Российские ученые нашли новое интегральное представление различных произведений функций Эйри, которое позволяет написать точное решение многих задач математической физики. В частности, описывать квантовое движение электрона в постоянном внешнем электрическом поле, что дает возможность распространить теорию туннельной ионизации молекул на случай сильных полей — крайне важный аспект для аттосекундной физики. Работа опубликована в Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.
Современные физики, используя передовые технологии, смогли добиться значительных успехов в восстановлении электронной структуры молекул. Для этого они применяют мощные лазеры, которые излучают свет, взаимодействующий с молекулами на уровне, крайне малом по времени. Анализируя спектры переизлучения и продукты, возникающие в результате взаимодействия молекул с лазерным излучением, ученые могут многое узнать о внутренних процессах. К числу этих продуктов относятся фотоны, электроны и ионы, которые образуются в результате ионизации и разрушения молекул.
Уникальность использованных методов подчеркивается тем, что аттосекунда — это невероятно короткий интервал времени, равный одной миллиардной доле от миллиардной доли секунды. За такой короткий срок свет лазера проходит расстояние, не превышающее десятитысячные доли микрометра, что соответствует размерам молекулы.
В последнее время наблюдается повышенный интерес к процессу туннельной ионизации, который позволяет ученым наблюдать за динамикой движения электронов и ядер в микромасштабах с аттосекундной точностью. Туннельная ионизация является ключевым этапом в отслеживании перемещения электронов и образовавшихся «дырок» в молекулах. В перспективе это может привести к возможности управления их движением, что, в свою очередь, откроет новые горизонты в молекулярной биологии, фармацевтике, органической химии и других направлениях промышленности.
Для освоения этой технологии, помимо сложностей технологических, предстоит также преодолеть сложности математические. Дело в том, что существующая теория туннельной ионизации молекул построена только для случая слабых полей, в то время как требуется исследовать эти процессы в сильных полях.
Российским ученым в своем новом исследовании удалось сделать важный шаг для построения точного математического описания процесса туннельной ионизации. В подобных задачах невероятно важную роль играет функция Грина уравнений Шредингера для электрона во внешнем поле. Потому как она позволяет переписать описывающее туннельную ионизацию дифференциальное уравнение в интегральной форме. В некотором классе задач такие интегральное уравнения могут быть решены точно. Работа авторов позволяет получить функцию Грина соответствующего оператора, что позволит впоследствии сильно продвинуться в теоретическом описании туннельной ионизации в сильных электрических полях. Причем вывод выражения для такой функции Грина основывается на интегральном представлении для произведений функцией Эйри.
Функции Эйри — это решения уравнения квантового движения электрона в треугольной яме. Для задачи туннельной ионизации требуются не его решения непосредственно, а функции, которые являются произведением двух его решений, одно из которых сдвинуто отн��сительно другого по значению своего аргумента. Оказалось, что требуемый ответ можно получить, используя метод контурного интегрирования Лапласа в теории функций комплексного переменного. Суть этого метода заключается в том, чтобы представить решение некого дифференциального уравнения в виде интеграла по кривой в комплексной плоскости. С помощью этого метода были получены интегральные представления многих специальных функций.
Иногда функции комплексного переменного становятся многозначными. Например, корень из –1 можно выбрать с разными знаками, как +i, так и –i. При определении такого знака возникает разрез — линия на комплексной плоскости, которую не может пересекать контур интегрирования. Поэтому для вычисления подобных интегралов требуется установить линии разреза. Получилось, что у исследуемого уравнения существует 4 независимых друг от друга решения, два из которых имеют вертикальную линию разреза (ученые обозначили их U+–), а два других — наклонные линии (W+–).
Рисунок 1. Схема контуров для представлений функций Эйри со сдвинутыми друг относительно друга аргументами. Волнистая линия обозначает ветвь разреза в комплексной плоскости k. Сплошные линии обозначают контуры интегрирования. Цветные области показывают внутренние и асимптотические долины. Ветвь разреза, контуры R± и O, а также внутренняя долина соответствуют случаю arg z0 = 0. Источник: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.
Рисунок 2. Схема контуров для представлений функций Эйри со сдвинутыми друг относительно друга аргументами. Волнистая линия обозначает ветвь разреза в комплексной плоскости k. Сплошные линии обозначают контуры интегрирования. Цветные области показывают внутренние и асимптотические долины. Источник: Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik.
Ученым удалось найти явный вид решений и исследовать, как они себя ведут при очень больших значениях аргумента, что является наиболее важной задачей для физических приложений. Используя эти результаты, им удалось получить ключевой результат — функцию Грина для электрона в статическом электрическом поле, котора�� позволяет легко описывать точно его движение под действием этого поля на основе законов квантовой механики при любых начальных условиях.
«Обычно мы не можем точно решить физическую задачу и приходится применять некоторые асимптотические теории, когда один из параметров системы очень мал, либо наоборот очень велик. Это, конечно, является лишь приближенным решением задачи. Найденные в нашей работе интегральные представления для произведения функций Эйри и найденная с их помощью функция Грина позволят в некоторых ситуациях описать процесс туннельной ионизации точно, без всяких приближений. Что несомненно продвинет нас в понимании данного процесса», — объяснил Кирилл Базаров, научный сотрудник лаборатории теоретической аттосекундной физики МФТИ.
