преобразования Бэклунда

Предисловие

О кривизне

Кривизна кривой

Поверхности

Полная кривизна поверхности

Деривационные уравнения и условия совместности

Вывод уравнения СГ

Примеры поверхностей

Преобразования Бэклунда

Связь ПБ с квантовой механикой

Законы сохранения и преобразования Бэклунда

О законах сохранения

Вывод законов сохранения для нелинейных уравнений с помощью ПБ

Заключение

Публикации

Ближайшие события