Униметрия: фазовый формализм СТО / Хабр

Мы привыкли воспринимать время и пространство как данность. Фазовый формализм униметрии предлагает посмотреть иначе: время и пространство — это производные от единого параметра, который мы называем фазой.

В этой концепции релятивистские эффекты — замедление времени, доплеровский сдвиг и т.д. — возникают как естественные проявления движения потоков в фазовом пространстве. Формализм не вводит новые законы физики, он лишь предлагает удобный язык и инструмент для их описания. Подобно лагранжевому и гамильтоновому подходу в классической механике, это попытка упростить структуру уже известных зависимостей и сделать явными причинно-следственные связи.

1. Время и пространство как производные

Предположим, что существует переменная величина, назовём её фаза $\vec{\chi}\in\mathbb{C}$ , изменение которой порождает наблюдаемые эффекты времени и пространства. Алгебраически это будет означать, что время-пространственные базовые векторы (единицы, меры) являются фазовой скоростью — производной фазы по направлениям в фазовом пространстве:

$\hat{h}\,dx_0=\frac{\partial\vec{\chi}}{\partial\chi_h}\frac{d\chi_h}{d\chi}\,d\chi=\tilde{H}\,d\chi,\quad\mathbf{l}\,dx_l=\frac{\partial\vec{\chi}}{\partial\chi_l}\frac{d\chi_l}{d\chi}\,d\chi=\tilde{L}\,d\chi,\;l=1,2,3\qquad (1.1)$

где

$\hat{h},\mathbf{l}$ - ортонормированный ко-фрейм наблюдателя (темпоральная и три пространственные оси);
$dx_0 \equiv c\,dt$ - темпоральное приращение в единицах длины; - пространственные приращения, ;
$\vec{\chi}$ - комплексная фаза; $\chi_h,\chi_l$ — её координаты по базисным направлениям $\hat{h},\mathbf{l}$ ;
$d\chi$ - скалярное приращение фазового параметра;
$\tilde{H},\tilde{L}_l$ - проекции фазовой скорости вдоль $\hat{h},\mathbf{l}$ соответственно (в выбранной нормировке - с размерностью скорости).

Можно сказать, что мы динамизируем тензор пространства-времени через единую общую переменную; введя фазовую скорость интервала СТО $ds=\tilde{S}\,d\chi$ аналогично представленным прото-скоростям, запишем закон сохранения интервала:

$\tilde{S}^2=\frac{ds^2}{d\chi^2}=\frac{g_{ij}\,dx^i dx^j}{d\chi^2}=g(\chi)=\tilde{H}^2-\tilde{L}^2\qquad (1.2)$

Что равносильно:

$\tilde{H}^2=\tilde{S}^2+\tilde{L}^2\qquad (1.3)$

Эта форма позволяет выразить $\tilde{S},\tilde{L}$ через $\tilde{H}$ :

$\tilde{S}=\tilde{H}\cos\theta,\quad\tilde{L}=\tilde{H}\sin\theta\qquad (1.4)$

где ${\theta}$ — угол отклонения фазовой скорости от вещественной оси в фазовом пространстве.

Замечание. В стандартной СТО повороты бустов образуют .
Здесь мы «переносим гиперболичность» в перепараметризацию времени, см. §3.5–3.6.

С математической точки зрения (1.3) утверждает существование параметра, по которому темпоральная компонента интервала может быть разложена как сумма двух ортогональных проекций в евклидовом пространстве. Если представить, что время-пространство индуцировано изменением единого параметра, то скорость по этому параметру вдоль темпоральной оси есть сумма скоростей вдоль пространственной и вне-пространственной (наблюдаемой и ненаблюдаемой, внешней и внутренней) компонент. Иными словами, (1.3) — это «евклидово сложение скоростей» в фазе. Предположим, что так и есть, но при повороте «угла обзора» сохраняется не норма $\tilde{H}$ , а проекция на вне-пространственную $\tilde{S}$ .

