На Хабре была опубликована статья [1], в которой описывался прибор для умножения многозначного числа сразу на все множители от 2 до 9 – так называемые «бруски Иофе», предложенные в 1881 году Гиршем Залмановичем Иофе. В статье говорилось, что это был один из двух вычислительных приборов, в основе устройства и работы которых лежит теорема Слонимского. Сразу же замечу, что если быть точным, то речь должна идти не о теореме Слонимского, а о следствии из неё – так называемой «полной таблице Слонимского» (о ней – ниже).
Мне стало известно, что в Музее науки в Лондоне имеется экспонат «Filipowski's calculating rods (56)»/«Счётные стержни Филиповского (56)» (рис. 1) (https://collection.sciencemuseumgroup.org.uk/objects/co60566/filipowskis-calculating-rods-56),
который, как выяснилось, также связан с указанной таблицей:
![Рис 1 [2]](https://habrastorage.org/r/w1560/getpro/habr/upload_files/bd9/84d/031/bd984d031bc1c7fe4086190256da3766.jpg "Рис 1 [2]")
Он был изобретён в Англии примерно в 1860 году Гершелем Филиповским, который родился в России.
К сожалению, информации об этом приборе крайне мало. Очень краткая информация о нём представлена на сайте [3]. Автор сайта, крупный специалист в области истории вычислительной техники Стефан Вайс, указывает ряд вопросов, ответы на которые ему получить не удалось.
В связи с этим я поставил перед собой цель – подробно описать устройство и использование указанного прибора. Несмотря на ограниченность исходной информации, мне удалось это сделать. Полученные результаты я представляю в данной статье. Думаю, она будет интересна всем, кто интересуется историей вычислительной техники. Полезными являются также некоторые математические аспекты статьи.
Сначала – теория
Когда мы умножаем многозначное число на однозначное в столбик, некоторая очередная цифра искомого произведения в общем случае определяется следующим образом:
1) очередная цифра множимого умножается на число-множитель;
2) к полученному произведению добавляется значение переноса в уме из разряда справа;
3) если полученная сумма является двузначной,
то
· её последняя цифра записывается как очередная цифра искомого произведения
· первая цифра суммы переносится в старший разряд
иначе (полученная сумма – однозначная)
· сумма записывается как очередная цифра искомого произведения
Если условно рассматривать однозначную сумму как двузначную (08 и т. п.), можно так сформулировать этап 3:
· последняя цифра суммы записывается как очередная цифра искомого произведения
· первая цифра переносится в старший разряд.
Итак, для определения очередной цифры искомого произведения, например, в разряде сотен, нужно знать значение переноса из разряда десятков справа. Но это значение, в свою очередь, зависит от ряда других значений, то есть оно неизвестно! Как же быть? А давайте рассмотрим все возможные варианты.
Например, когда очередная цифра множимого равна 7, а умножается она на числа 1, 2, …, 9, то получаются следующие значения произведения (см. таблицу 1).
Но возможны также переносы из разряда справа. Тут и начинается самое интересное. Оказывается (это следует из теоремы Слонимского), при умножении двух однозначных чисел существуют только 28 неповторяющихся вариантов набора значений переноса в старший разряд. Они перечислены в таблице 2.
Это значит, что для каждого из произведений для числа 7 в табл. 1 можно рассмотреть и учесть все 28 вариантов значений переносов из разряда справа. Результат показан в таблице 3.
Теперь мы можем определить, какая очередная цифра может быть в том или ином случае при умножении числа 7 и какие значения переносов в старший разряд будут в каждом случае. Возможные очередные цифры для каждого из 28 вариантов приведены в табл. 4, а значения переносов – в табл. 5.
И ещё очень важный вывод. По таблице 5 мы можем определить, какой вариант набора значений переносов (см. таблицу 2) передается в старший по отношению к цифре 7 разряд в том или ином случае. Номера этих вариантов укажем в дополнительном справа столбце таблицы 4, а таблицу 5 забудем 😊.
Если теперь числа в строках таблицы 4 записать в столбцах, то можно получить таблицу 6.
