Давняя геометрическая загадка наконец-то разгадана
Около десяти лет назад Тонан Камата, ныне математик из Японского института передовых наук и технологий (JAIST), заворожённо стоял перед экспонатом математического музея, похожим на оригами. На нём была изображена треугольная плитка, разрезанная на четыре части, которые были соединены крошечными шарнирами. При простом повороте кусочки вращались, превращая треугольник в квадрат.
Экспозиция ведёт свою историю от математической головоломки, опубликованной в газете 1902 года. Генри Дьюдени, английский математик-самоучка и автор колонки головоломок, попросил своих читателей разрезать равносторонний треугольник на наименьшее количество частей, которые можно будет потом сложить в квадрат. В своей следующей колонке через две недели он отметил, что «мистер К. У. Макилрой из Манчестера» — Чарльз Уильям Макилрой, клерк, который часто писал Дьюдени с решениями головоломок, — нашёл решение из четырёх частей. Спустя ещё две недели Дьюдени сообщил, что никто из других читателей газеты не смог справиться с этой задачей, и с тех пор рекорд остаётся в силе. Однако до сих пор не доказано, существует ли решение с меньшим количеством кусочков.
Головоломка стала известна как «разрезание Дьюдени» или «задача галантерейщика», и о ней даже написали в июньском номере журнала Scientific American за 1958 год. Мартин Гарднер, математик и давний колумнист журнала, написал об этой загадке.
Теперь, спустя более 122 лет после того, как она была впервые опубликована, Камата и два других математика наконец доказали, что решение с меньшим количеством кусочков невозможно. Их результат был опубликован на сервере arXiv.org в препринте от декабря 2024 года под названием «Dudeney's Dissection Is Optimal».
Вместе с математиком Массачусетского технологического института Эриком Демайном и математиком JAIST Рюхеем Уехарой Камата разрабатывал новый подход к решению проблем складывания оригами с помощью теории графов. В теории графов граф — это набор линий, или рёбер, и вершин, то есть точек, где рёбра пересекаются. Рёбра и вершины одного графа можно сравнить с рёбрами и вершинами другого графа, чтобы изучить более глубокие взаимосвязи между двумя структурами — такой подход, по мнению Каматы, может помочь решить проблему расчленения Дьюдени.
Одна часть проблемы довольно проста: решение из двух частей можно исключить, если подумать об ограничениях задачи. Для начала, треугольник и квадрат должны иметь равные площади, потому что составляющие их кусочки одинаковы. Для квадрата самый длинный возможный разрез — по диагонали. Немного математики с ручкой и бумагой показывают, что, к сожалению, длина диагонали слишком мала для стороны треугольника такой же площади, что исключает решение, использующее два кусочка.
Однако доказать, что решений из трёх кусочков не существует, гораздо сложнее, и в этом причина столетней задержки. Хотя речь и идёт о трёх частях, существует бесконечное число способов разрезать треугольник, говорит Демейн. «У каждого из этих кусочков может быть произвольное количество граней, а координаты этих разрезов начинаются в произвольных точках», — говорит он. «У вас есть эти непрерывные параметры, где существует множество и множество бесконечностей возможных вариантов, что делает задачу такой раздражающе трудной. Вы не можете просто перебрать их с помощью компьютера».
Чтобы решить эту проблему, группа классифицировала возможные разрезы равностороннего треугольника, основываясь на том, как разрезы пересекают его грани. Сначала исследователи отсортировали бесконечное множество способов разрезать треугольник на пять уникальных классификаций. Затем они повторили упражнение для квадрата и нашли 38 различных классификаций.
Затем исследователи попытались сопоставить треугольный граф с квадратным, проследив все возможные пути в каждой фигуре и сравнив получившиеся наборы длин рёбер и углов. Если бы один из путей квадрата совпал с путём из треугольника, это означало бы, что исследователи нашли решение, состоящее из трёх частей.
Этот подход превратил непрерывную задачу в дискретную — почти. По словам Демейна, в рамках каждой классификации существует «ещё бесконечно много мест, куда могут попасть все эти вершины». В итоге группа вывела набор сложных лемм, или промежуточных шагов в теореме, которые, вместе с категориями, использовали доказательство от противного, чтобы найти несовпадающие пути.
Специалист по информатике из Колледжа Смита Джозеф О'Рурк (Joseph O'Rourke), который не участвовал в нынешней работе и десятилетиями постоянно бился над этой загадкой, считает, что доказательство группы, вероятно, можно упростить. Он отмечает, что для устранения всех возможностей потребовалась запутанная коллекция весьма специфических лемм: «Многие другие исследователи сдались бы».
Очень важно, что если авторы смогут упростить своё доказательство, то метод диаграмм совпадений сможет раскрыть целый ряд связанных с оригамиподобными проблемами открытых вопросов. «Эти проблемы напоминают нам о том, как много ещё предстоит открыть», — говорит Камата. «Каждый может стать первопроходцем на этом рубеже».