Замечание (норма vs проекция). В наблюдаемом времени сохраняется не евклидова норма $\tilde{H}$ , а минковская проекция $\tilde{S}$ . Переход к наблюдаемому времени — это замена параметра $\chi\!\to\!\tau$ с перенормировкой:
Подробно см. (3.5.7), где установлено $\boxed{\tilde{H}=\dot{S}}$ .

2. Фазовое пространство

Пусть математическое векторное пространство называется хора (Платон) и имеет свойства комплексного пространства $\mathbb{C}$ . Геометрически определим два базисных вектора, назвав их (время, пространство): $(\hat{h},\mathbf{l})\equiv\mathbb{C}$ ; тогда фаза $\vec{\chi}=R\, e^{\theta\mathbf{l}}$ , $\theta\in[-\pi,\pi]$ , удовлетворяет:

$\tilde{H}=R,\quad \tilde{S}=R\cos\theta,\quad \tilde{L}=R\,\mathbf{l}\sin\theta\qquad (2.1)$

и (1.3) становится законом сохранения полной фазы объекта при повороте вектора фазы.
Выбираем координаты так, что проекторы на базис $(\hat{h},\mathbf{l})$ имеют единичные коэффициенты (ортонормированный базис в хоре), поэтому (1.1) переписывается:

$\hat{h}\,dx_0=\frac{d\chi_h}{d\chi}\,d\chi=\tilde{H}\,d\chi,\quad\mathbf{l}\,dx_l=\frac{d\chi_l}{d\chi}\,d\chi=\tilde{L}\,d\chi,\; l=1,2,3\qquad (2.2)$

Связь фазового пространства с наблюдаемым зададим определённым интегралом:

$x^i(\chi)=x^i(\chi_0)+\int_{\chi_0}^{\chi}\tilde{X}^i(u)\,du,\quad i=0,1,2,3\qquad (2.3)$

где $x^i(\chi_0)$ фиксируют начальные условия (якорь/выбор калибра), а $\tilde{X}^i(\chi)$ — фазовые скорости, являющиеся проекциями $d\vec{\chi}/d\chi$ на направления базиса $(\hat{h},\mathbf{l})$ . Для краткости далее опустим явное указание $\chi_0$ .
Итак, привычные координаты времени и пространства — интегральные образы фазовых скоростей; сами фазовые скорости — «мост» между скрытым фазовым параметром и наблюдаемым многообразием Минковского. Ввиду (2.2) и (2.3) фаза выступает как порождающее пространство, а пространство-время — как его проекционное отображение.

3. Объекты

Любая фундаментальная частица — элементарный объект униметрии с ненулевой фазой ( $\vec{\chi}\neq 0$ ). Составные объекты — фазовые конфигурации, для полного описания которых часто требуется расширение пространства дополнительными измерениями, кроме случая фотона, фаза которого всегда направлена вдоль мнимой оси хоры:

$\mathbf{p}=\frac{d\vec{\chi}}{d\chi_l}=p\,\mathbf{l}\in\Im\qquad (3.1)$

Все явления, отличные от перемещения фотонов, выделим отдельно; фотонное подпространство — мнимая ось; «сложные» объекты характеризуются вещественной проекцией фазы и ненулевой массой. Сложный объект униметрии ассоциирован с событием или мировой линией, а фотон — с точкой нулевого интервала, несущей информацию о событии.

Фаза любого объекта может быть поворотом приведена к нулевому направлению (нулевое отклонение от вещественной оси):

$\vec{\chi}_o=R\in\Re\qquad (3.2)$

Объект A, движущийся относительно покоящегося наблюдателя, представлен вектором фазы под углом к вектору фазы наблюдателя:

$\vec{\chi}_a=R\,e^{(\theta_a\,\mathbf{l})},\quad\sin\theta_a=\frac{V}{\mathtt{c}}\equiv\beta\qquad (3.3)$

где знак ${\theta}$ кодирует сближение/удаление (в продольном случае), а при поперечном движении знак не важен (фактор квадратичен). Множество синфазных объектов формируют друг для друга фотонное пространство нулевой кривизны.