Вверху таблицы 6 оттенены «входные» номера переносов (из разряда справа), внизу – «выходные» (в разряд слева).
Таблицы, аналогичные таблице 6, можно получить и для случая умножения других цифр (в том числе цифры 0, которая, естественно, может присутствовать в множимом числе). Во всех 10 таблицах будут представлены 280 столбцов, в которых записаны результаты умножения однозначных чисел на 1, 2, … 9 для всех возможных наборов переноса из младшего разряда:
- очередная цифра произведения;
- номер варианта переноса в соседний старший разряд.
280 столбцов с цифрами и будут являться той самой полной таблицей Слонимского, которая упоминалась в начале статьи (таблицу, аналогичную таблице 2, называют «основной таблицей Слонимского»).
Как использовать полную таблицу Слонимского?
Пусть, например, надо найти произведения числа 527.
Учитывая, что для последнего разряда числа переноса из младшего разряда нет (то есть имеет место вариант 1 таблицы 2), то можем использовать такой столбец таблицы 6 (напомню, что там данные только о цифре 7):
Теперь мы знаем, что в разряд десятков передается перенос номер 20. Найдя среди 280 столбцов нужный столбец с цифрой 2 (при определенной их группировке это сделать не сложно), приложим его слева:
Аналогично может получить цифры в разряде сотен:
Так как результат умножения может быть 4-значным, добавим столбец с цифрой 0 и входным номером переноса 15:
Результат – как говорится, «налицо». Эффектно, не правда ли?
Прибор Филиповского
Он включал в себя набор деревянных цилиндрических стержней, размещённых в отверстиях деревянного корпуса размером 128 x 130 x 75 мм с крышкой (см. рис. 1), а также устройство, использовавшееся при расчётах (на рис. 1 оно слева внизу, см. также рис. 3 чуть ниже). Один из стержней показан на рис. 2.
На цилиндрической поверхности каждого стержня вдоль его оси на бумаге были изображены 10 столбцов. Каждый столбец начинался латинской буквой, ниже которой – записаны 9 цифр. Стержни снабжены ручкой, на верхней части которой была указана латинская буква.
При расчётах использовалось устройство, показанное на рис. 3. В нём предусмотрены восемь отверстий, в которых размещались стержни, и восемь прорезей, в которых был виден один из столбцов каждого стержня, то есть результат умножения мог быть 8-значным. Справа на устройстве закреплена пластина с числами-множителями 2–9.
Анализ показал, что цифры в всех столбцах всех стержней представляют собой полную таблицу Слонимского.
Прежде чем идти дальше, скажу, что на приборе Иофе, описанном в [1], кроме арабских цифр, в столбцах были указаны входной номер переноса (вверху) и выходной (внизу). Вместо чисел 1, 2, …, 28, изобретатель использовал одно из римских чисел I, II, …, VII и одну из латинских буквы A, B, C, D (все в отдельных клетках столбцов). Это позволило разместить все 280 столбцов на 70 брусках квадратного сечения.
Филиповский организовал эту систему по-другому – в качестве входных и выходных номеров переноса он указал буквы, которыми обозначены стержни. Для всех столбцов стержня входной номер определяла буква на его ручке, а выходной – указывался в верхней части того или иного столбца (рис. 4).
Несмотря на минимальную информацию о приборе, мне удалось восстановить содержимое всех 280 столбцов 28 стержней «системы Филиповского» (почему 28 – будет объяснено чуть позже). Обо всех стержнях рассказывать не буду – постараюсь объяснить на нескольких примерах.
На сайте [3] приведён пример умножения на приборе 5-значного числа 37582 (см. рис. 5 ниже). Так как последним изображен столбец А, то это означает, что Филиповский сопоставил номеру 1 переноса букву А. Это позволило определить содержимое 10 столбцов стержня с буквой А.
В полной таблице Слонимского входному номеру переноса 1 для цифры 2 соответствует номер выходного переноса – 6. А Филиповский обозначил выходной перенос буквой В, то есть на стержне В, который использован в разряде десятков, входной номер переноса – 6. Так я узнал содержимое 10 столбцов стержня с буквой В:
Аналогично были «расшифрованы» стержни H, U, X, Q.
