GADo 7 часов назад

Статистика Ферми и Бозе

Простой

3 мин

404

Мнение

Данный вывод я увидел в книге Леонтовича М.А. "Введение в термодинамику. Статистическая физика." Одна из самых интересных книг, которые я читал(прочитал не полностью, правда) и один из самых красивых выводов, который я видел. Настоятельно рекомендую к ознакомлению. Потрясающая книга, подача ну и ваще.

Моя интерпретация главы будет упрощенной и вряд ли научно достоверной. Но вы всегда можете прочитать оригинал. Ну что же, теперь без лишних слов приступим.

На самом деле, мы рассматриваем систему из конечного числа частиц и вероятности каждой частицы находиться в состоянии со своей энергией $\varepsilon$ . Можно предположить, что каждая из частиц имеет вероятность $e^{\frac{\psi - \varepsilon}{T}}$ находиться в состоянии с энергией $\varepsilon$ , где $\psi$ — нормирующий коэффициент,— это просто температура в энергетических величинах. На самом деле, это не совсем так, так как, по определению(а для законов природы можно так выражаться?), два и более фермиона не могут пребывать в состоянии с одинаковыми энергиями. Соответственно, эти события не независимые.

Статистика Ферми-Дирака

Вместо учета сложных зависимостей, автор предлагает гениальное решение: рассмотреть состояние так, будто бы каждое событие независимо, а невозможные события просто нивелировать умножением этого состояния на. Отсюда получаем вероятность состояния газа, когда $n_1,n_2,\dots$ частиц находятся в состояниях с энергиями $\varepsilon_1,\varepsilon_2\dots$ (обратите внимание, что— это КОЛИЧЕСТВО частиц с энергией $\varepsilon_i$ )

$W(n_1,n_2,\dots)=\Omega(n_1,n_2,\dots)\prod_{k=1}^{\infty}e^{\frac{\psi_k-\varepsilon_k}{T}}=\Omega(n_1,n_2,\dots)e^{\frac{\Psi-\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_kn_k}{T}}$

Функци $\Omega(n_1,n_2,\dots)$ как раз и отвечает за тот самый регулирующий коэффициент, равный 0, если хотя бы один из.

Чтобы совсем не ограничивать параметры $n_1,n_2\dots$ , введем еще одну функцию, которая будет равна, если сумма $\sum_{k=1}^\infty n_k=N$ ив обратном случае

$\delta_m =\begin{cases}1, & m = 0, \\0, & m \ne 0 .\end{cases}$

То есть так просто мы перефразировали закон природы в набор функций. Это ли не потрясающе?

Зная вероятность каждого события, мы могли бы посчитать среднее число частиц с энергией $\varepsilon_i$ . Спешу огорчить диванных аналитиков: нет, она не равна 0 или 1, но она будет находиться в промежутке между ними!

Моя личная боль.

Диванные аналитики — это вообще моя личная боль. Как же каждый раз бесит читать в комментариях очередной бред про 50% или сбудется, или нет. Зачем вообще эта система образования существует? Чему она обучает людей? Чтобы они ничего не поняли, а потом в интернетах этих ваших писали про идущие на шарлатанов(ученых) налоги? Да лучше не обучайте их вовсе, пусть астрологией своей и занимаются. Ну да ладно.

$\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}n_iW(n_1,n_2,\dots)=\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}n_i\delta_{\sum_{k=1}^\infty n_k-N} \Omega(n_1,n_2,\dots)e^{\frac{\Psi-\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_kn_k}{T}}$

Ну разве не красота? Все невозможные события будут просто выброшены благодаря функции $\Omega(n_1,n_2,\dots)$ и $\delta_{N-\sum_{k=1}^\infty n_k}$ .

Самое замечательное тут то, что для поиска этой функции достаточно рассмотреть более простую сумму. Если просуммировать вероятности всех событий, то их сумма будет равна единице и тогда можно написать

$e^{-\frac{\Psi}{T}}=\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\delta_{\sum_{k=1}^\infty n_k - N}\Omega(n_1,n_2,\dots)e^{-\frac{1}{T}\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_kn_k}$

То есть слева мы имеем функцию

$e^{-\frac{\Psi}{T}}=Z(e^{-\varepsilon_1},e^{-\varepsilon_2},\dots)$

А наша искомая сумма найдется обычным дифференцированием

$\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}n_i\delta_{N-\sum_{k=1}^\infty n_k}\Omega(n_1,n_2,\dots)e^{\frac{\Psi-\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_kn_k}{T}}=e^{-\varepsilon_i}\frac{\partial }{\partial e^{-\varepsilon_i}}\log Z(e^{-\varepsilon_1},e^{-\varepsilon_2},\dots)$

dlog Z=dZ/Z

Нет, ну если вы этого не знаете, то дальше читать смысла нет.

Чтобы продвинуться дальше, нужно подобрать функцию $\delta_m$ , к счастью, тут на помощь приходят комплексные числа

$\delta_m=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{im\varphi}\mathrm{d}\varphi$

Подставив, и изменив порядок суммирования и интегрирования, получим

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-i\varphi N}\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\left[\Omega(n_1,n_2,\dots)e^{\sum_{k=1}^{\infty}(i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T})n_k}\right]\mathrm{d}\varphi$

Итак, что можно сказать о выражении в квадратных скобках? Если обозначить $e^{i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T}}$ через переменную, то мы получаем сумму всевозможных произведений как максимум первой степени для каждой перменной.

$\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\Omega(n_1,n_2,\dots)e^{\sum_{k=1}^{\infty}(i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T})n_k}=\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\Omega(n_1,n_2,\dots)\prod_{k=1}^{\infty}x_k^{n_k}$

Тот же результат получается, если раскрыть скобки выражения $(1+x_1)(1+x_2)\dots$

$\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\Omega(n_1,n_2,\dots)e^{\sum_{k=1}^{\infty}(i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T})n_k}=\prod_{k=1}^\infty(1+e^{i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T}})$

На самом деле, здесь автор получает самую общую формулу для суммы состояний. Она выглядит вот так

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\exp\left(N\left[-i\varphi +\frac{1}{N}\sum_{k=1}^\infty\ln(1+e^{i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T}})\right]\right)\mathrm{d}\varphi$

Дальше идут, как мне кажется, детали доказательства, с которыми лучше познакомиться в оригинальной литературе. По-этому я пройду по ним только лишь образно.

Автор показывает, что при условии постоянства концентрации частиц в объеме, можно утверждать, что выражение в квадратных скобках не зависит от, обозначив ее через $\omega(\varphi)$

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{N\omega(\varphi)}\mathrm{d}\varphi$

Которое, к моему огромному удивлению, оказывается, имеет изящное решение. Представим, что $\varphi_0$ — это корень уравнения, тогда верно равенство

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{N\omega(\varphi)}\mathrm{d}\varphi=\exp(N\omega(\varphi_0)+O(\ln N))$ $\log Z(e^{-\varepsilon_1},e^{-\varepsilon_1},\dots)=N\omega(\varphi_0)+O(\ln N)$

После несложных преобразований, и учитывая $i\phi_0=\frac{\zeta}{T}$ , получаем

$\log Z(e^{-\varepsilon_1},e^{-\varepsilon_1},\dots)=-N\frac{\zeta}{T}+\sum_{k=1}^\infty\ln (1+e^{\frac{\zeta - \varepsilon_k}{T}})$

Далее, вновь, если не вдаваться в подробности и опустить зависимость $\zeta(e^{-\frac{\varepsilon_k}{T}})$ , можно легко найти среднее число частиц в состоянии с энергией $\varepsilon_k$

$\overline{n_k}=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon_k-\zeta}{T}}+1}$

Статистика Бозе-Эйнштейна

В отличие от фермионов, бозоны в неограниченном числе могут пребывать в одном и том же энергетическом состоянии. Соотвественно, получаем вероятность системы находиться в указанном состоянии

$W(n_1,n_2,\dots)=\delta_{\sum_{k=1}^\infty-N}e^{\frac{\Psi-\sum_{k=1}^{\infty}\varepsilon_kn_k}{T}}$

Вместо повторения всех выкладок, сделанных выше, сразу напишу то, что получается после изменения порядка суммирования и интегрирования

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}e^{-i\varphi N}\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\left[e^{\sum_{k=1}^{\infty}(i\varphi-\frac{\varepsilon_k}{T})n_k}\right]\mathrm{d}\varphi$

Вновь, при замене $x_k=e^{i\varphi}-\frac{\varepsilon_k}{T}$ , заметим, что каждая переменная в квадратных скобках содержится во всех возможных степенях

$\sum_{\substack{n_1,n_2,\dots \in \mathbb{N}}}\prod_{k=1}^\infty x^{n_k}=\prod_{k=1}^\infty(1+x_k+x_k^2+\dots)=\prod_{k=1}^\infty\sum_{i=0}^\infty x^i=\prod_{k=1}^\infty\frac{1}{1-x_k}$

Такое сильное различие в условии распределения газов приводит всего лишь к незначительным изменениям

$\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\exp\left(N\left[-i\varphi -\frac{1}{N}\sum_{k=1}^\infty\ln(1-e^{i\phi-\frac{\varepsilon_k}{T}})\right]\right)\mathrm{d}\varphi$

Повторив все выкладки, получаем распределение Бозе-Эйнштейна

$\overline{n_k}=\frac{1}{e^{\frac{\varepsilon_k-\zeta}{T}}-1}$

Хабы:

Физика

Статистика Ферми и Бозе

Статистика Ферми-Дирака

Статистика Бозе-Эйнштейна

Публикации

Ближайшие события