3.1. Пространство

Из (1.4) для пространственной составляющей следует, что в нулевом направлении компонента скорости фазы по мнимой оси равна нулю, как и базисный вектор пространства, что противоречит наблюдаемости. Для ненулевой проекции в наблюдаемое пространство у объекта должна быть проекция фазы на мнимую ось. Формализуем: сложим два вектора фазы с равными по модулю пространственными отклонениями и разными знаками, затем поделим на 2:

$\vec{\chi}^{\pm}=R\,e^{\pm\zeta\,\mathbf{l}},\quad\vec{\chi}_l:=\frac{\vec{\chi}^+-\vec{\chi}^-}{2}=R\,\mathbf{l}\sin\zeta\qquad (3.1.1)$

где $\vec{\chi}_l$ выступает пространственным вектором фазы, а $\zeta$ — внутренний угол (не зависит от скорости в пространстве, связан с массой/«плотностью»).

Полная фаза объекта в локальном направлении:

$\vec{\chi}_o=\vec{\chi}_\tau+\vec{\chi}_l=R\cos\zeta+R\,\mathbf{l}\sin\zeta\qquad (3.1.2)$

— разложение на темпоральную и пространственную компоненты, где
$\vec{\chi}_\tau=R\cos|\zeta|$ , $\vec{\chi}_l=R\,\mathbf{l}\sin|\zeta|$ .
Нормируя на , получаем ортогональные единичные базисы:

$\hat{h}=\cos\zeta,\quad \hat{\mathbf{l}}=\sin\zeta\qquad (3.1.3)$

Тем самым, при единой норме ${\tilde{H}}$ у скорости фазы есть три направления с вещественными значениями, которые мы будем обозначать.

3.2. Абсолютное, локальное и наблюдаемое время

Нулевому положению фазы соответствует абсолютное время $t=t(\tilde{H})$ — самое быстрое; ни один объект не «живет» по нему, но оно полезно для нормирования при переходах между скоростями фазы. См. (1.1): базисный вектор времени — производная фазы по вещественной компоненте.

В локальном направлении вектор фазы даёт максимальное для объекта значение — локальное время:

$dx_0=\frac{d}{d\chi}\Re(\vec{\chi})\,d\chi=\frac{\vec{\chi}^++\vec{\chi}^-}{2}\,d\chi=\cos\zeta\,d\chi=d\tau\qquad (3.2.1)$

Здесь $d\chi_o:=\cos\zeta\,d\chi$ — проекция на локальное вещественное направление; в §3.3 мы калибруем $d\tau=(1/\nu_0)\,d\chi_o$ .

Возникает двойная аналогия углов: $\zeta$ — внутренний угол (масса/«плотность»), $\theta$ — внешний угол движения (скорость относительно наблюдателя). Замедление времени имеет двойную структуру: внутреннюю ( $\cos\zeta$ ) и внешнюю ( $\cos\theta$ ).

Объект A имеет наблюдаемое собственное время относительно покоящегося наблюдателя как вещественную часть производной собственного вектора фазы по вектору фазы наблюдателя:

$\tilde{H}_a=\Re\!\left(\frac{d\vec{\chi}_a}{d\vec{\chi}_o}\right)=\cos\theta_a=\sqrt{1-\sin^2\theta_a}=\sqrt{1-\frac{V^2}{\mathtt{c}^2}}=\frac{1}{\gamma}\qquad (3.2.2)$

что согласуется с (3.3) и стандартным преобразованием времени; в системе A проекция фазы наблюдателя на вещественную ось также $\cos\theta_a$ (геометрическая симметрия).

