Хабр Курсы для всех
РЕКЛАМА
Практикум, Хекслет, SkyPro, авторские курсы — собрали всех и попросили скидки. Осталось выбрать!
Поток Научпоп доступен 24/7 благодаря поддержке друзей Хабра
Комментарии 19
И как все это связанно с заглавием статьи?
Рядов Тейлора не существует
Кликбейтных заголовков не существует
Какой же кликбейтный заголовок.
Суть статьи: для некоторых действительных функций ряд тейлора в некоторых точках имеет радиус сходимости 0, и мало чего дает. Поэтому надо забить на ряды тейлора для вещественных функций. Используйте комплексные функции! Я все правильно понял?
Но, скажите мне, а вот если взять вот ту классическую функцию 
, но рассматривать ее как фукнцию комплексной переменной, то как она раскладывается в ряд тейлора в нуле? Ой, там тоже какая-то фигня происходит? Т.е. что получается, "рядов тейлора и для комплексных функций не существует", потому что у некоторых функций в некоторых точках ряд тейлора не существует или имеет радиус схождения 0? Или "это другое"?
Эта функция ведёт себя очень плохо около 0 в комплексной плоскости. Например подходя к 0 по мнимой оси (ia a-> 0) мы получим бесконечность...
Это не просто "другое", это "совсем-совсем другое". Смотрите: указанная функция, рассматриваемая как функция комплексного переменного, не имеет предела в нуле, и следовательно, ни одной производной. Потому и её ряд Тейлора в нуле не может быть построен. Это не просто "какая-то фигня", это чёткое и честное указание на неаналитичность.
А вот её ограничение на
ведёт себя по-хамски: "прикидывается" хорошей, бесконечно-гладкой функцией, но в итоге путает все карты. Тут комплексный анализ выступает в роли фильтра, "отбраковывая" все такие "нечестные" псевдо-аналитические функции.
Кстати, интересное замечание. Я думаю, оно заслуживает включения в основной текст статьи
Однако стоит взглянуть на функции комплексного переменного — и мир становится гораздо стройнее. Именно поэтому комплексный анализ является одной из самых красивых областей математики.
Это так, но есть ещё кватернионный анализ, в рамках которого я, когда-то очень давно, написал статью: «Интегральная формула Коши для кватернионов» :
https://scholium.narod.ru/Math/Scholium001-IntegralFormulaOfCauchyForQuaternions.pdf .
А эти системы чисел, такие как комплексные числа, кватернионы, они ограничены, или их бесконечно много?
Если их неограничено много, то на любое утверждение про кватернионы, всегда можно сказать, что это всё фигня, и лишь частный случай гораздо более сильного и важного утверждения для более замороченый системы чисел.
И насколько мат. анализ, построенный на таких системах чисел плодородный? Например в ТФКП есть киллер фича - теорема о вычетах. А в кватернионном анализе есть такие крутые результаты?
Можно их бесконечно расширять, конечно. Но чем дальше, тем больше свойства теряются. Например, перемножение кватернионов уже некоммутативно (a*b != b*a). При переходе к комплексным числам потерялся порядок. Какие-то новые свойства вроде и возникают, но в целом, чем дальше - тем менее полезной оказывается система. После комплексных чисел слишком много арифметических свойств теряется, чтобы какой-то анализ строить.
А эти системы чисел, такие как комплексные числа, кватернионы, они ограничены, или их бесконечно много?
«Хороших – мало, плохих – много!». После кватернионов, размерности –четыре, идут числа (алгебра) Кэли, размерности восемь. Затем – алгебры Кэли-Диксона, размерности степени двойки. Там уже возникает много плохих свойств. Сначала, теряется коммутативность, потом ассоциативность, после чего возникают делители нуля, из-за чего эти числовые алгебры уже малоинтересны.
Грусть начинается быстро - основная теорема алгебры не выполняется для кватернионов.
Следовало бы выражаться более определённо. Основная теорема алгебры не имеет "входящих параметров", она просто есть, и она выполняется (потому она и "теорема").
Выражения типа "ОТА для кватернионов" и тп. смысла не имеют. Можно говорить лишь "аналог ОТА для кватернионов". Но проще (и точнее) сказать так: "тело кватернионов не является алгебраически замкнутым". Хотя, опять же, понятие "алгебраической замкнутости" вводится только для полей, с телами всё сильно сложнее из-за некоммутативности. Например, даже обычное понятие полинома уже не так очевидно в некоммутативном случае: коэффициенты могут умножаться на степени неизвестного слева, справа, или с двух сторон. Можно говорить о "левых" и "правых" корнях и тп. Крч, уже тут начинаются "дебри". Но эта статья была немного не об алгебре)
О! В комментариях знакомые всё лица! Рад поприветствовать, коллеги!
По делу.
Статья/карма +/+, от подписки пока воздержался.
Плюсы: оригинальное исследование.
Минусы: - всегда, если это возможно, нужна демонстрация на геометрии (её нет); - не сравнены ФКП и ФВП и не сделаны выводы об их поведении, вытекающие из их свойств.
Одноместная ФКП - определена на плоскости (если отображать её геометрически), одноместная ФВП - на прямой. В то же время такая ФКП может "схлопываться" и до прямых (одномерный объект), и до точек (нульмерный), а ФВП - только до точек. (уходы в бесконечности - опускаю).
Вот такое бы исследование рядов - с дельтами, и построениями на геометрии - было бы ИМХО куда интереснее, чем просто алгебраистика, которую мы имеем в статье.
А ещё веселее было бы затем распространить исследование и обобщить результаты на многоместные функции. :)
Вы просто выбираете удобные задачи
Функции комплексного переменного не только ведут себя более "регулярно", но и позволяют, в некоторой степени, установить поведение соответствующих функций действительного переменного.
Аналитические функции (что вещественные, что комплексные) ведут себя "более регулярно". Другое дело, что аналитичность у ФКП проверяется сильно проще, но на этом всё.
Как только Вы выйдете за рамки удобных (аналитических) функций, всё сразу становится нерегулярно (а ТФКП превращается в тыкву). И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны, то это сильно не так.
Например, есть важные теоретические конструкции, которые опираются на существование бесконечнодифференцируемых функций, которые не являются аналитическими (например, интеграл по многообразию).
Анализ не становится красивым, от того что Вы затребуете кучу свойств от своего объекта изучения. Анализ красив именно когда Вы требуете минимум свойств. В этом смысле, ТФКП — одна из самых скучных областей анализа (как раз ввиду своей регулярности).
С этим соглашусь:
Анализ не становится красивым, от того что Вы затребуете кучу свойств от своего объекта изучения. Анализ красив именно когда Вы требуете минимум свойств.
А вот с этим - нет:
ТФКП — одна из самых скучных областей анализа
В ФКП сходится алгебра над элементарными множествами (количествами), алгебра над треугольником, и - соответствнно - геометрия. Люблю ТФКП. :)
И если Вам кажется, что неаналитические функции неинтересны
Нет, мне так не кажется. Я просто не стремлюсь охватить абсолютно все вопросы в одной маленькой статье. И не вижу смысла цепляться к словам.
Рассуждения о "красоте" - это лирика, и вообще очень субъективное понятие. Кому как.
Да, процитированные вами слова слишком размыты, чтобы делать из них какие-либо более точные выводы. Это скорее описание "ощущений", чем строгая формулировка. И всё же она имеет под собой некоторое основание. Как я ответил другому комментатору, зачастую ФКП выступает в роли "фильтра", более чётко отделяя по-настоящему "хорошие" функции от тех, которые только пытаются "притвориться" таковыми. Вовсе не имел в виду всего того, что вы за меня "додумали". А выбор задач для рассмотрения в статье всегда остаётся за автором и зависит от основной мысли публикации, которая состоит в том, что не следует рассматривать "ряды Тейлора" в контексте действительного анализа, и на этом всё.
Зарегистрируйтесь на Хабре, чтобы оставить комментарий
Рядов Тейлора не существует