Математики нашли совершенно новый способ поиска простых чисел

[zhka]

<DELETED>

[Naf2000]

где M1 (n), M2 (n) и M3 (n) — хорошо изученные функции разбиения

Было бы интересно узнать конкретику

[sci_nov]

Да. Я не смог понять что за функции. Информации на русском нет, либо надо правильный запрос делать.

[kovserg]

Это коэфициэнты полинома p(q)
p(q) = sum( M(a,n)*q^n , n=0..inf ) = sum( q^(k1+k2+..+ka) / (1-q^k1)^2 / (1-q^k2)^2 / ... / (1-q^ka)^2 , 1<=k1<=k2<=...<=ka )

sum( M1(n)*x^n ) = sum( x^k / (1-x^k)^2, k>=1 )
sum( M2(n)*x^n ) = sum( x^(k1+k2) / (1-x^k1)^2 / (1-x^k2)^2, 1<=k1<=k2 )
sum( M3(n)*x^n ) = sum( x^(k1+k2+k3) / (1-x^k1)^2 / (1-x^k2)^2 / (1-x^k3)^2, 1<=k1<=k2<=k3 )

M(a,n) = sum( d1 * d2 * ... * dk, { 0<m1<m2<...<mk, n=m1 * d1+m2 * d2+...+mk * dk } )

Если n кубиков разместить строчками, так что бы в следующей было не меньше чем в предыдущей. Это сумма по всем возможным таким представлениям, произведения высот одинаковых строчек при условии что таких блоков k штук.

n=17 k=3

##### 2
#####
##
##    3
##
#     1

три блока высоты 2, 3, 1 произведение высот 2*3*1

https://arxiv.org/pdf/2412.19180

[sci_nov]

Спасибо. Посмотрю. Но хотелось бы знать как корректно на русском называть эти функции.

[alan008]

https://en.wikipedia.org/wiki/Plane_partition

На русском пока не нашёл

[alan008]

Нашёл, плоское разбиение. Вот целая методичка про это, на русском:

https://www.hse.ru/data/2013/11/18/1334580480/notes_dubna2.pdf

[sci_nov]

Экзотика какая то. Интересно.

[d_ilyich]

Если заглянуть в работу, о которой идёт речь, то там эти функции разбиения упоминаются как

MacMahon’s partition functions

[vaa_msu]

К сожалению, для вычисления этих функций надо знать делители числа n. Например, M1(n) -- это сумма делителей числа n, а M3(n) -- сумма кубов этих делителей.

[rapidstream]

Тогда это очень странное "открытие".

[wataru]

Кто-нибудь читал, эти уравнения это необходимое или необходимое и достаточное условие? В тексте тут говорится, что это "новые определения", но есть ли у этих уравнения ложноположительные срабатывания?

[wataru]

Сам отвечу:

For example, an integer n ≥ 2 is prime if and only if

Это очень здорово.

[Deosis]

Больше похоже на то, что в уравнение запихали свойства простых чисел. Можно привести такое уравнение n-φ(n)-1=0.

Все простые числа являются корнями уравнения, а составные - нет. Это следует из свойств функции φ(n). Но это не значит, что изобретено новое определение простых чисел.

[hisava]

число 5 имеет семь разбиений
1. 4 + 1
2. 3 + 2
3. 3 + 1 + 1
4. 2 + 2 + 1
5. 2 + 1 + 1 + 1
6. 1 + 1 + 1 + 1 + 1