3.3. Нормирование

Используемые обозначения производных:

$\tilde{X}:=\frac{dX}{d\chi},\quad \dot{X}:=\frac{dX}{d\tau},\quad X':=\frac{dX}{dl}.$

Пусть локальное течение времени сложного объекта параметризовано фазой: вводим опорную частоту $\nu_0$ и связь

$d\tau=\frac{1}{\nu_0}\,d\chi_o.\qquad (3.3.1)$

По цепному правилу:

$dx_0=\tilde{H}\,d\chi=\frac{dx_0}{d\chi_o}\frac{d\chi_o}{d\tau}\,d\tau=\tilde{H}\,\dot{\chi}\,d\tau=\dot{H}\,d\tau,\qquad (3.3.2)$

где

$\nu:=\frac{d\chi}{d\tau},\quad\dot{\chi}:=\frac{\nu}{\nu_0},\quad\dot{H}:=\tilde{H}\,\dot{\chi}.$

Мы принимаем скорость течения по локальному времени калибровкой: при нормировке $\dot{H}\equiv\mathtt{c}$ имеем $dx_0=\mathtt{c}\,d\tau$ .

Аналогично для пространственной части:

$dx_l=\tilde{L}\,d\chi=\frac{dx_l}{d\chi_o}\frac{d\chi_o}{dl}\,dl=\tilde{L}\,\chi'\,dl=:L'\,dl,\quad l=1,2,3,\qquad (3.3.3)$

где $\chi':=d\chi/dl$ , $L':=\tilde{L}\,\chi'$ . Из (1.4) для света следует

$\mathtt{c}=\tilde{L}'\,\frac{dl}{d\tau},\qquad (3.3.4)$

и при темпоральной нормировке на скорость света пространственный масштаб становится единичным: $\tilde{L}'=1$ .

3.4. Свет

Продолжим с (1.4), выразив обе координаты через фазу и нормирующие факторы:

$\frac{\mathtt{c}}{\dot{\chi}}\,d\chi=\frac{1}{\chi'}\,d\chi\qquad (3.4.1)$

Отсюда

$\mathtt{c}=\frac{\dot{\chi}}{\chi'}=\frac{dl}{d\tau}\qquad (3.4.2)$

где $\mathtt{c}$ - константа калибровки, связывающая темпоральную и пространственную меры.
Во-первых, из (3.4.2):

$\mathtt{c}=\left(\frac{d\chi}{d\tau}\right)\!\left[\frac{dl}{d\chi}\right]\sim(\nu)\,[\lambda],\qquad (3.4.3)$

что согласуется с интерпретацией частоты и длины волны фотона (см. §3.8), где $\chi$ — его фаза. Во-вторых, из (3.4.1)–(3.4.2):

$ds^2=\mathtt{c}^2\!\left(\frac{d\chi^2}{\dot{\chi}^2}-\frac{d\chi^2}{\dot{\chi}^2}\right)=0\qquad (3.4.4)$

(для светоподобной траектории и выбранной нормировки).
При единичной частоте решение $\tau=\chi$ : собственное «время» фотона — его фаза; в этой нормировке длина вектора фазовой скорости фотона численно равна его длине волны $\tilde{H}_p=\lambda$ .
В-третьих, если и время, и пространство заданы единым параметром, то сохранение скорости света — естественное следствие параметризации.
Если скорость — наклон траектории на диаграмме «время–пространство» в фазовых координатах:

$\frac{dx_l}{dx_0}=\frac{\tilde{L}\,d\chi}{\tilde{H}\,d\chi}=\sin\theta=\frac{V}{\mathtt{c}}\equiv\beta\qquad (3.4.5)$

Для фотона $\theta=\pi/2$ , поэтому

$\frac{dx_l}{dx_0}=1\;\Rightarrow\;V=\mathtt{c}.\qquad (3.4.6)$

3.5. Лоренц-фактор

При преобразовании направления фазовой скорости

$\tilde{H}^2=\tilde{S}^2+\tilde{L}^2\;\overset{\cdot\,\dot{\chi}^2}{\longmapsto}\;\dot{H}^2=\dot{S}^2+\dot{L}^2\qquad (3.5.1)$

должен происходить переход от $\tilde{H}$ к норме $\dot{S}$ .
Лемма: переход $\tilde{H}\to\dot{S}$ — проявление эволюции фазовой скорости по собственному времени $\dot{H}(\tau(\chi))$ . Перенормировка происходит при приобретении скорости: физически объект имеет лишь $\tilde{H}$ , а изменение восприятия связано со скоростью течения локального времени. Тогда

$\dot{H}^2=\tilde{H}^2+\dot{L}^2\qquad (3.5.2)$

читается как: «фазовая скорость $\tilde{H}$ сохраняется в обстоятельствах наблюдателя $(\dot{H},\dot{L})$ ».

Опишем мгновенную перенормировку как замену переменной $\chi\mapsto\tau(\chi)$ с якобианом:

$\frac{d\tau}{d\chi}=\cos\zeta(\chi)\cos\theta(\chi)\;\Longrightarrow\;\mathcal{J}(\zeta,\theta):=\frac{d\chi}{d\tau}=\frac{1}{\cos\zeta\,\cos\theta}\qquad (3.5.3)$

Компоненты фазовой скорости масштабируются:

$\dot{H}=\frac{dx_0}{d\tau}=\frac{dx_0}{d\chi}\frac{d\chi}{d\tau}=\tilde{H}\,\mathcal{J}=\frac{\tilde{H}}{\cos\zeta\,\cos\theta},\quad\dot{L}=\tilde{L}\,\mathcal{J}=\frac{\tilde{L}}{\cos\zeta\,\cos\theta}\qquad (3.5.4)$

В инфинитезимальной форме:

$d\ln\dot{H}=d\ln\mathcal{J}=\tan\zeta\,d\zeta+\tan\theta\,d\theta\;\Rightarrow\;d\dot{H}=\dot{H}\,(\tan\zeta\,d\zeta+\tan\theta\,d\theta)\qquad (3.5.5)$

— чистый буст ( $d\zeta=0$ , $d\tilde{H}=0$ ): $d\dot{H}=\dot{H}\,\tan\theta\,d\theta$ ;
— чистое внутреннее изменение ( $d\theta=0$ ): $d\dot{H}=\dot{H}\,\tan\zeta\,d\zeta$ .

Далее полагаем $\zeta=0$ (или поглощаем постоянный множитель $\cos\zeta$ в калибр $\nu_0$ ): чистый буст описывается одной переменной $\theta$ .

Тогда

$\tilde{H}^2=\dot{H}^2-\dot{L}^2=\sec^2\theta\,(\tilde{H}^2-\tilde{L}^2)=\gamma^2\,(\tilde{H}^2-\tilde{L}^2)\qquad (3.5.6)$

Вывод. Перенормировка следует из инфинитезимального поворота фазы и пересчёта меры времени.

В хоре сохраняется $\tilde{H}$ (евклидова норма).
В наблюдаемом времени сохраняется $\dot{S}$ (минковская норма).
Эти величины идентичны:

$\boxed{\tilde{H}=\dot{S}}\qquad (3.5.7)$

3.6. Быстрота и угол фазового поворота

По определению в униметрии

$\beta\equiv\frac{V}{\mathtt{c}}=\sin\theta\qquad (3.6.1)$

Быстрота задаётся $\tanh\eta=\beta$ , откуда

$d\eta=\frac{d\beta}{1-\beta^2}\qquad (3.6.2)$

Дифференцируя $\beta=\sin\theta$ и подставляя в (3.6.2), получаем

$d\beta=\cos\theta\,d\theta,\quad 1-\beta^2=\cos^2\theta\;\Rightarrow\;d\eta=\sec\theta\,d\theta\qquad (3.6.3)$

Интегрирование даёт

$\eta(\theta)=\int\sec\theta\,d\theta=\ln|\sec\theta+\tan\theta|=\tfrac12\ln\frac{|1+\sin\theta|}{|1-\sin\theta|}\qquad (3.6.4)$

(главная ветвь, $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ ). Эквивалентно, при $\eta(0)=0$ :

$e^{\eta(\theta)}=\sqrt{\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}}\qquad (3.6.5)$

Подставляя $\sin\theta=\beta$ , получаем продольный релятивистский доплер-фактор:

$e^{\eta}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}\equiv r\qquad (3.6.6)$

Обратная зависимость угла от быстроты:

$\theta=\arcsin(\tanh\eta)=\arcsin\!\left(\frac{e^{2\eta}-1}{e^{2\eta}+1}\right)\qquad (3.6.7)$

Лоренц-фактор:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2\theta}}=\sec\theta=\cosh\eta\qquad (3.6.8)$

Ремарка (группы). В этом формализме наблюдаемые факторы выражаются как
$\beta=\sin\theta=\tanh\eta$ и $\gamma=\sec\theta=\cosh\eta$ .
То есть евклидова геометрия на окружности (-поворот, угол $\theta$ )
даёт те же численные коэффициенты, что и гиперболические бусты в
(быстрота $\eta$ ) после перепараметризации времени. Мы не утверждаем
изоморфизм групп и ; речь о совпадении наблюдаемых
комбинаций после замены параметра.

Связь с перенормировкой темпоральной компоненты (чистый буст):

$d\ln\dot{H}=\tan\theta\,d\theta=\sin\theta\,d\eta\qquad (3.6.9)$

3.7. Сложение скоростей

Быстрота аддитивна:

$\eta_{12}=\eta_1+\eta_2\qquad (3.7.1)$

Так как $\tanh\eta=\beta$ , имеем релятивистский закон сложения:

$\beta_{12}=\tanh(\eta_1+\eta_2)=\frac{\tanh\eta_1+\tanh\eta_2}{1+\tanh\eta_1\,\tanh\eta_2}=\frac{\beta_1+\beta_2}{1+\beta_1\beta_2}\qquad (3.7.2)$

Через фазовый угол (напоминание: $\beta=\sin\theta$ ):

$\gamma=\sec\theta,\quad\gamma\beta=\tanh\eta=\sin\theta\,\sec\theta=\tan\theta\qquad (3.7.3)$

Отсюда удобно считать композицию:

$\gamma_{12}=\cosh(\eta_1+\eta_2)=\gamma_1\gamma_2(1+\beta_1\beta_2),\quad\gamma_{12}\beta_{12}=\sinh(\eta_1+\eta_2)=\gamma_1\gamma_2(\beta_1+\beta_2)\qquad (3.7.4)$

3.8. Доплеровский сдвиг

Определим наблюдаемую частоту как скорость нарастания фазы по собственному времени наблюдателя:

$\nu:=\frac{d\chi}{d\tau}\qquad (3.8.1)$

Для двух последовательных фронтов волны приращение фазы одинаково, поэтому

$\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\frac{d\chi/d\tau_{\text{obs}}}{d\chi/d\tau_{\text{src}}}=\frac{d\tau_{\text{src}}}{d\tau_{\text{obs}}}\qquad (3.8.2)$

Продольный случай. Источник движется со скоростью к наблюдателю (подход) или от него (удаление). Интервал между эмиссиями в системе наблюдателя равен $\gamma\,d\tau_{\text{src}}$ , за это время источник смещается на $\pm V\,\gamma\,d\tau_{\text{src}}$ (знак «» — удаление, «» — подход). Тогда

$d\tau_{\text{obs}}=\gamma\,d\tau_{\text{src}}(1\pm\beta),\quad\beta=\frac{V}{\mathtt{c}}\qquad (3.8.3)$

Отсюда продольный доплер-фактор:

$\boxed{\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\frac{1}{\gamma(1\pm\beta)}}\qquad (3.8.4)$

Эквивалентные формы (с $\beta=\sin\theta$ , $\gamma=\sec\theta$ и быстротой $\eta$ ):

$\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\sqrt{\frac{1\mp\beta}{1\pm\beta}}=\sec\theta\,(1\mp\sin\theta)=e^{\mp\eta}\qquad (3.8.5)$

— подход (синее смещение):

$\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\frac{1}{\gamma(1-\beta)}=\sqrt{\frac{1+\beta}{1-\beta}}=\sec\theta\,(1+\sin\theta)=e^{+\eta}\qquad (3.8.6)$

— удаление (красное смещение):

$\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\frac{1}{\gamma(1+\beta)}=\sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}=\sec\theta\,(1-\sin\theta)=e^{-\eta}\qquad (3.8.7)$

Отношение длин волн — обратное:

$\frac{\lambda_{\text{obs}}}{\lambda_{\text{src}}}=\frac{1}{r},\quad r:=\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=e^{\pm\eta}\qquad (3.8.8)$

Поперечный доплер. При $\varphi=90^\circ$ (направление на источник перпендикулярно скорости в системе наблюдателя):

$\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\frac{1}{\gamma}=\cos\theta\qquad (3.8.9)$

Общий угловой случай. Если $\varphi$ — угол между вектором скорости источника и направлением на наблюдателя в системе наблюдателя, то

$\boxed{\frac{\nu_{\text{obs}}}{\nu_{\text{src}}}=\gamma\,(1-\beta\cos\varphi)}\qquad (3.8.10)$

(для угла $\varphi'$ в системе источника эквивалентно $1/[\gamma(1+\beta\cos\varphi')]$ , формулы связаны аберрацией света).

4. Заключение

Фазовый формализм униметрии показывает, что релятивистские эффекты естественно следуют из евклидовой геометрии фазового пространства, где время и пространство — производные проекции единого параметра (фазы).

Главные итоги:

Интервал Минковского возникает как сохранение нормы фазовой скорости при смене параметра (повороте фазы).
Замедление времени и сокращение длины — геометрические следствия двойной структуры углов: внутреннего $\zeta$ (связанного с природой объекта) и внешнего $\theta$ (связанного с относительным движением).
Скорость света — универсальная константа-калибр, связывающая темпоральное и пространственное масштабирование независимо от деталей фазовой динамики.
Лоренц-фактор и закон сложения скоростей выводятся напрямую из геометрии поворотов на комплексной окружности, при перепараметризации времени воспроизводя привычную гиперболическую форму.
Доплеровский сдвиг — масштабирование меры времени между источником и наблюдателем при неизменности счёта фазовых циклов: продольный фактор $r=\nu_{\text{obs}}/\nu_{\text{src}}=\frac{1}{\gamma(1\pm\beta)}=\sqrt{\frac{1\pm\beta}{1\mp\beta}}=e^{\pm\eta}$ , поперечный — $r=1/\gamma$ .

Таким образом, униметрия сохраняет все проверенные экспериментом следствия СТО, но предлагает единый фазовый язык, в котором: (1) релятивистские эффекты — проекции одной фазовой динамики; (2) внутренние свойства объектов входят через $\zeta$ ; (3) время и пространство — интегральные образы фазовых скоростей, что создаёт мост к областям, где «метрика» не задана априори.

Перспективы. Связать фазовую картину с квантованием (дискретизация фазы), обобщить к кривизне (ОТО) и исследовать коллективные фазовые конфигурации (поля, взаимодействия, когерентность), используя доплеровские соотношения как операциональные связки между наблюдаемыми частотой, длиной волны и фазовой быстротой.

Этот пост — популярное изложение статьи, текст которой доступен как препринт: Unimetry: A Phase-Space Reformulation of Special Relativity (скачать), Zenodo (открыть), DOI:10.5281/zenodo.17143555. Материал адаптирован из препринта по лицензии CC-BY 4.0. Пожалуйста, цитируйте оригинальный препринт.

Униметрия: фазовый формализм СТО