Сложнее было с остальными 22 стержнями. Повезло то, что Филиповский привёл букву выходного переноса в верхней части каждого столбца (в отличие от Иофе).
Например, на фотографиях прибора на стержне Н я увидел рядом два выходных «кода» – О и Q.
Зная особенности «кода» Н (24 номер таблицы Слонимского) и кода Q (11), я смог определить, что буквой О Филиповский обозначил номер переноса 8.
Так, переходя от известных стержней к неизвестным, я получил содержимое остальных стержней. Развёртки всех 28 стержней желающие могут посмотреть по адресу:
https://drive.google.com/file/d/1NhT7qd2w_X29NXg090tgJbGHkHaEI06r/view?usp=sharing
Методику вычислений на приборе Филиповского опишу на примере умножения числа 37582 (см. также рис. 5).
В крайнем правом отверстии устройства размещался стержень с буквой А на ручке, который вращался до тех пор, пока в прорези не оказывался столбец с верхней цифрой 2 (последней цифрой множимого). При этом буква вверху столбца (В) указывала, стержень с какой буквой должен быть размещен в отверстии слева. После его размещения он вращался до появления в прорези верхней цифры 8 (предпоследней цифре множимого). В этом положении буква вверху столбца (Н) определяла стержень в соседнем отверстии и так далее. Действия продолжались до появления на крайнем левом стержне столбца, в верхней части которого указано сочетание А и 0. В результате в каждой строке были представлены произведения числа 37582 на 2, 3, …, 9.
Ещё один пример (умножение 10-значного числа, условное) приведу в готовом виде:
Теперь – о количестве стержней. Несмотря на то, что сайте Музея науки в названии прибора Филиповского указано количество стержней 56, их – 64. 56 из них основные и 8 дополнительных. Основные стержни – это 2 экземпляра каждого из 28 стержней с полной таблицей Слонимского. В обозначении 28 стержней использованы 26 прописных латинским букв, а также буквы a и b.
Почему нужны два экземпляра основных стержней? Дело в том, что при принятой Филиповским системе кодирования переносов (напомню – буквой стержня) возможны случаи, когда стержень указывает в старшем разряде самого себя (своеобразная рекурсия). То есть при расчётах 2 одинаковых стержня могут быть расположены рядом (в приборе Иофе такая ситуация невозможна). Таких стержней 15. Кроме того, возможны случаи, когда необходимость в повторном использовании некоторого стержня может возникнуть в разряде не рядом с этим стержнем. Например, если в примере на рис. 5 в разряде десятков тысяч записать цифру 5, то в разряде сотен тысяч опять понадобится стержень U. Поэтому в комплект прибора включены не 28, а 56 стержней. Конечно, это было определённым недостатком прибора Филиповского (по сравнению с брусками Иофе, которые были изобретены двадцатью годами позже).
Ещё 8 дополнительных стержней, обозначенных буквами c, d, g и, скорее всего, e, f, h, I, j, использовались в случаях, когда понадобятся 3 экземпляра некоторого стержня. Мной обнаружено, что при умножении числа, оканчивающегося цифрами 011, может понадобиться даже 4 стержня с буквой А. Восстановить развёртки дополнительных стержней мне не удалось.
Я установил, что прибор, находящийся в Музее науки в Лондоне, имеет неправильный набор стержней – некоторые из основных стержней есть только в одном экземпляре, в то время как дополнительные стержни c, d и g – в 5 экземплярах. Это говорит о том, что в нём представлены стержни из нескольких приборов.
Второй из известных приборов Филиповского был продан в 2013 году на аукционе в Англии за 4400 фунтов стерлингов.
Литература
1. Бруски Иоффе — множительный инструмент на основе теоремы Слонимского https://habr.com/ru/articles/401283/
2. https://history-computer.com/people/herschell-filipowski/
3. http://www.mechrech.info/publikat/JoffeFilipowski.pdf