Как физические ограничения делают Вселенную «вычислимой»
Эта статья логически вытекает из моей прошлой статьи Познаваемость Вселенной: необходимое условие существования, в которой я привожу обоснование необходимости познаваемости Вселенной как онтологического атрибута её устойчивости.
Если вы её не читали, то кратко идея прошлой статьи звучит так:
Во вселенной не должно сосуществовать явлений, которые не подчиняются никаким причинно-следственным связям или законам. Такие события не могут быть нами познаны, т.к. не зная законов мы можем говорить не о знании, а только об информации о состоянии системы. В свою очередь непознаваемые события в силу их неподчинения никаким законам могут быть абсолютно любыми, в том числе уничтожающими вселенную.
В этой статье остановимся на обсуждении одного из типов непознаваемых явлений, это явления, которые могут возникать в силу невычислимости законов, их описывающих.
Вычислимость — это свойство системы, означающее, что ее новое состояние может быть найдено с помощью механического, конечного, однозначного и детерминированного процесса (алгоритма), реализуемого на машине Тьюринга или любой другой эквивалентной вычислительной модели.
Почему вычислимость так важна, для познаваемости
Допустим, у нас есть состояние системы А, система переходит в состояние B, подчиняясь определенным законам:
B = f(A)
А — это причина (начальное состояние)
B — это следствие (конечное состояние)
f — закон, описывающий преобразование A в B
Между A и B образуется причинно-следственная связь, зная закон и состояние А, мы можем рассчитать состояние В.
Что будет, если функция преобразования f алгоритмически не вычислима?
Тогда мы не сможем связать A и B, и с нашей точки зрения выглядит так, что поведение системы не подчиняется причинно-следственным связям. Тем самым явление перехода из состояния А в состояние B для нас является непознаваемым в силу приведенного в прошлой статье определения:
Непознаваемый объект или событие — это такой объект или событие, которые не подчиняются причинно-следственным связям и никаким законам, включая статистические.
Типы вычислимости
Практическая невычислимость
В этом случае определение состояния системы в какой-то последующей точке времени возможно, но потребует вычислительные ресурсы, которые не сможет обеспечить не просто самый мощный на Земле суперкомпьютер, а даже если собрать всю материю из Вселенной и собрать из неё «вселенский» компьютер, то вычислительной мощности не хватит, чтобы получить результат в адекватное время, сопоставимое со временем сосуществования Вселенной.
На самом деле, как ни странно, практически все явления, с которыми мы сталкиваемся в реальной жизни, относятся к практически не вычислимым.
Это связано с тем, что для точного вычисления мы должны учитывать взаимодействие абсолютно всех частей системы, а с ростом их количества взаимное влияние друг на друга приводит к экспоненциальному росту сложности вычислений. Это вызвано тем, что фундаментальные силы, например гравитация, электромагнитное поле, не имеют ограниченного радиуса действия.
Например, не вычислима задача точного предсказания движения небесных тел и законы механики Ньютона. Эти законы являются вычислимыми только потому, что описывают упрощенную модель реальности, которая отбрасывает малозначимые воздействия. Но чтобы вычислить абсолютно точно движение планет, нам бы пришлось учитывать влияние гравитации не только Солнца и планет, но каждого астероида, всех облаков пыли и всех звезд вокруг нас. Их вклад в движение планет Солнечной системы есть, хоть и ничтожно мал. Но если говорить о истинно точном предсказании, то мы непременно сталкиваемся с этой экспоненциальной сложностью.
Вычислимость в классической физике — иллюзия. Но значит ли это, если явления природы практически не вычислимы, то мы не можем их познать? На мой взгляд, нет, мы можем строить изолированные ограниченные модели, проверяя законы, проверять работу этих законов в разных условиях и использовать их как приближение в условиях практической невычислимости. Мы понимаем законы природы — знаем, как они работают, мы можем посчитать приближение с нужной нам точностью, упростив для расчётов модель мира.
Теоретическая невычислимость
Если в предыдущем случае у нас был алгоритм расчёта, который мог дать результат, в случае же теоретической невычислимости у нас вообще может не быть алгоритма, или у нас нет гарантий, что вычисления когда-нибудь остановятся и мы получим результат. К такому типу невычислимости, например, относится проблема остановки машины Тьюринга. Невозможно создать алгоритм, предсказывающий, завершится ли произвольное вычисление.
Если вас заинтересовала проблема вычислимости, советую ознакомиться со статьей Хаос «нового уровня» определяет истинный предел предсказуемости. В ней показаны примеры невычислимых, дальше в статье мы ещё к ним вернемся.
