Everything must be made as simple as possible. But not simpler.
Как запомнить свойства логарифмов, как научиться легко жонглировать этими хитрыми формулами? Согласитесь, это понятие достаточно вязкое, как-то недостаточно удобно лежит в голове, чтобы им можно было легко оперировать в размышлениях. Практический опыт подсказывает, для этого нужно понять что они значат, на каких принципах они работают. Если угодно, им нужно привязать им логику, удобную для восприятия образного человеческого мышления.
Математическая логика (на которой основана вся математика и которой пользуются все учебники, описывая математические понятия) состоит из аксиом, доказательств, следствий и т.п. Признаем, вся эта логика не выражает общей картины рассматриваемого понятия, не дает вида с высоты на это понятия, не раскрывает его "инженерных", прикладных свойств.
Предлагаю свой дешифрованный из математических аксиом вариант толкования логарифмов, удобный для восприятия.
Чтобы не прибегать к помощи кузнечиков, нам понадобится небольшой арсенал инструментов: всего пара абстракции из разделов математики чуть-чуть выше элементарной(математика же состоит из кирпичиков) и пара простых мнемоник. Все это здорово облегчит восприятие логарифмов.
Абстракции, которые нам понадобятся:
Понятие функции
, 
, 
. Обычные функции с одним аргументом. Будем их трактовать как преобразования аргумента 
в 
, как какое-то действие по преобразованию одного числа в другое.Обратная функция
, в том смысле что 
.Композиция функций, объединение действия функций
и 
, 
, которое можно выразить уже другой более общей функцией
: 
(вокруг него и будет вертеться все размышления)Декомпозиция, т.е. разделить действие какой-то общей функции на промежуточные преобразования (обратная композиция).
В явном виде я этими абстракциями пользоваться не буду, буду иметь их ввиду как бэкграунд. Если вы с ними знакомы, то отлично. Если нет, в принципе, сложностей не должно возникнуть, так как эти понятия достаточно легки и очевидны. Лайфхак: можно потренировать понимание этих абстракции в книжках по haskell.
Замечу, все выводы покажутся очень уж простыми, очевидными и лежащими на поверхности. Но!... Я нигде такого не встречал и поэтому оставлю это здесь.
Для референса вставлю официальное определение (аксиоматическое). Добавлю в него со своей стороны только осмысленные названия переменным (система обозначений очень важна, облегчает восприятие!), акцентируем цвета.
Определение. Логарифмом числа n (number) по основанию b (base) называется показатель степени (экспонента, exp), в которую нужно возвести b, чтобы получить число n.
Логарифм записывается в виде
Читается как «логарифм числа n по основанию b».
Логарифм это по сути функция от двух переменных. Ее можно записать как 
или в более общем виде 
. Но конкретное значение одного аргумента функции (в данном случае значение основания) фиксируется и записывается в виде индекса снизу, получается функция от одного переменного. Т.е.,
И так, что важного можно выделить из определения логарифма?
Логарифм - это функция и она возвращает какое-то число, степень. И так, Логарифм - это степень, обычная степень. Как неожиданно! Но для чего такая сложность?
В рамках понятия логарифма, сама операция возведение в степень рассматривается в более общем смысле - как преобразование числа.
И тут можно выделить двойственную природу этого понятия: что делает и как это делает (декларативное и императивное проявление). Что делает - выражено в виде функции, а как делает - в виде возвращаемого значения, степени.
И так, Логарифм - это функция, преобразует число. Метод преобразования (как сделать это преобразование) - возведение в степень. Какое число преобразует - то которое находится в основании, к какому - к тому которое указано в аргументе?
Причем, всё это форма записи логарифма описывает очень даже наглядно. В самой форме его записи сквозит мнемоника, которая обо всем и говорит (и почему я не замечал ее когда был маленьким @$**&$@%$*&@ ??!?!).
Смотрим. В индексе написано - какое число преобразовывается( b - base, основание), стрелка указывает в какое число происходит преобразование (в число n, number).
А значение логарифма - "exp", это метод которым происходит преобразование числа b в n.
И так. Когда видим логарифм, мысленно рисуем стрелочку. Число b преобразуется в число n. Каким способом происходит преобразование? Возведением числа b в степень exp.
Немножко магии. Можно применить к числу b логарифм, без промежуточных вычислений. Хитрость в том, что можно не подставлять непосредственно значение exp, а подставлять саму функцию, трактуя ее как - какое преобразование необходимо произвести, преобразовать b в n.
Основное тождество логарифмов
Последнее выражение называется основном тождеством логарифмов, которое наглядно описывает определение логарифмов.
Чтобы преобразовать число b в n, нужно применить логарифм из b в n.
Декларативное поведение логарифмов (для функциональных программистов)
В этом выражении, Слева - функция. Справа - значение (просто степень).
Левая часть говорит - что нужно сделать (преобразовать число b в n). Правая часть говорит - как это сделать (нужно возвести число b в конкретную степень, exp). Привет, λ. При этом обе эти части по отдельности выполняют каждая свою роль в понятии логарифма.
А для чего нужны логарифмы
А теперь вопрос. А для чего нам может понадобится преобразовывать числа. Это уходит к историческим корням появления этого понятия и к свойству сложения логарифмов.
Логарифм возвращает определенное число, степень. Степень, которая нужна, чтобы получить желаемое число. Т.е. это своего рода код числа, происходит некое представление числа его другим образом, в образе степени. Образуется своего рода новая система счисления.
Давайте разберемся. У нас есть двоичная система счисления - для представления информации в виде 1 и 0 внутри техники, есть шестнадцатеричная - для удобства считывания ее человеком. А логарифмическая система - нужна для замены операции умножения, операцией сложения. И тут у нас есть все положенное для системы счисление: основание системы счисление, как допустим в двоичной; шифруемые данные; сами данные. Все это выражается в свойстве: 
, где произведение чисел 
и 
мы хотим заменить суммой их образов, получив значение, которое в последующем нужно будет декодировать для получения полного результат.
Прямые и Обратные преобразования
В этом пункте введу абстракции - концепцию прямых и обратных преобразований в логарифмах.
И так из предыдущего пункта, логарифмы отображают факт преобразования числа путем возведения в степень.
Назовем эту форму записи прямым преобразованием. В ней основание логарифма (b, base) преобразуется в число (n, number).
Введем концепцию обратных преобразований, основываясь на следующих рассуждениях.
Как интерпретировать логарифм под единицей? Понимание этой структуры (еще один кирпичик в здании математики) откроет легкую дорогу к другим более сложным концепциям логарифмов:
Будем действовать на сопоставлениях с конкретными числами. Возьмём число 2 и степень 3. 2 в 3 степени - 8. Дополним этот пример логарифмами:
А теперь преобразуем 8 обратно в 2 извлекая корень (обратная операция по отношению к "возведению в степень"), что эквивалентно возведению в степень 1/3:
Сопоставляя это, выражение "логарифм под единицей" выполняет обратное преобразование, из number в base, при применении его к числу :
Чтобы преобразовать 8 в 2 методом "возведения в степень", нужно возвести 8ку в степень 1/3. А теперь выразим это на языке логарифмов:
Если проанализировать, вникнуть в цепочку преобразования, становится ясно как интерпретировать выражение единица "деленная на логарифм под единицей". Это выражение извлекает корень или делает обратные преобразования из числа n в основание b:
Сформулируем основное логарифмическое тождество для обратных преобразований:
Композиция Логарифмов, последовательность преобразований.
Раскроем тему, как интерпретировать произведение логарифмов между собой, умножить логарифм на логарифм.
Если рассматривать логарифм, как преобразование чисел, то можно развить эту идею в направлении композиции преобразований, их объединении в одно преобразование.
Композиция логарифмов
Т.е. не нужно последовательно преобразовать число b в n, затем в m. Можно преобразовать одним действием, b в m.
Оператором "композиции" тут работает операция умножения. Такое ее поведение можно проследить из численных примеров с возведением в степень:
перация "умножения" в этом случае служит клеем, оно объединяет действие логарифмов. Осуществляет их композицию, т.е. выдает логарифм объединяющий действие нескольких логарифмов.
Тут, конечно, есть условие композиции. Вход и выход преобразований должны коррелировать между собой. Если прослеживается цепочка преобразований, то ее можно свернуть в одно преобразование:
Забавно, можно сделать и декомпозицию. Разбить преобразование на бесконечное множество промежуточных преобразований:
А теперь совместим прямое преобразование, обратное преобразование и композицию. Получим еще пару свойств, которые вы уже в состоянии понять и воспринимать как нечто само собой разумеющееся:
Смена основания логарифма. В чем логика формулы ?!
А теперь рассмотрим самую страшная формула логарифмов. Смена основания логарифмов. Страшнее логарифмов только его формула смена основания. В учебниках о ней пишут на последних страницах, выделяя для этого целую главу. Из далека она кажется действительно не понятной и сбивает с толку, вызывая неловкость в использовании.
Прежде всего, для чего прежде это нужно. Все логарифмы мы можем свести к логарифму с определенным основанием. Самые такие популярные логарифмы это логарифмы с 10 и числом е в основании. Для чего? Банально, эти функции есть в калькуляторе. И чтобы вычислить произвольный логарифм, нужно перевести его в натуральный или десятичный логарифмы.
Как это делается. Возьмем произвольный абстрактный логарифм и добавим в него промежуточное преобразование.
А теперь, применим концепцию обратных преобразовании и заменим левый множитель.
В этом случае "промежуточное" число выступает в качестве нового основания всей конструции.
Элегантно и просто!
Послесловие
В данной статье я рассмотрел не все свойства логарифмов, а только те из них которые связаны общей концепцией - концепцией преобразования.
Как вам такое толкование?!
