Сегодня обобщу конструкцию, из предыдущей одноименной статьи, до трехмерного вида. На этот раз в статье матриц нет, в прошлый раз они потребовались лишь для получения геометрической интерпретации некой базы. В статье лишь одна формула.
Так же отвечу на вопросы к прошлой статье. В сухом остатке их два: "Зачем все это?" и "Почему не обобщал модель до спиноров?". Если ответить совсем кратко - Клиффорд создал, даже спустя 100 лет, очень мало кем понятую супер-теорию геометрии вселенной. Мне вот довелось это осознать.
После предыдущей статьи, по всем моим статьям на эту тему прошлись более 1000 человек, самой статье поставили 14 плюсов и один минус. Реакцию широкой аудитории, как управленец, буду считать далекой от массового интереса. Но как инженер, для тех, кому это все-таки интересно, сначала отвечу на вопросы, а потом разверну модель в трехмерный вид.
Сначала я начал было писать еще одну длинную статью, например я там очень удобно закон Гука обобщил. Но потом подумал, что надо писать короткие статьи, чтобы читать было недолго. И написал только основные моменты. Может после прочтения этого материала интерес у широкого круга добавится. В общем соразмерю свои усилия с востребованностью.
"Зачем все это?"
Все математическое описание наблюдаемой реальности можно описать множеством векторов, сопоставленных материальным точками. Тогда можно, оставаясь в рамках математики конца 19 - начала 20 века продолжать исследования, и про новые описания консервативно не думать в принципе. Или же можно пойти в другую крайность, предельно переусложнить, вспомним бесконечномерные векторные пространства. Когда строили квантовую физику, было много и тех, кто не придавал новинке значения, и тех кто усложнил в своих целях.
Но представьте себе, что можно удобно сопоставить строго один, относительно простой, математический объект - строго одному объекту реальному, как совокупности нескольких материальных точек, взаимодействующих как единое целое? Самолету (или любому другому транспорту), или молекуле со всеми перемещениями атомов в ней, или руке робота, или расчетному элементу нагруженной металлоконструкции, или группа пикселей 3D-визуализации...
Напомню, только отдельно взятые кватернионы, в свое время, вызвали колоссальный прорыв разработок в множестве отраслей. А полноценная геометрическая алгебра о которой хочется поговорить, это точно следующий шаг. Сейчас, по сути, есть описания отдельно векторов, отдельно кватернионов, отдельно их взаимодействий. Единая картина, увы, существует в крайне абстрактном виде.
В общем пишу про все это, только для тех, у кого баланс консервативности и стремления к удобству нового, основательно смещен в пользу нового. А также тех, кто не любит абстрактные дебри. Если вы принадлежите к этой аудитории, то вы поможете доработать детали, которые я не учел. Когда соберем пазл, тогда и сравним удобство геометрической алгебры с инструментами прошлого. Как минимум тут я показал направление куда копать, чтобы свести математически восьмимерный объект к трем физическим измерениям.
"Почему не обобщал модель до спиноров?"
Ответ прост, не формализм обобщается до спиноров, которые по определению из статьи @flx0О спинорах человеческим языком, являются суммой единичных скаляра и вектора. В этом формализме спиноры обобщаются. Здесь, обобщенный спинор — это сумма произвольных вектора и скаляра, совпадающих по направлению, без мистически туманных объяснений смысла. Смысл строго геометрический, поэтому удобен своей простотой.
Прочие вопросы
Почему формализм основан на матрицах? Потому что компьютеры работают с матрицами, а не абстрактными буквами. Абстрактные буквы еще надо потрудиться перевести на машинный язык, и не в каждом софте это возможно. Например, я пробовал так сделать в Wolfram, не получилось, поэтому по старинке все сделал в матрицах в Маткаде.
А на тему тезиса "матрицы избыточны для описания" будет смысл подумать, когда массово н��чнет применяться С++, а не избыточный по весу кода Python. Вопрос удобства пользователя конечно здесь приоритетен.
Переход модели в 3D
В статье, переведенной @PatientZero, Давайте уберём кватернионы из всех 3D-движков предложено отказаться от кватернионов.
Думаю, что все же не стоит так делать, так как кватернионы (сумма скаляра и псевдовектора) — это основа геометрической алгебры и здесь показано почему. Но сама статья, как кейс размышлений о геометрической алгебре, классная, конечно.
Формула для объекта, который обобщает и векторы, и кватернионы, и спиноры, вот на столько простая:
Q - кватернионы, объекты, состоящие из суммы скаляра и псевдовектора (мнимого вектора), кодирующие плоскость и три точки на этой плоскости. Две точки — это координаты, третья точка получается по теореме Пифагора.
A - новый объект, элемент алгебры Клиффорда, задаваемый произвольной комплексной матрицей 2x2, означающий две плоскости + три точки на каждой плоскости, аналогично кватернионам. Он обобщает векторы, кватернионы и спиноры, вместе взятые.
К спинорам можно перейти, пересортировав выражение: мнимый скаляр (псевдоскаляр) в скобки с псевдовектором, вещественный скаляр в скобки с вещественным вектором. Вот только смысл это усложнит, а не упростит. Но это не точно, есть пара идей, как применить спинорное описание.
Метод построения пространства.
Вектор V2 ортогонален плоскости кватерниона.
Разложим вектор V1 по направлениям вектора V2.
На плоскости кватерниона направление скаляра S2 можно совместить с направлением одного любого вектора, который нам удобен (как это сделать показано в предыдущей статье). Совместим направление S2 c направлением V1_|_.
Направление псевдовектора 1i·V2 ортогонально направлению скаляра в плоскости кватерниона Q2. Получим отрицательное направление поворотом по часовой стрелке относительно V2. Тогда, в построенной модели, направление псевдовектора со-направлено векторному произведению "-[V2,V1]".
Направление псевдоскаляра ортогонально скаляру, получим его отрицательное направление, так же поворотом по часовой стрелке. Тогда получаем, что псевдоскаляр и вектор V1 ортогональны и образуют плоскость, наклоненную к плоскости кватерниона, с углом "ф", при измерении угла от направления скаляра.
Получили две плоскости, у каждой из которых заданы по три точки, одна из точек в каждой тройке связана с остальными двумя теоремой Пифагора.
Получили шести-точечную систему координат, считая точку начала координат. Напомню, в комплексной матрице 2х2 - 8 параметров, которые очень легко выделяются из матрицы в записи (abcd).
Данный объект (A) преобразуется в любой другой (A`) просто умножением на какой-то оператор (AO). Чтобы синхронизировать такое умножение с матрицей Грамма, оператор из объекта получается операцией "транспонирование + сопряжение". При таком умножении объекта на оператор, полученный из самого себя, получится проекция на спинор - как два совмещенных линейных пространства (сумма вектора и скаляра).
Если переходить к комплексным матрицам 4х4, то такая произвольная матрица разбитая на 4 блока будет задавать, по аналогии с написанным здесь, четыре пары плоскостей. Какие именно у них будут отношения не изучал. Но можно предположить, что это будет октаэдр.
Какие точки и какого реального объекта посадить на точки предложенной модели, вопрос лишь вашего воображения. Но, разумеется, геометрическую алгебру придется изучить. С чего начать написал и здесь, и в прошлых статьях. Картинку в начале статьи взял у автора Енот-математик, который тоже пишет про геометрическую алгебру.
P.S. Того, что здесь написано, нигде нет с вероятностью 99...%, иначе хоть кто-то из тех, с кем я обсуждал вопрос геометрического смысла алгебр Клиффорда, нашел бы это, а я бы с радостью не мучался где то год осмысленного подхода к этому снаряду.
P.P.S. Если, где-то и ошибся, то не жалко. Все равно это значительный шаг вперед, относительно наблюдаемой прозрачности этой математики в текущем моменте. Но работы еще много конечно. В пределе можно озадачиться вопросом: Как сделать дифференциальное и интегральное исчисление не отдельно для векторов или отдельно для кватернионов, а для произвольного элемента Клиффорда, для произвольной его размерности? И такое, чтобы этим осмыслено могли пользоваться не только лучшие умы планеты.