⚠️ Важно: нужно определить, какие же типы вычислимости мы будем рассматривать в контексте познаваемости Вселенной. Мы принимаем как аксиому, что Вселенная может вычислить сама себя, т.е. она не "зависает" на вычислении каких то взаимодействий. А также мы считаем, что нам нужно определить состояние системы в следующий момент времени (t+1), а не в бесконечно далекий:
Практическая вычислимость не создает запрета на познаваемость Вселенной, используя математику, мы строим вычислимые модели и эмпирически проверяем их; важно, чтобы закон перехода из состояния A в состояние B был в математической модели вычислим.
В статье мы не рассматриваем проблему вычислимости неопределенно далекого события и произойдет ли оно вообще. В частности проблема остановки машины Тьюринга не накладывает ограничение на познаваемость Вселенной. Мы спрашиваем не «остановится ли система», а «каково будет её состояние в момент t+1». Для познаваемости вселенной нам нужно понимать причинно-следственные связи и знать, какому закону подчиняются системы при переходе из одного состояния в другое, и, зная этот закон, можно уже определять состояние в момент t+1.
Как ограничения делают Вселенную теоретически вычислимой
Наконец мы подошли к главному разделу статьи. Мы обсудим, почему же можно говорить, что наша Вселенная вычислима, а следовательно, мы можем изучать её, строя модели на основе законов, и предсказывать её эволюцию. Что же такое есть во Вселенной, что обеспечивает её вычислимость?
Во всех невычислимых примерах задач требуются бесконечности того или иного рода. Это является необходимым условием, чтобы задача была теоретически невычислимой. Например, в изначальной проблеме остановки машины Тьюринга нужна бесконечная лента. Но в нашей Вселенной действуют довольно жесткие ограничения на бесконечности.
Скорость света
Скорость распространения информации, а именно скорость света в нашей вселенной, это фиксированное, а не бесконечное значение, равное c = 299 792 458 м/с.
За счет конечности скорости распространения информации ограничена областью Вселенной, в которой взаимосвязаны причинно-следственные связи. Размер нашей «доменной области» вселенной конечен и равен примерно 46,5 млрд св. лет (из-за её расширения, если не было бы расширения, то был бы равен её возрасту - 13,8 млрд св. лет).
Это накладывает ограничение на объем информации во вселенной сверху. Всё, что выходит за пределы нашего светового конуса, не может повлиять на события внутри него. Следовательно, расчёт следующего локального шага опирается только на конечный набор данных.
Если бы скорость света была неограниченной и информация распространялась мгновенно, то в каждой точке пространства в силу действия причинно-следственных связей от всех остальных точек бесконечной Вселенной был бы бесконечный объем информации, делающий вычисление в этой точке теоретически невозможным.
Примечание: При гипотетической бесконечной скорости распространения информации возникают и другие серьёзные проблемы с физикой и термодинамикой, например быстрая тепловая смерть Вселенной или коллапс течения времени. Поэтому конечная скорость — важный фактор стабильности.
Даже при потенциальной бесконечности Вселенной конечная скорость света разбивает её на независимые доменные области с ограниченным объёмом информации.
Квантовые масштабы, постоянная Планка и гипотеза дискретности
Если скорость света задает предел информации сверху, то этого было бы недостаточно, чтобы избежать бесконечностей. Если бы пространство было непрерывным континуумом, то на каждую точку пространства действовала причинно-следственная связь от бесконечного множества других точек непрерывного континуума.
Поэтому тогда бы вычисление состояния в каждой точке пространства было бы также теоретически невозможным, т. к. эта точка бы содержала бесконечный объем информации.
Но согласно последним физическим теориям (петлевая квантовая гравитация), пространство, вероятно, имеет дискретную структуру. И дискретность пространства — минимальное расстояние между двумя точками — соотносится с планковской длиной 1.616·10^−35 m. Эта дискретность задает предел информации снизу.
Предел Бекенштейна
Комбинируя верхние и нижние ограничения, получаем известную оценку максимального объёма информации, который может быть заключён в ограниченной области. Это выражается через предел Бекенштейна:
I ≤ 2 π R E / (ℏ c ln 2)
где
I— количество информации в битах;R— радиус ограничивающей сферы;E— энергия, содержащаяся в этой сфере;ℏ— редуцированная постоянная Планка;c— скорость света;ln 2— натуральный логарифм 2 (перевод в биты).
Это ограничивает размер локального гильбертова пространства и, соответственно, число возможных состояний.
В условиях конечного объема информации нашей доменной области Вселенной проблема спектральной щели, о которой рассказано в статье Хаос «нового уровня» определяет истинный предел предсказуемости не является теоретически невычислимой. На конечной системе всегда будут мелкие "зубчики" в спектре. Спектр конечной матрицы всегда можно вычислить точно за конечное число шагов. Следовательно, проблема "невычислимости" в строгом логико-математическом смысле исчезает, потому что неразрешимость требует бесконечного числа степеней свободы.
📌 Если система дискретна и в её физическом объёме содержится конкретно конечное число бит (строгое ограничение Бекенштейна), и закон эволюции задаётся конечной таблицей правил, то никакая теоретическая невычислимость для предсказания следующего состояния возникнуть не может. Всё сводится к конечному графу переходов: следующий шаг — применение переходной функции.
Сама структура Вселенной именно такая, чтобы не допускать возможность истинных бесконечностей и в ней не возникало теоретически невычислимых явлений. Все явления во Вселенной могут быть теоретически вычислены и это не просто прихоть, а онтологическое требование защищающее Вселенную от непознаваемых явлений.
Таким образом мы логически вывели тезис Чёрча — Тьюринга — Дойча из необходимости познаваемости вселенной как обязательного условия её устойчивости и данных физики о конечности объема информации в единице пространства:
Любой процесс, который может быть реализован в физической вселенной, можно смоделировать универсальной вычислительной машиной, работающей по законам физики, с любой требуемой степенью точности.
На сегодня нет свидетельств невычислимости реальности:
Уравнение Шрёдингера линейно и вычислимо; в конечномерных приближениях эволюция кубитов реализуется алгоритмически и демонстрируется в экспериментах с квантовыми устройствами.
Хаос (типа погоды) усложняет прогноз, но не делает его невычислимым в принципе. Состояние за конечное время всегда можно найти численным моделированием.
Тройные звездные системы хаотичны, но их траектории для конкретного конечного времени
tможно численно вычислить с любой желаемой точностью при достаточных ресурсах.
Выводы
Бесконечная информация сделала бы причинно-следственные переходы невычислимыми. Для устойчивости Вселенной должны быть ограничения на бесконечности — сверху (ограничение скорости распространения информации) и снизу (дискретность пространства).
Проблема теоретической невычислимости существует преимущественно в идеализированных математических моделях (модели с настоящими бесконечностями). В физической системе такие бесконечности отсутствуют.
Научный оптимизм с оговорками: с одной стороны, познание принципиально возможно (ура!). С другой — мы обречены на вечную аппроксимацию: даже зная все законы, не сможем рассчитать всё из-за экспоненциального роста сложности. Аппроксимация — не слабость науки, а прямое следствие устройства Вселенной и необходимое условие познания в условиях практической невычислимости. Полное, абсолютно точное вычисление состояния даже макроскопической системы принципиально невозможно (из-за необходимости учета всех степеней свободы). Научное знание — это поиск оптимальных аппроксимаций, дающих максимальную предсказательную силу при приемлемых вычислительных затратах. Математика — язык этих эффективных аппроксимаций.
Объяснение "необоснованной эффективности математики" Математика эффективна потому, что описывает вычислимые конечно-информационные системы; законы физики — можно представить как вычисления, а математика — язык их записи.
Конечность актуальной бесконечности: "Актуальная бесконечность" (например, множество всех натуральных чисел) — полезная абстракция, но физически нереализуема (требует бесконечной информации).
Философские следствия и гипотезы
Физические ограничения (c, ħ) первичны по отношению к математике и логике. Не математика диктует законы мироздания, а устройство конечной физической вселенной определяет, какие математические структуры в ней реализуемы.
Идеализм не имеет ничего общего с реальным миром и является только метафизической моделью: кантовский мир «вещей в себе», платоновская пещера с эйдосами, абсолютный дух Гегеля не может быть какой-то частью нашей реальной Вселенной или её основой, так как для их выражения потребовался бы бесконечный объем информации. А бесконечности ведут к теоретической невычислимости, а она, в свою очередь, к неустойчивости. Идеализированные модели нужны, но не как эталонные образцы явлений, а наоборот, как упрощение реальности, как часть математики, описывающие приближение к реальности, чтобы можно было работать с этими идеализированными моделями для обеспечения практической вычислимости.
Физикализация сознания: если человеческий разум — продукт Вселенной, то его работа должна укладываться в те же информационные рамки. Нет места «нематериальным субстанциям» — душа, абсолютный дух и т. п. требуют бесконечной информации для описания.
Демон Лапласа вернулся. Его пытались прогнать, пугая теоретической невычислимостью спектральной щели и машиной Тьюринга, но в условиях дискретности даже эта задача становится вычислимой для Демона. По определению Демон обладает неограниченными ресурсами вычислений и может вычислить конечный объем информации нашей Вселенной, даже учитывая экспоненциальную сложность. Поэтому он и «демон», нет запрета вычислить, т. к. невозможна теоретическая невычислимость.
Заключение
Мы видим, что Вселенная такова не просто по случайности — её структурная организованность и конечная информационная ёмкость выглядят как необходимые условия её сосуществования. Наука решает проблему практической вычислимости через идеализированные математические модели: математика служит средством упрощения и выявления закономерностей. Именно благодаря таким моделям мы выявляем правила взаимодействия и способны строить приближённые предсказания. Но если бы законы Вселенной были теоретически невычислимы, мы лишились бы даже приближённых предсказаний — завтрашний день стал бы полностью непредсказуемым.
