alexgoodok 4 апр в 13:12

Солитоны-4. Поверхности постоянной отрицательной кривизны и преобразования Бэклунда

Сложный

37 мин

3.5K

Математика*Научно-популярное

Ретроспектива

+11

Комментарии 7

dmagin 5 апр в 14:22

В списке литературы "Додд и др.", осталось недописанным. Видимо речь о книге "Солитоны и нелинейные волновые уравнения", 1988.

alexgoodok 5 апр в 15:59

Спасибо. Совершено верно.
В другом разделе списка написано полное наименование (с указанием на другие страницы). Но замечание уместно, исправил.
Русское издание основано на втором издании (1984, с исправлениями) книги Dodd, Roger & Eilbeck, J. & Gibbon, John & Morris, Hedley. (1982). Soliton and nonlinear wave equations.

Книга увесистая (около 700 страниц) с подробным изложением некоторых тем. Остается только учитывать, что с 1982 года теория не стояла на месте.

antiquar 6 апр в 16:07

Большое спасибо, очень хороший обзор!

В следующем году Софус Ли показал, что преобразования Бэклунда (далее ПБ) можно представить как декомпозицию, то есть через разложение преобразования Бьянки и преобразование Ли

По изустной информации, имел место некоторый обмен "любезностями", после чего, в частности, Ли перестал в своих работах ссылаться на Беклунда.

alexgoodok 7 апр в 18:24

Да, именно обзор. Многое оставлено за скобками, так как рассматривать слишком детально, как мне кажется, нет особого смысла, подробности можно найти в курсах, соответствующей литературе (даже если и на английском языке) или в конце-концов спросить ИИ. Цель обзора скорее вводить в предметную область, взаимосвязь с основными понятия, которые находятся не в мэйнстриме и поэтому мало известны специалистам в свой области (даже математикам).

А про конфликт Ли и Бэклунда не знал, не докопался до него. Думаю, что он возник из-за выбора стратегии, то есть в каком направлении развивать и, следовательно, куда направить усилия других математиков. Бэклунд концентрируется на том, как работает конкретный механизм, узкие задачи, какие получаются свойства из его конструкции, а Ли систематизировал свойства и симметрии более глобально (не важно как они внутренне устроены, то есть представлены). И конечно оба были сильно заинтересованы, чтоб другие математики помогали развивать их область. Но несмотря на их возможную конкуренцию, оба подхода важны. Физикам, естественно, интересней групповой подход: практику-строителю важней вопрос как работают различные модели дрелей-шуруповертов, как их использовать, как подключать, нежели как распространяется электричество в обмотках и особенности производства статора и ротора.

В тоже время оба подхода могут иметь свои особенности и недостатки: если систематизировать только свойства (пусть и всеобъемлющие и как можно больше используемые), то, возможно, придется непроизвольно ограничить себя некоторыми вшитыми ограничениями, и они в дальнейшем становятся уже как бы незаметны, и начинают воспринимаються как должное.
А если копаться в деталях, то можно не заметить далеко идущие следствия, их взаимосвязи и из-за этого углубляться во второстепенные направления потеряв более важную цель.

Что касается рассмотрения нелинейных уравнений через дифференциальную геометрию, оно полезно еще и тем, что помогает вообразить некоторые пути расширения механизма: а что будет в случае с гиперповерхностей (когда погружаются не обычные двумерные поверхности в трехмерное пространство), могут ли быть инварианты не квадратичные, а мультилинейные формы, или могут ли быть аналоги ПБ которые связывают не два, а сразу три решения (и три уравнения)... и так далее. Впрочем, на мой взгляд подробней эти вопросы лучше рассмотреть после еще двух статей-обзоров, чем больше наблюдений о возможных расширениях (выходов из гипотетических тупиков) будет собрано тем ясней можно выбирать направления и понимание о важности выхода. Особенно если ограничения взаимосвязаны.

antiquar 8 апр в 05:11

А про конфликт Ли и Бэклунда не знал, не докопался до него

Наверное, это нигде не описано. Во всяком случае, в книге Полищука "Софус Ли" этого нет.

Я услышал эту историю от своего научного руководителя (он, аналогично, от своего).

Думаю, что он возник из-за выбора стратегии, то есть в каком направлении развивать и, следовательно, куда направить усилия других математиков.

Да нет, все проще ;) Бэклунд в конструкции Бианки заменил прямой угол на некоторый заданный и получил, как он полагал, более общее построение. Но он не заметил того, что, как Вы правильно написали, его преобразование оказалось композицией преобразования Бианки и еще одного, причем второе преобразование - тривиальное масштабирование по двум осям (в уравнении СГ

$\varphi_{uv} = \sin \varphi$

это будет замена u->u*a, v->v/a).

В общем, по мнению Ли, на результат это не тянуло, с чем не согласился Бэклунд (признаться, я тоже какого-то особенно глубокого смысла в добавлении двух растяжений не вижу).

alexgoodok 8 апр в 06:15

Понятно. Тут я на скорее на стороне Бэклунда. Да и самому Бьянки без этого параметра(в статье обозначен через $\lambda$ ) не удалось бы сформулировать через десяток лет "теорему перестановочности". Для прямых углов (Бьянки) если $\lambda =1$ , рождается стационарный солитон, а отличные от 1 параметры будут соответствовать двигающемуся солитону. Причем если параметр меньше единицы, то в лабораторных координатах солитон движется в одну сторону сторону, а если больше единицы - в другую. К сожалению в статью не стал добавлять часть о координатах светового-конуса (удалил из черновиков, оставил только ссылку на wiki) и о ее связи с лабораторными координатами (привычным временем и пространством, ‘физические координаты’). В дифференциальной геометрии лабораторные координаты являются линиями кривизны поверхности, а светового конуса - асимптотическими линиями.

Те самые два растяжения, о которых вы написали - сжатия по одной оси и одновременное (синхронное) растяжение по другой оси во столько же раз - имеют значение в координатах-светового конуса. Они связаны с преобразованием Лоренца для псевдоеклидовой плоскости, а также напрямую с фактором Лоренца и "быстротой". При этом сама форма преобразования связана с движением по гиперболе: $\frac{u}{a} a v = uv = \text{const}$ .

Параметр важен и для других уравнений. Он и для них задает инвариантные преобразования масштаба, но кроме того появляется как формальный параметр асимптотического разложения в ряд, параметр в вершинных операторах, дискретный спектральный параметр и так далее.
Забегая немного вперед, для иерархии КдФ и мКдФ инвариантные преобразования масштаба с нечетными степенями ( $\lambda, \lambda^3, \lambda^5, \dots$ ), для Кадомцева-Петиашвили все натуральные числа ( $\lambda, \lambda^2, \lambda^3, \dots$ ), а для уравнения СГ сжатия и растяжение ( $\lambda^{-1}, \lambda$ ).

antiquar 8 апр в 07:51

В дифференциальной геометрии лабораторные координаты являются линиями кривизны поверхности, а светового конуса - асимптотическими линиями.

В одной из первых своих работ Ли построил прямолинейно-сферическое отображение поверхностей, которое переводит асимптотические линии в линии кривизны. Интересно, нет ли в нем какого-то физического смысла.

Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий