belch84 11 hours ago

Диван Гервера: опыт построения, рекомендации по изготовлению и перемещению в узких коридорах

Medium

15 min

1.1K

Mathematics * PhysicsData visualization *

Case

В мире существует множество производителей диванов, например: Poltrona Frau, Ligne Roset, Minotti, Edra, COR, W. SCHILLIG (все эти производители из Европы), некоторые из них занимаются изготовлением мебели уже очень давно. Их диваны иногда получают собственные названия, поэтические и оригинальные. Есть также много выдающихся дизайнеров мебели, для спроектированных ими диванов помимо собственного названия также часто указывается имя дизайнера, например, диван "Ма джонг" Ханса Хопфера. Однако мне хотелось бы рассказать о диване, названном в честь математика, сконструировавшего его теоретически. Не уверен, что существуют воплощения этого дивана в виде реального предмета мебели, но он является довольно известным среди ученых, да и просто любителей математических головоломок

Задача перемещения дивана в Г-образном узком коридоре. Простейшие формы диванов. Диван Гервера

Задача о перемещении дивана была поставлена Лео Мозером в 1966 году и формулируется следующим образом: найти плоскую (двумерную) фигуру (можно считать её диваном) максимальной площади, которую можно переместить в Г-образном коридоре (т.е. имеющем прямоугольный поворот) с заданной шириной прямых участков (например, по 1 м)

Простейшие фигуры, которые можно перемещать в Г-образном коридоре - это квадрат со стороной 1 м и полукруг диаметром 1 м. Площадь квадратного дивана равна 1, площадь полукруглого - $\pi/2$ , т.е.1,570796326794...

Простейшие диваны, удовлетворяющие условиям задачи о перемещении дивана

Диван Гервера - это наилучшее известное на сегодняшний день решение задачи о перемещении дивана. Он представляет собой плоскую фигуру сложной формы, ограниченную набором гладких кривых. Эта фигура была предложена Джозефом Гервером из Ратгерского университета в 1992 году. Площадь дивана Гервера равна 2.21953166887...

В ноябре 2024 года в Arxiv.org был прислан препринт работы "Optimality of Gerver's Sofa" (автор Jineon Baek), в которой утверждается, что диван Гервера представляет собой окончательное решение задачи о перемещении дивана, т.е. не существует дивана, который можно переместить по Г-образному коридору шириной 1 м, и имеющего площадь большую, чем у дивана Гервера (этому событию была посвящена статья на Хабре). Доказательство оптимальности дивана Гервера очень сложное и сейчас все еще проходит проверку. В любом случае понятно, что даже если будет найдено лучшее решение задачи, оно будет не очень сильно отличаться от дивана Гервера (не по форме фигуры, а по её площади). Поэтому имеет смысл рассмотреть подробно, как строится диван Гервера. Изложение основано на работе [1]

Контактные точки и контактные траектории, фазы перемещения

Контактные точки - это точки контакта дивана и коридора. Координаты этих точек зависят от параметра, обозначающего конкретный момент перемещения дивана, условно его можно считать временем. При перемещении дивана контактная точка описывает некоторую траекторию, которая называется контактной траекторией. Для контактных траекторий дивана Гервера существуют специальные стандартные обозначения:
$\mathbf{x}(t) = (x_1(t), x_2(t))$ - точка контакта дивана с внутренним углом коридора
$\mathbf{A}(t) = (A_1(t), A_2(t))$ - точка контакта дивана с правой внешней стенкой коридора
$\mathbf{B}(t) = (B_1(t), B_2(t))$ - точка контакта дивана с правой внутренней стенкой коридора
$\mathbf{C}(t) = (C_1(t),C_2(t))$ - точка контакта дивана с левой внешней стенкой коридора
$\mathbf{D}(t) = (D_1(t), D_2(t))$ - точка контакта дивана с левой внутренней стенкой коридора

Правая и левая сторона указаны для момента перемещения дивана в соответствии с рисунком ниже, для моментов, близких к начальному и конечному, они скорее являются правой и верхней или левой и верхней

Перемещение дивана Гервера происходит в виде отдельных фаз движения. В каждой из фаз могут быть задействованы разные контактные точки (это означает, что в данной фазе какие-то точки действительно контактируют со стенкой коридора, а какие-то нет). На рисунке показана вторая фаза перемещения, в ней участвуют все контактные точки, кроме $\mathbf{B}(t)$ , можно считать, что для этой фазы точка $\mathbf{B}(t)$ не существует.
Всего для полного поворота дивана в углу коридора используется пять фаз движения

Оказывается, что

траектории $\mathbf{x}(t)$ удовлетворяют системе двух дифференциальных уравнений второго порядка (можно легко привести её к системе четырех уравнений первого порядка), для каждой фазы перемещения эта система своя
траектории $\mathbf{A}(t),\mathbf{B}(t),\mathbf{C}(t),\mathbf{D}(t)$ могут быть выражены через траектории $\mathbf{x}(t)$ при помощи формул, одинаковых для всех фаз движения (формулы справедливы, если данная контактная точка существует, т.е. задействована в данной фазе)
сам диван Гервера можно составить из кривых, описываемых точками $\mathbf{x}(t),\mathbf{A}(t),\mathbf{B}(t),\mathbf{C}(t),\mathbf{D}(t)$ , которые дополнены тремя прямыми естественным образом

Вот уравнения для $\mathbf{x}(t)=\begin{pmatrix} x_1(t)\\ x_2(t) \end{pmatrix}$ для всех фаз перемещения в векторном виде

$\\\mathbf{x}''(t)=\begin{pmatrix}cos(t) \ \ \ -sin(t)\\sin(t) \ \ \ \ \ \ \ \ cos(t)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\begin{pmatrix}a_i\\d_i\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}b_isin(t) \ \ \ \ c_icos(t)\\e_icos(t)\ \ \ \ f_isin(t)\end{pmatrix}\mathbf{x}'(t)\\\end{pmatrix}, \ \ i=1..5$

где

А это формулы, выражающие траектории $\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t), \mathbf{C}(t), \mathbf{D}(t)$ через траекторию $\mathbf{x}(t)$ и её производную:

$\begin{align}&A_1(t) = x_1(t)-(x_1'(t)cos(t)+x_2'(t)sin(t))sin(t)+cos(t)&\\&A_2(t) = x_2(t)+(x_1'(t)cos(t)+x_2'(t)sin(t))cos(t)+sin(t) \\ &B_1(t) = x_1(t)-(x_1'(t)cos(t)+x_2'(t)sin(t))sin(t)\\&B_2(t) = x_2+(x_1'(t)cos(t)+x_2'(t)sin(t))cos(t)\\&C_1(t) = x_1(t)-(x_1'(t)-sin(t)+x_2'(t)cos(t))cos(t)-sin(t)\\&C_2(t) = x_2(t)-(x_1'(t)-sin(t)+x_2'(t)cos(t))sin(t)+cos(t)\\&D_1(t) = x_1(t)-(x_1'(t)(-sin(t))+x_2'(t)cos(t))cos(t)\\&D_2(t) = x_2(t)-(x_1'(t)(-sin(t))+x_2'(t)cos(t))sin(t)\\\end{align}$

Участие контактных точек в фазах движения:

$\left\{\mathbf{A}, \mathbf{C}, \mathbf{D}\right\}$
$\left\{\mathbf{x}, \mathbf{A}, \mathbf{C}, \mathbf{D}\right\}$
$\left\{\mathbf{x}, \mathbf{A}, \mathbf{C}\right\}$
$\left\{\mathbf{x}, \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\right\}$
$\left\{\mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}\right\}$

Переменная t при полном прохождении поворота изменяется в диапазоне от 0 до $\pi/2$ . Значения переменной t для разных фаз находятся в следующих диапазонах:

$\begin{align}&Phase 1, \ \ 0 \leq t \leq 0.0391773648 \\&Phase 2, \ \ 0.0391773648 \leq t \leq 0.6813015094 \\&Phase 3, \ \ 0.6813015094 \leq t \leq 0.8894948174 \\&Phase 4, \ \ 0.8894948174 \leq t \leq 1.5316189620 \\&Phase 5, \ \ 1.5316189620 \leq t \leq 1.570796327\end{align}$

Системы уравнений для $\mathbf{x}(t)$ линейные, их решения можно выписать. Вот решение системы для фазы номер 2:

$\begin{align}&x_1(t) = k_1+(b_1 t+b_2-t^2/4)cos(t)+(-b_1+t/2-1)(-sin(t)) \\&x_2(t) = k_2+(b_1 t+b_2-t^2/4)sin(t)+(-b_1+t/2-1)cos(t) \\\end{align}$

где - некоторые числовые константы

Имея явные формулы для $\mathbf{x}(t)$ на разных фазах перемещения, можно найти формулы для производных $\mathbf{x}'(t)$ , выразить $\mathbf{A}(t), \mathbf{B}(t), \mathbf{C}(t), \mathbf{D}(t)$ через $\mathbf{x}(t)$ и $\mathbf{x}'(t)$ , а затем построить все кривые, составляющие диван Гервера.

Однако я решил пойти немного другим путем - просто решить все системы дифференциальных уравнений для $\mathbf{x}(t)$ численно. При этом не нужно будет как-то дополнительно вычислять производные $\mathbf{x}'(t)$ , потому что они входят в уравнения естественным образом виде дополнительных переменных

Здесь я несколько схитрил, поскольку уравнения для $\mathbf{x}(t)$ были мне известны из работы [1], но вот начальные условия - нет. Поэтому пришлось все-таки дополнить уравнения начальными условиями, полученными из явных решений с помощью их аналитического дифференцирования и вычислений по сложным формулам (я использовал работу [2] и онлайн-средство для аналитического дифференцирования). Тем не менее, это однократное действие позволило иметь для вычислений относительно компактное представление в виде пяти систем дифференциальных уравнений вместо множества довольно громоздких явных формул. Начальные условия необходимо было сформировать отдельно для каждой из фаз перемещения.

В качестве эксперимента я попробовал ограничиться одной системой четырех уравнений с правой частью, составленной из кусков разных правых частей, заданными разными формулами на разных фазах перемещения (это позволяло иметь только один набор начальных условий для первой фазы), но результат оказался явно неправильным, далеким от того, который получается для набора отдельных систем. Это естественно - кривая, ограничивающая диван Гервера, является непрерывной, но даже не непрерывно дифференцируемой

Проделав необходимые вычисления, теперь можно построить изображение дивана Гервера. Оно раскрашено в соответствии с фазами движения - одинаковый цвет соответствует одной и той же фазе движения для разных контактных точек

На отдельных кадрах показано увеличенное изображение коротких кривых (чтобы было понятно, что это действительно кривые, не точки)

Всего диван Гервера состоит из 18 гладких кривых (3 из них являются прямыми).

Анимированное изображение построения дивана Гервера с подсчетом кривых

Я приведу здесь набор из 5 систем дифференциальных уравнений, а также формулы для контактных точек, описывающие диван Гервера, в текстовом виде. Каждый сможет скопировать их в свою любимую программу для решения таких уравнений и воспроизвести процесс построения дивана.

Дифференциальные уравнения, описывающие диван Гервера

Gerver's sofa x(t), phase 1

Equations:
X1' = X3
X2' = X4
X3' = cos(t)*(-1+2*sin(t)*X3-2*cos(t)*X4)-sin(t)*(-0.5+2*cos(t)*X3+2*sin(t)*X4)
X4' = sin(t)*(-1+2*sin(t)*X3-2*cos(t)*X4)+cos(t)*(-0.5+2*cos(t)*X3+2*sin(t)*X4)

Initial conditions:
t0 = 0, t1 = 0.03917736479
X1(t0) = 0
X2(t0) = 0
X3(t0) = 0
X4(t0) = 1.420644844

Phase 1, contact points:
{ A, C, D }
===========================================================================
Gerver's sofa x(t), phase 2

Equations:
X1' = X3
X2' = X4
X3' = cos(t)*(-1+sin(t)*X3-cos(t)*X4)-sin(t)*(-0.5+1.5*cos(t)*X3+1.5*sin(t)*X4)
X4' = sin(t)*(-1+sin(t)*X3-cos(t)*X4)+cos(t)*(-0.5+1.5*cos(t)*X3+1.5*sin(t)*X4)

Initial conditions:
t0 = 0.0391773648, t1 = 0.6813015094
X1(t0) = -0.0029306807
X2(t0) = 0.0551867
X3(t0) = -0.14916
X4(t0) = 1.394432

Phase 2, contact points:
{ x, A, C, D }
===========================================================================
Gerver's sofa x(t), phase 3

Equations:
X1' = X3
X2' = X4
X3' = cos(t)*(-1+sin(t)*X3-cos(t)*X4)-sin(t)*(-1+cos(t)*X3+sin(t)*X4)
X4' = sin(t)*(-1+sin(t)*X3-cos(t)*X4)+cos(t)*(-1+cos(t)*X3+sin(t)*X4)

Initial conditions:
t0 = 0.6813015094, t1 = 0.8894948174
X1(t0) = -0.49076
X2(t0) = 0.650191
X3(t0) = -1.16712
X4(t0) = 0.26995

Phase 3, contact points:
{ x, A, C }
===========================================================================
Gerver's sofa x(t), phase 4

Equations:
X1' = X3
X2' = X4
X3' = cos(t)*(-0.5+1.5*sin(t)*X3-1.5*cos(t)*X4)-sin(t)*(-1+cos(t)*X3+sin(t)*X4)
X4' = sin(t)*(-0.5+1.5*sin(t)*X3-1.5*cos(t)*X4)+cos(t)*(-1+cos(t)*X3+sin(t)*X4)

Initial conditions:
t0 = 0.8894948174, t1 = 1.531618962
X1(t0) = -0.736762
X2(t0) = 0.650191
X3(t0) = -1.16712
X4(t0) = -0.26995

Phase 4, contact points:
{ x, A, B, C }
===========================================================================
Gerver's sofa x(t), phase 5

Equations:
X1' = X3
X2' = X4
X3' = cos(t)*(-0.5+2*sin(t)*X3-2*cos(t)*X4)-sin(t)*(-1+2*cos(t)*X3+2*sin(t)*X4)
X4' = sin(t)*(-0.5+2*sin(t)*X3-2*cos(t)*X4)+cos(t)*(-1+2*cos(t)*X3+2*sin(t)*X4)

Initial conditions:
t0 = 1.531618962, t1 = 1.570796327
X1(t0) = -1.224591
X2(t0) = 0.055187
X3(t0) = -0.149155
X4(t0) = -1.394429

Phase 5, contact points:
{ A, B, C }
===========================================================================
A1(t) = X1-(X3*cos(t)+X4*sin(t))*sin(t)+cos(t)
A2(t) = X2+(X3*cos(t)+X4*sin(t))*cos(t)+sin(t)

B1(t) = X1-(X3*cos(t)+X4*sin(t))*sin(t)
B2(t) = x2+(X3*cos(t)+X4*sin(t))*cos(t)

C1(t) = X1-(X3*-sin(t)+X4*cos(t))*cos(t)-sin(t)
C2(t) = X2-(X3*-sin(t)+X4*cos(t))*sin(t)+cos(t)

D1(t) = X1-(X3*-sin(t)+X4*cos(t))*cos(t)
D2(t) = X2-(X3*-sin(t)+X4*cos(t))*sin(t)

Анимированное изображение движения

Для создания анимированного изображения движения дивана Гервера по коридору удобно по математической традиции упростить систему и рассматривать не перемещение дивана в коридоре, а перемещение коридора вокруг дивана. Однако даже при таком упрощении построение перемещающегося коридора оказалось более сложным, чем построение самого дивана.

Во всех пяти фазах движения принимают участие контактные точки $\mathbf{A}(t)$ и $\mathbf{C}(t)$ , поэтому был соблазн построить внешние стенки коридора как касательные к траектории перемещения в этих точках, затем достроить внутренние стенки, пользуясь тем, что они находятся на известном расстоянии (1 м) от внешних. Это действительно работает для фаз 2-4, но фазы 1 и 5 устроены несколько необычно. В фазе 1 траектория $\mathbf{A}(t)$ фактически оказывается неподвижной точкой, то же самое происходит с траекторией $\mathbf{C}(t)$ в фазе 5. Поэтому в фазе 1 правая внешняя стенка коридора строится как нормаль к касательной в точке $\mathbf{C}(t)$ , проходящая через неподвижную точку $\mathbf{A}(t)$ . В фазе 5 левая внешняя стенка - это нормаль к касательной в точке $\mathbf{A}(t)$ , проходящая через неподвижную точку $\mathbf{C}(t)$ . Для построения касательных к кривым $\mathbf{A}(t)$ и $\mathbf{C}(t)$ приходится вычислять производные для соответствующих функций, а для этого необходимо знать вторые производные для $\mathbf{x}(t)$ . В этом случае для упрощения вычислений я решил воспользоваться численным дифференцированием по двум соседним точкам.

Анимированное изображение движения дивана в коридоре с разбиением по фазам

Стенки коридора меняют цвет в соответствии с цветом контактных траекторий текущей фазы

Диван Гервера в виде единой кривой (ломаной)

Построение дивана Гервера, разноцветное и красивое, оказывается слишком сложным для практического применения. Мне неизвестно, как устроены станки, позволяющие вырезать основу для дивана из ДСП, однако сомневаюсь, чтобы они могли бы воспроизводить одновременные разрезы в порядке прохождения фаз построения. В любом случае желательно было бы иметь представление дивана в виде набора точек, последовательно соединенных одна с другой (замкнутой ломаной). Это возможно сделать, расположив кривые, определяющие диван Гервера в определенном порядке. Пусть - это кривые, представляющие часть контура дивана $\mathbf{x}(t),\mathbf{A}(t),\mathbf{B}(t),\mathbf{C}(t),\mathbf{D}(t)$ в момент, соответствующий фазе с номером $i, i=1..5, \ \ L_1, L_2, L_3$ - прямые, ограничивающие диван (соответственно верхняя, левая нижняя и правая нижняя). Тогда единая кривая, ограничивающая диван, может быть представлена в виде следующей последовательности:

$\begin{align}&L_3, A_2, A_3, A_4, A_5, L_1-, C_1, C_2, C_3, C_4, L_2, D_1, D_2, x4-, x3-, x2-, B_4, B_5 \\\end{align}$

где "" обозначает для кривой $\mathbf{x}(t)$ прохождение в порядке, обратном тому, который использовался при исходном построении на основе дифференциальных уравнений, а для прямой обозначает порядок справа налево, противоположный естественному

Внимательный читатель заметит, что в этой последовательности отсутствуют кривые и .Однако это является следствием того, что в действительности эти кривые представляют собой неподвижные точки.

Анимированное изображение построения дивана Гервера в виде единой ломаной

Вот набор точек, определяющий контур дивана Гервера в виде единой ломаной. Каждый может воспользоваться им, скопировав текст и удалив строки, являющиеся комментариями (начинаются на "#"). Здесь немногим менее трехсот точек.

Точки непрерывной ломаной, составляющей диван Гервера

#  L3 A2 A3 A4 A5 -L1 C1 C2 C3 C4 L2 D1 D2 x4- x3- x2- B4 B5
#L3
1.9312000E-1 0
1            0
# A2
1.0000005E+0 -2.8441401E-6
9.9736986E-1  4.6892979E-2
9.9321398E-1  9.3031478E-2
9.8758338E-1  1.3834467E-1
9.8053202E-1  1.8276734E-1
9.7211721E-1  2.2623696E-1
9.6239943E-1  2.6869422E-1
9.5144226E-1  3.1008275E-1
9.3931218E-1  3.5034966E-1
9.2607839E-1  3.8944552E-1
9.1181271E-1  4.2732449E-1
8.9658935E-1  4.6394452E-1
8.8048475E-1  4.9926747E-1
8.6357737E-1  5.3325917E-1
8.4594753E-1  5.6588961E-1
8.2767714E-1  5.9713310E-1
8.0884962E-1  6.2696807E-1
7.8954960E-1  6.5537748E-1
7.6986266E-1  6.8234881E-1
7.4987521E-1  7.0787402E-1
# A3
7.4987558E-1  7.0787834E-1
7.4335008E-1  7.1583705E-1
7.3681488E-1  7.2363180E-1
7.3027280E-1  7.3126334E-1
7.2372665E-1  7.3873240E-1
7.1717920E-1  7.4603985E-1
7.1063313E-1  7.5318662E-1
7.0409123E-1  7.6017357E-1
6.9755614E-1  7.6700172E-1
6.9103065E-1  7.7367196E-1
6.8451733E-1  7.8018545E-1
6.7801887E-1  7.8654319E-1
6.7153783E-1  7.9274637E-1
6.6507691E-1  7.9879605E-1
6.5863860E-1  8.0469349E-1
6.5222550E-1  8.1043989E-1
6.4584009E-1  8.1603657E-1
6.3948490E-1  8.2148479E-1
6.3316240E-1  8.2678591E-1
6.2687506E-1  8.3194128E-1
6.2687462E-1  8.3194164E-1
# A4
6.2687441E-1  8.3194185E-1
6.0399903E-1  8.4985955E-1
5.8099253E-1  8.6665732E-1
5.5790389E-1  8.8234721E-1
5.3478126E-1  8.9694310E-1
5.1167146E-1  9.1046129E-1
4.8862059E-1  9.2291921E-1
4.6567319E-1  9.3433682E-1
4.4287272E-1  9.4473557E-1
4.2026117E-1  9.5413874E-1
3.9787921E-1  9.6257119E-1
3.7576590E-1  9.7005945E-1
3.5395914E-1  9.7663148E-1
3.3249472E-1  9.8231673E-1
3.1140713E-1  9.8714603E-1
2.9072896E-1  9.9115149E-1
2.7049135E-1  9.9436640E-1
2.5072328E-1  9.9682520E-1
2.3145218E-1  9.9856355E-1
2.1270357E-1  9.9961759E-1
# A5
 2.1270366E-1  9.9961673E-1
 2.1052867E-1  9.9969719E-1
 2.0835335E-1  9.9976818E-1
 2.0617765E-1  9.9982984E-1
 2.0400172E-1  9.9988189E-1
 2.0182572E-1  9.9992460E-1
 1.9964937E-1  9.9995770E-1
 1.9747310E-1  9.9998133E-1
 1.9529645E-1  9.9999563E-1
 1.9312003E-1  1.0000003E+0
# L1-
 1.9312000E-1 1
-1.4206448    1
# C1
-1.4206448E+0  1.0000000E+0
-1.4228213E+0  9.9999526E-1
-1.4249978E+0  9.9998105E-1
-1.4271743E+0  9.9995737E-1
-1.4293505E+0  9.9992421E-1
-1.4315266E+0  9.9988157E-1
-1.4337025E+0  9.9982947E-1
-1.4358782E+0  9.9976789E-1
-1.4380535E+0  9.9969685E-1
-1.4402285E+0  9.9961634E-1
# C2
-1.4402286E+0  9.9961625E-1
-1.4589773E+0  9.9856220E-1
-1.4782485E+0  9.9682398E-1
-1.4980165E+0  9.9436515E-1
-1.5182543E+0  9.9115021E-1
-1.5389324E+0  9.8714476E-1
-1.5600201E+0  9.8231542E-1
-1.5814847E+0  9.7663012E-1
-1.6032915E+0  9.7005807E-1
-1.6254049E+0  9.6256978E-1
-1.6477869E+0  9.5413728E-1
-1.6703985E+0  9.4473407E-1
-1.6931991E+0  9.3433525E-1
-1.7161466E+0  9.2291763E-1
-1.7391976E+0  9.1045962E-1
-1.7623073E+0  8.9694157E-1
-1.7854301E+0  8.8234556E-1
-1.8085187E+0  8.6665565E-1
-1.8315253E+0  8.4985782E-1
-1.8544007E+0  8.3194007E-1
# C3
-1.8543964E+0  8.3194185E-1
-1.8606838E+0  8.2678646E-1
-1.8670063E+0  8.2148536E-1
-1.8733614E+0  8.1603718E-1
-1.8797468E+0  8.1044051E-1
-1.8861600E+0  8.0469409E-1
-1.8925983E+0  7.9879666E-1
-1.8990592E+0  7.9274697E-1
-1.9055402E+0  7.8654386E-1
-1.9120387E+0  7.8018609E-1
-1.9185520E+0  7.7367263E-1
-1.9250775E+0  7.6700236E-1
-1.9316125E+0  7.6017429E-1
-1.9381545E+0  7.5318732E-1
-1.9447005E+0  7.4604058E-1
-1.9512480E+0  7.3873309E-1
-1.9577941E+0  7.3126406E-1
-1.9643362E+0  7.2363254E-1
-1.9708714E+0  7.1583783E-1
-1.9773969E+0  7.0787909E-1
-1.9773974E+0  7.0787847E-1
# C4
-1.9773976E+0  7.0787834E-1
-1.9973850E+0  6.8235317E-1
-2.0170719E+0  6.5538190E-1
-2.0363719E+0  6.2697253E-1
-2.0551993E+0  5.9713774E-1
-2.0734697E+0  5.6589415E-1
-2.0910995E+0  5.3326373E-1
-2.1080069E+0  4.9927210E-1
-2.1241114E+0  4.6394923E-1
-2.1393348E+0  4.2732928E-1
-2.1536004E+0  3.8945039E-1
-2.1668342E+0  3.5035463E-1
-2.1789642E+0  3.1008780E-1
-2.1899214E+0  2.6869937E-1
-2.1996391E+0  2.2624224E-1
-2.2080540E+0  1.8277268E-1
-2.2151053E+0  1.3835014E-1
-2.2207360E+0  9.3037041E-2
-2.2248917E+0  4.6898434E-2
-2.2275224E+0  2.7263844E-6
# C5
# L2
-2.227522  0
-1.4206448 0
# D1
-1.4206448E+0  0.0000000E+0
-1.4184683E+0  4.7374844E-6
-1.4162918E+0  1.8949039E-5
-1.4141155E+0  4.2634372E-5
-1.4119392E+0  7.5794687E-5
-1.4097631E+0  1.1842703E-4
-1.4075872E+0  1.7053192E-4
-1.4054116E+0  2.3210642E-4
-1.4032362E+0  3.0315377E-4
-1.4010611E+0  3.8366986E-4
# D2
-1.4010612E+0  3.8358791E-4
-1.3860686E+0  1.2235754E-3
-1.3716818E+0  2.5184208E-3
-1.3579135E+0  4.2282104E-3
-1.3447750E+0  6.3126892E-3
-1.3322750E+0  8.7313968E-3
-1.3204205E+0  1.1443628E-2
-1.3092165E+0  1.4408697E-2
-1.2986658E+0  1.7585928E-2
-1.2887695E+0  2.0934701E-2
-1.2795263E+0  2.4414669E-2
-1.2709333E+0  2.7985728E-2
-1.2629854E+0  3.1608166E-2
-1.2556758E+0  3.5242757E-2
-1.2489956E+0  3.8850754E-2
-1.2429340E+0  4.2394134E-2
-1.2374785E+0  4.5835502E-2
-1.2326147E+0  4.9138310E-2
-1.2283266E+0  5.2266862E-2
-1.2245962E+0  5.5186394E-2
# x4-
-1.2245914E+0  5.5187865E-2
-1.2182047E+0  1.0186954E-1
-1.2091648E+0  1.4756457E-1
-1.1975344E+0  1.9212867E-1
-1.1833841E+0  2.3542081E-1
-1.1667912E+0  2.7730362E-1
-1.1478404E+0  3.1764371E-1
-1.1266229E+0  3.5631199E-1
-1.1032368E+0  3.9318403E-1
-1.0777862E+0  4.2814035E-1
-1.0503818E+0  4.6106677E-1
-1.0211400E+0  4.9185465E-1
-9.9018287E-1  5.2040124E-1
-9.5763781E-1  5.4660989E-1
-9.2363740E-1  5.7039040E-1
-8.8831899E-1  5.9165917E-1
-8.5182438E-1  6.1033951E-1
-8.1429956E-1  6.2636185E-1
-7.7589434E-1  6.3966393E-1
-7.3676200E-1  6.5019100E-1
# x3-
-7.3676200E-1  6.5019096E-1
-7.3676106E-1  6.5019118E-1
-7.2394818E-1  6.5299451E-1
-7.1109050E-1  6.5548813E-1
-6.9819324E-1  6.5767142E-1
-6.8526169E-1  6.5954382E-1
-6.7230110E-1  6.6110488E-1
-6.5931674E-1  6.6235419E-1
-6.4631388E-1  6.6329144E-1
-6.3329782E-1  6.6391640E-1
-6.2027384E-1  6.6422892E-1
-6.0724721E-1  6.6422891E-1
-5.9422322E-1  6.6391637E-1
-5.8120716E-1  6.6329139E-1
-5.6820431E-1  6.6235412E-1
-5.5521995E-1  6.6110479E-1
-5.4225936E-1  6.5954372E-1
-5.2932781E-1  6.5767130E-1
-5.1643056E-1  6.5548799E-1
-5.0357287E-1  6.5299435E-1
-4.9076000E-1  6.5019100E-1
# x2-
-4.9076319E-1  6.5019015E-1
-4.5163070E-1  6.3966314E-1
-4.1322532E-1  6.2636110E-1
-3.7570035E-1  6.1033880E-1
-3.3920558E-1  5.9165849E-1
-3.0388700E-1  5.7038974E-1
-2.6988642E-1  5.4660925E-1
-2.3734120E-1  5.2040060E-1
-2.0638387E-1  4.9185402E-1
-1.7714189E-1  4.6106613E-1
-1.4973734E-1  4.2813970E-1
-1.2428664E-1  3.9318335E-1
-1.0090030E-1  3.5631128E-1
-7.9682657E-2  3.1764296E-1
-6.0731666E-2  2.7730282E-1
-4.4138658E-2  2.3541995E-1
-2.9988151E-2  1.9212774E-1
-1.8357654E-2  1.4756358E-1
-9.3174986E-3  1.0186846E-1
# B4
-2.9301006E-3  5.5188172E-2
 8.0034240E-4  5.2268586E-2
 5.0885353E-3  4.9139989E-2
 9.9523239E-3  4.5837155E-2
 1.5407862E-2  4.2395693E-2
 2.1469522E-2  3.8852397E-2
 2.8149850E-2  3.5244326E-2
 3.5459544E-2  3.1609714E-2
 4.3407496E-2  2.7987222E-2
 5.2000587E-2  2.4416125E-2
 6.1243836E-2  2.0936110E-2
 7.1140200E-2  1.7587308E-2
 8.1691008E-2  1.4410056E-2
 9.2895115E-2  1.1444942E-2
 1.0474968E-1  8.7326751E-3
 1.1724968E-1  6.3139677E-3
 1.3038836E-1  4.2294628E-3
 1.4415659E-1  2.5196444E-3
 1.5854361E-1  1.2249248E-3
 1.7353627E-1  3.8491921E-4
# B5
 1.7353635E-1  3.8406655E-4
 1.7571138E-1  3.0349643E-4
 1.7788674E-1  2.3239247E-4
 1.8006239E-1  1.7089968E-4
 1.8223822E-1  1.1873823E-4
 1.8441447E-1  7.6188034E-5
 1.8659061E-1  4.2972503E-5
 1.8876709E-1  1.9228980E-5
 1.9094344E-1  5.1017512E-6
 1.9312000E-1  3.0670160E-7
# A1

Единая ломанная позволяет легко строить диваны Гервера, повернутые на любой угол или смещенные (например, для подбора оптимального раскроя листа, из которого вырезается основа дивана)

Можно также вращать диван Гервера на плоскости

Анимированное изображение вращающегося дивана

Сравнение диванов Гервера и Хаммерсли

Диван Хаммерсли - это диван, близкий к оптимальному в решении задачи о перемещении. Исторически он был открыт гораздо раньше (в 1968 году), чем диван Гервера. Диван Хаммерсли устроен значительно проще - он состоит издвух четвертей кругов радиуса 1, между которыми находится прямоугольник высотою 1 и основанием $4/\pi$ , из прямоугольника снизу вырезана половина круга радиусом $2/\pi$ .

Площадь дивана Хаммерсли равна 2.2074160991..., что совсем немного уступает площади дивана Гервера. К тому же он составлен только из шести кривых (три дуги окружностей и три прямых). Однако перфекционисты все-таки предпочтут ему диван Гервера.

Сравнение диванов Хаммерсли (красный) и Гервера (зеленый). Красные стрелки указывают на те участки, где преимущество в площади у дивана Хаммерсли, зеленые - преимущество у дивана Гервера

Улучшение утилитарных свойств дивана Гервера

Диван Гервера является идеализированным геометрическим объектом, практическая ценность которого представляется не вполне очевидной. Для канонического коридора шириной 1 м диван Гервера имеет длину приблизительно 3.2 м (т.е. он является слишком длинным, подходящим разве что для человека баскетбольного роста) при ширине 1 м, а большая выемка посередине делает его практически непригодным для сна. Тем не менее, диван не обязательно может использоваться именно для сна, а неудобная выемка может быть заполнена чем-то, что при транспортировке убирается внутрь дивана или транспортируется отдельно.

Например, помещение круглого столика в выемку позволит сидящим за столиком на краях выемки находиться вполоборота друг к другу, что дает возможность для одновременного общения и просмотра телевизора (а на столике могут стоять чай или попкорн). Идею я почерпнул из работы [3]

Раскрашенный диван со столиком

Заполнение выемки изготовленными по её форме и размеру двумя частями, которые задвигаются вправо и влево, позволит сделать диван Гервера более приспособленным для сна.

Анимированное изображение дивана с задвигающимися частями, заполняющими выемку

Что касается рекомендаций по перемещению дивана Гервера - тут сложно что-либо посоветовать. Возможно, стоило бы на торец дивана помещать разноцветную ленту, на которой разными цветами обозначены фазы перемещения.

Диван Гервера и генераторы изображений

Все мои попытки сгенерировать реалистическое (или хотя бы карикатурное) изображение диванов Гервера или Хаммерсли закончились неудачей. Конечно, дело тут прежде всего в почти полном отсутствии у меня опыта генерации. Тем не менее, генераторам изображений на основе ИИ поразительно мало известно о задаче перемещения дивана. Вот едва ли не единственный сгенерированный диван, который можно условно считать похожим на диван Гервера:

Подборка странных изображений, созданных различными генераторами при попытках сгенерировать реалистичное изображение диванов Гервера или Хаммерсли

Ну, тут я сам виноват - сказал генератору, который ничего не знал о диване Хаммерсли, что он похож на трубку старого телефона

Заключение

Конечно, практическая польза от физически изготовленного дивана Гервера была бы небольшой. Тем не менее, его исследование помогает развитию методов геометрической оптимизации, а они уже имеют вполне реальное применение в жизни

Список литературы

Hubs: